Періодична послідовність прямокутних відеоімпульсів (пппві). Радіо технічні ланцюги і сигнали Визначити спектр періодичної послідовності трикутних імпульсів

Періодичні та неперіодичні сигнали, форма яких відрізняється від синусоїдальної, зазвичай називають імпульсними сигналами. Процеси генерації, перетворення, а також питання практичного застосування імпульсних сигналів відносяться сьогодні до багатьох областях електроніки.

Так, наприклад, жоден сучасний блок живлення не обходиться без розташованого на його друкованої плати генератора прямокутних імпульсів, такого наприклад як на мікросхемі TL494, яка видає імпульсні послідовності з параметрами, придатними для поточного навантаження.

Оскільки імпульсні сигнали можуть мати різну форму, то і називають різні імпульси відповідно до схожою за формою геометричної фігурою: прямокутні імпульси, трапецеїдальні імпульси, трикутні імпульси, пилковидні імпульси, ступінчасті, і імпульси різних інших форм. Тим часом, найбільш часто практично застосовуються саме прямокутні імпульси. Про їх параметрах і піде мова в даній статті.

Звичайно, термін «прямокутний імпульс» дещо умовний. В силу того що нічого ідеального в природі не буває, як не буває і ідеально прямокутних імпульсів. Насправді реальний імпульс, який прийнято називати прямокутним, може мати і коливальні викиди (на малюнку показані як b1 і b2), обумовлені цілком реальними ємнісними і індуктивними факторами.

Викиди ці можуть, звичайно, бути відсутнім, однак існують електричні і тимчасові параметри імпульсів, що відображають в числі іншого «неідеальність їх прямоугольности».

Прямокутний імпульс має певну полярність і робочий рівень. Найчастіше полярність імпульсу позитивна, оскільки переважна більшість цифрових мікросхем харчуються позитивним, відносно загального проводу, напругою, і отже миттєве значення напруги в імпульсі завжди більше нуля.

Але є, наприклад, компаратори, що живляться двохполярним напругою, в таких схемах можна зустріти різнополярні імпульси. Взагалі мікросхеми, що живляться напругою негативної полярності, не так широко застосовуються, як мікросхеми зі звичайним позитивним харчуванням.

У послідовності імпульсів робоча напруга імпульсу може приймати низький або високий рівень, причому один рівень з плином часу змінює інший. Рівень низької напруги позначають U0, рівень високого U1. Найбільше миттєве значення напруги в імпульсі Ua або Um, щодо початкового рівня, називається амплітудою імпульсу.

Розробники імпульсних пристроїв часто оперують активними імпульсами високого рівня, такими як показаний на малюнку зліва. Але іноді практично доцільно застосувати в якості активних імпульси низького рівня, для яких початковий стан - високий рівень напруги. Імпульс низького рівня показаний на малюнку праворуч. Називати імпульс низького рівня «негативним імпульсом» - безграмотно.

Перепад напруги в прямокутному імпульсі називають фронтом, який являє собою швидке (порівнянне за часом з часом протікання перехідного процесу в ланцюзі) зміна електричного стану.

Перепад з низького рівня до високого рівня, тобто позитивний перепад, називають переднім фронтом або просто фронтом імпульсу. Перепад від високого рівня до низького, або негативний перепад, називають зрізом, спадом або просто заднім фронтом імпульсу.

Передній фронт позначають в тексті 0.1 або схематично _ |, а задній фронт 1.0 або схематично | _.

Залежно від інерційних характеристик активних елементів, перехідний процес (перепад) в реальному пристрої завжди займає деякий кінцевий час. Тому повна тривалість імпульсу включає в себе не тільки часи існування високого і низького рівнів, але також часи тривалості фронтів (фронту і зрізу), які позначаються Тф і ТСР. Практично в будь-якій конкретній схемі час фронту і спаду можна побачити за допомогою.

Так як в реальності моменти початку і закінчення перехідних процесів в перепадах дуже точно виділити непросто, то прийнято вважати за тривалість перепаду проміжок часу, під час якого напруга змінюється від 0,1Ua до 0,9Ua (фронт) або від 0,9Ua до 0, 1Ua (зріз). Так і крутизна фронту Кф і крутизна зрізу Кс.р. задаються відповідно до даних граничними станами, і вимірюються в вольтах в мікросекунду (в / мкс). Безпосередньо тривалістю імпульсу називають проміжок часу, відлічуваний від рівня 0,5Ua.

Коли розглядають в загальному процеси формування і генерації імпульсів, то фронт і зріз приймають по тривалості за нуль, оскільки для грубих розрахунків ці малі часові проміжки виявляються не критичні.

Це імпульси, наступні один за одним в певному порядку. Якщо паузи між імпульсами і тривалості імпульсів в послідовності рівні між собою, то це періодична послідовність. Період проходження імпульсів Т - це сума тривалості імпульсу і паузи між імпульсами в послідовності. Частота f проходження імпульсів - це величина зворотна періоду.

Періодичні послідовності прямокутних імпульсів, крім періоду Т і частоти f, характеризуються ще парою додаткових параметрів: коефіцієнтом заповнення DC і скважностью Q. Коефіцієнт заповнення - це відношення часу тривалості імпульсу до його періоду.

Шпаруватість - це відношення періоду імпульсу до часу його тривалості. Періодична послідовність скважности Q \u003d 2, тобто така, у якій час тривалості імпульсу дорівнює часу паузи між імпульсами або у якої коефіцієнт заповнення дорівнює DC \u003d 0,5, називається меандрові.

Класифікація сигналів та їх параметри.

Електричні сигнали являють собою електричні процеси, які використовуються для передачі або зберігання інформації.

Сигнали можна розділити на два великі класи: детерміновані і випадкові. Детермінованими називаються сигнали, миттєві значення яких в будь-який момент часу можна передбачити з вірогідністю, рівній одиниці і які задаються у вигляді деякої певної функції часу. Наведемо кілька характерних прикладів: гармонійний сигнал з відомою амплітудою A і періодом T (Рис. 1.1 а); послідовність прямокутних імпульсів з відомим періодом проходження T, Тривалістю t і і амплітудою A(Рис. 1.1 б); послідовність імпульсів довільної форми з ізвестнимідлітельностью t і, амплітудою A і періодом T(Рис. 1.1 в). Детерміновані сигнали не містять ніякої інформації.

Випадкові сигнали являють собою хаотичні функції часу, значення яких заздалегідь невідомі і не можуть бути передбачені з ймовірністю, яка дорівнює одиниці (одиночний імпульс з тривалістю t і і амплітудою A(Рис. 1.1 г) Мова, музика в вираженні електричних величин). До випадкових сигналів відносяться також шуми.

Детерміновані сигнали, в свою чергу, поділяються на періодичні, для яких виконується умова S(t)=S(t + kT), Де T - період, k -будь ціле число, а під S(t) Розуміється змінюються з часом струм, напруга або заряд (рис. 1.1 а Б В).

Очевидно, що до неперіодичним відноситься будь-який детермінований сигнал, для якого виконується умова S(t)¹ S(t + kT).

Найпростішим періодичним сигналом є гармонійний сигнал виду .

Будь-який складний періодичний сигнал можна розкласти на гармонійні складові. Нижче таке розкладання буде проведено для кількох конкретних видів сигналів.

Гармонійний сигнал високої частоти, в якому шляхом модуляції закладена інформація, називається радіосигналом (рис. 1.1 д).

Періодичні сигнали.

Будь-який складний періодичний сигнал S(t)=S(t + kT) (Рис.1.2), заданий на інтервалі значень t від - ¥ до + ¥, може бути представлений у вигляді суми елементарних гармонійних сигналів. Це уявлення здійснюється у вигляді ряду Фур'є, якщо тільки задана періодична функція задовольняє умовам Дирихле:

1. На будь-якому кінцевому інтервалі часу функція S(t) Повинна бути неперервна або мати кінцеве число розривів першого роду.

2. В межах одного періоду функція повинна мати кінцеве число максимумів і мінімумів.

Зазвичай все реальні радіотехнічні сигнали задовольняють цим умовам. У тригонометричної формі ряд Фур'є має вигляд (1.1)

де постійна складова дорівнює (1.2)

а коефіцієнти a n,і b n при косинусоидальной і синусоїдальних членах розкладання визначаються виразами (1.3)

Амплітуда (модуль) і фаза (аргумент) n-ойгармоніки виражаються через коефіцієнти a n,і b n наступним чином (1.4)

При використанні комплексної форми запису вираз для сигналу S (t) приймає вид . тут коефіцієнти , Звані комплексними амплітудами, рівні і пов'язані з величинами а n і b n формулами: при n\u003e 0, і при n<0. С учётом обозначений .

Спектр періодичної функції складається з окремих ліній, відповідних дискретними частотами 0, w, 2w, 3w ..., т. Е. Має лінійчатий або дискретний характер (рис.1.3). Використання рядів Фур'є в поєднанні з принципом суперпозиції є потужним засобом аналізу впливу лінійних систем на проходження через них різного виду періодичних сигналів.

При розкладанні періодичної функції в ряд Фур'є, слід враховувати симетрію самої функції, т. К. Це дозволяє спростити розрахунки. Залежно від виду симетрії представлені поруч Фур'є функції можуть:

1. Не мати постійної складової якщо площа фігури для позитивного напівперіоду дорівнює площі фігури для негативного напівперіоду.

2. Не мати парних гармонік і постійної складової, якщо значення функції повторюються через половину періоду з протилежним знаком.

Спектральний склад послідовності прямокутних імпульсів при різному періоді їх шпаруватості.

Періодична послідовність прямокутних імпульсів зображена на рис. 1.4. Постійна складова ряду Фур'є визначається з виразу і для даного випадку дорівнює .

Амплітуда cos-складова а n дорівнює

, А амплітуда sin-складової b nдорівнює .

амплітуда n-ої гармоніки

2. Спектр періодичної послідовності прямокутних імпульсів

Розглянемо періодичну послідовність прямокутних імпульсів, зображену на рис. 5. Даний сигнал характеризується тривалістю імпульсу, його амплітудою і періодом. За вертикальної осі відкладається напруга.

Рис.5. Періодична послідовність прямокутних імпульсів

Початок відліку виберемо в середині імпульсу. Тоді сигнал розкладається тільки по косинусам. Частоти гармонік равниn / T, де n- будь-яке ціле число. Амплітуди гармонік згідно (1.2.) Будуть рівні:

так як V (t)=Е при, де - тривалість імпульсу і V (t)\u003d 0 при, то

Цю формулу зручно записати у вигляді:

(2.1.)

Формула (1.5.) Дає залежність амплітуди n-ої гармоніки від періоду і тривалості у вигляді безперервної функції (функція ). Цю функцію називають обвідної спектра. Слід мати на увазі, що фізичний зміст вона має тільки на частотах, де існують відповідні гармоніки. На рис. 6 наведено спектр періодичної послідовності прямокутних імпульсів.

Рис.6. Спектр періодичної послідовності

прямокутних імпульсів.

При побудові обвідної маємо на увазі, що - є

Осцілірующей функцією частоти, а знаменник монотонно зростає з ростом частоти. Тому виходить квазіосцілірующая функція з поступовим спадання. При частоті наближається до нуля, до нуля прагнуть одночасно і чисельник і знаменник, їхнє ставлення прагне до одиниці (перший класичний межа). Нульові значення обвідної виникають в точках де т. Е.

де m - ціле число (крімm

З виходу джерела повідомлень надходять сигнали, що несуть інформацію, а також тактові, використовувані для синхронізації роботи передавача і приймача системи передачі. Інформаційні сигнали мають вигляд неперіодичної, а тактовие- періодіческойпоследовательності імпульсів.

Для правильної оцінки можливості передачі таких імпульсів по каналах зв'язку визначимо їх спектральний склад. Періодичний сигнал у вигляді імпульсів будь-якої форми можна розкласти в ряд Фур'є згідно (7).

Для передачі по повітряних і кабельних лініях зв'язку застосовуються сигнали різної форми. Вибір тієї чи іншої форми залежить від характеру переданих повідомлень, частотного спектра сигналів, частотних ічасу параметрів сигналів. Велике застосування в техніці передачі дискретних повідомлень отримали сигнали, близькі за формою до прямокутним імпульсам.

Обчислимо спектр, тобто сукупність амплітуд постійної і

гармонійних складових періодичних прямокутних імпульсів (рисунок 4, а) тривалістю і періодом. Оскільки сигнал є парною функцією часу, то у виразі (3) усі парні гармонійні складові звертаються в нуль ( \u003d 0), а непарні складові приймають значення:

(10)

Постійна складова дорівнює

(11)

Для сигналу 1: 1 (телеграфні точки) малюнок 4а:

,
. (12)

Модулі амплітуд спектральних складових послідовності прямокутних імпульсів з періодом
наведені на рис. 4, б. По осі абсцис відкладені основна частота повторення імпульсів
() І частоти непарних гармонійних складових
,
і т.д. Що огинає спектра змінюється згідно із законом.

При збільшенні періоду, в порівнянні з тривалістю імпульсу, число гармонійних складових в спектральному складі періодичного сигналу збільшуються. Наприклад, для сигналу з періодом (рисунок 4, в) отримуємо, що постійна складова равнаі

У смузі частот від нуля до частотирасполагается п'ять гармоніческіхсоставляющіх (рисунок 4, г), в той час як приплив одна.

При подальшому збільшенні періоду повторення імпульсів число гармонійних складових стає все більше і більше. У граничному випадку коли
сигнал стає неперіодичної функцією часу, число його гармонійних складових в смузі частот від нуля до частотиувелічівается до нескінченності; розташовані вони будуть набесконечноблізкіх відстанях по частоті; спектр непериодического сігналастановітся безперервним.

малюнок 4

2.4 Спектр одиночного імпульсу

Заданий одиночний відеоімпульс (рисунок 5):

малюнок 5

Метод рядів Фур'є допускає глибоке і плідну узагальнення, що дозволяє отримувати спектральні характеристики неперіодичних сигналів. Для цього подумки доповнимо одиночний імпульс такими ж імпульсами, періодично наступними через деякий інтервал часу, і отримаємо вивчену раніше періодичну послідовність:

Уявімо одиночний імпульс як суму періодичних імпульсів з великим періодом.

, (14)

де - цілі числа.

Для періодичного коливання

. (15)

Для того, щоб повернутися до одиночного імпульсу, спрямуємо до нескінченності період повторення:. При цьому, очевидно:

, (16)

позначимо

. (17)

Величиною називається спектральна характеристика (функція) одиночного імпульсу (пряме перетворення Фур'є). Вона залежить тільки від тимчасового опису імпульсаі в загальному вигляді є комплексною:

, (18) де
; (19)

; (20)

,

де
- модуль спектральної функції (амплітудно-частотна характеристика імпульсу);

- фазовий кут, фазо-частотна характеристика імпульсу.

Знайдемо для одиночного імпульсу за формулою (8), використовуючи спектральну функцію:

.

Якщо, отримаємо:

. (21)

Отриманий вираз називається зворотним перетворенням Фур'є.

Інтеграл Фур'є визначає імпульс у вигляді нескінченної суми нескінченно малих гармонійних складових, розташованих на всіх частотах.

На цій підставі говорять про безперервне (суцільному) спектрі, яким володіє одиночний імпульс.

Повна енергія імпульсу (енергія, що виділяється на активному опорі Ом) дорівнює

(22)

Змінюючи порядок інтегрування, отримаємо

.

Внутрішній інтеграл є спектральна функція імпульсу, взята при аргументі -, тобто є комплексно сполучену свелічіну:

отже

Квадрат модуля (твір двох сполучених комплексних чисел дорівнює квадрату модуля).

В цьому випадку умовно говорять, що спектр імпульсу є двостороннім, тобто розміщується в смузі частот від до.

Наведене співвідношення (23), що встановлює зв'язок між енергією імпульсу (на опорі 1 Ом) і модулем його спектральної функції відомо під назвою рівність Парсеваля.

Воно стверджує, що енергія, укладена в імпульсі, дорівнює сумі енергій всіх складових його спектра. Рівність Парсеваля характеризує важлива властивість сигналів. Якщо деяка виборча система пропускає тільки частина спектра сигналу, послаблюючи інші її складові, то це означає, що частина енергії сигналу втрачається.

Так як квадрат модуля є парною функцією змінної інтегрування, то подвоївши значення інтеграла можна ввести інтегрування в межах від 0 до:

. (24)

При цьому говорять, що спектр імпульсу розміщується в смузі частот від 0 до і називається одностороннім.

Підінтегральна величина в (23) називається енергетичним спектром (спектральна щільність енергії) імпульсу

Вона характеризує розподіл енергії по частоті, і її значення на частоті одно енергії імпульсу, що припадає на смугу частот, яка дорівнює 1 Гц. Отже, енергія імпульсу є результат інтегрування енергетичного спектра сигналу по всьому діапазону частот отдо.Іначе кажучи, енергія дорівнює площі, укладеної між кривою, що зображає енергетичний спектр сигналу і віссю абсцис.

Для оцінки розподілу енергії по спектру користуються відносною інтегральною функцією розподілу енергії (енергетичної характеристикою)

, (25)

де
- енергія імпульсу в заданій смузі частот від 0 до, яка характеризує частку енергії імпульсу, зосереджену в інтервалі частот від 0 до.

Для одиночних імпульсів різної форми виконуються наступні закономірності:

Розглянемо періодичну послідовність імпульсів прямокутної форми з періодом Т, тривалістю імпульсів і максимальним значенням . Знайдемо розкладання в ряд такого сигналу, вибравши початок координат як показано на рис. 15. при цьому функція симетрична щодо осі ординат, тобто всі коефіцієнти синусоїдальних складових \u003d 0, і потрібно розрахувати тільки коефіцієнти .

- 0 T t

постійна складова
(28)

Постійна складова - це середнє значення за період, тобто це площа імпульсу
, Поділена на весь період, тобто
, Тобто то ж, що вийшло і при строгому формальному обчисленні (28).

Згадаймо, що частота першої гармоніки  1 \u003d , Де Т - період прямокутного сигналу. Відстань між гармонікамі \u003d  1. Якщо номер гармоніки n виявиться таким, що аргумент синуса
, звідки . Номер гармоніки, при якому амплітуда її наближається до нуля перший раз, називають «Першим нулем» і позначають його буквою N, підкреслюючи особливі властивості цієї гармоніки:

(29)

з іншого боку, шпаруватість S імпульсів - це відношення періоду Т до тривалості імпульсів t u, тобто . Отже «перший нуль» чисельно дорівнює скважности імпульсу N= S. Оскільки синус звертається в нуль при всіх значеннях аргументу, кратних , то і амплітуди всіх гармонік з номерами, кратними номером «першого нуля», теж звертаються в нуль. Тобто
при
, де k - будь-яке ціле число. Так, наприклад, з (22) і (23) випливає, що спектр прямокутних імпульсів з шпаруватістю 2 складається тільки з непарних гармонік. оскільки S=2 , То і N=2 , Тобто амплітуда другої гармоніки перший раз звертається в нуль - це «перший нуль». Але тоді і амплітуди всіх інших гармонік з номерами, кратними 2, тобто всі парні теж повинні звертатися в нуль. При скважности S \u003d \u200b\u200b3 нульові амплітуди будуть у 3, 6, 9, 12, ... .гармонік.

Зі збільшенням шпаруватості «перший нуль» зміщується в область гармонік з великими номерами і, отже, швидкість убування амплітуд гармонік зменшується. Простий розрахунок амплітуди першої гармоніки при U m \u003d 100В для скважности S=2, U m 1 \u003d 63,7B, при S=5, U m 1 \u003d 37,4B і при S=10, U m 1 \u003d 19,7B, тобто з ростом скважности амплітуда першої гармоніки різко зменшується. Якщо ж знайти відношення амплітуди, наприклад, 5-й гармоніки U m 5 до амплітуди першої гармоніки U m 1 , То для S=2, U m 5 /U m 1 \u003d 0,2, а для S=10, U m 5 / U m 1 = 0,9, тобто швидкість загасання вищих гармонік з ростом скважности зменшується.

Таким чином, з ростом скважности спектр послідовності прямокутних імпульсів стає більш рівномірним.

2.5. Спектри при зменшенні тривалості імпульсу і періоду сигналу.

регулювати шпаруватість S= T/ t n можна або зміною тривалості імпульсу t n при T\u003d Const, або зміною періоду Т при t n \u003d Const. Розглянемо спектри сигналів при цьому.

T \u003d Const,t n \u003d Var. Частота першої гармоніки f 1 =1/ T= const і  f= f 1 = const. перший нуль N= T/ t n і в міру укорочення імпульсу t n зміщується в область гармонік з великими номерами. при t n 0 N, спектр виходить дискретним і  f= f 1 , Нескінченно широкий і з нескінченно малими амплітудами гармонік.

t n \u003d Const,T \u003d Var. Будемо збільшувати період Т, Тоді частота першої гармоніки f 1 і відстань між спектральними лініями  f зменшуватимуться. Так як  f= f 1 \u003d 1 / Т, То спектральні лінії будуть зміщуватися в область більш низьких частот і «щільність» спектра зросте. якщо Т, то сигнал з періодичного стає неперіодичним (одиночний імпульс). В цьому випадку f 1 =  f0, тобто спектр з дискретного перетворюється в безперервний, що складається з нескінченно великого числа спектральних ліній, які перебувають на нескінченно малих відстанях один від одного.

Звідси випливає правило: періодичні сигнали породжують дискретні (лінійчатих) спектри, а неперіодичні - суцільні (безперервні).

При переході від дискретного спектра до безперервного ряд Фур'є замінюється інтегралом Фур'є. Найбільш просто ця заміна виконується, якщо використовувати запис ряду Фур'є в комплексній формі (16) і (17). Інтеграл Фур'є для безперервного спектра записується

, (30)

де
(31)

функція F(j ) називається спектральної функцією або спектральної щільністю, Яка залежить від частоти. Формули (30) і (31) називають в сукупності одностороннім перетворенням Фур'є, Яке є окремим випадком більш загального перетворення Лапласа і виходить заміною в перетворенні Лапласа комплексної змінної р на j .

Спектральну функцію можна представити як огибающую коефіцієнтів ряду Фур'є, тобто як межа лінійного спектра періодичної функції при Т. функція F(j ) може бути дійсною чи комплексної. Вважаючи в загальному випадку
, Ми отримуємо дві частотні характеристики:
-амплітудний спектр, Тобто залежність амплітуди спектральних складових від частоти, і  ( ) – фазовий спектр, Тобто закон зміни фази спектральних складових сигналу від частоти. Можна показати, що амплітудний спектр - завжди парна, а фазовий спектр - завжди непарна функція . Спектральну функцію для багатьох неперіодичних сигналів (одиночних імпульсів різної форми) найбільш легко і просто знаходити за допомогою таблиць оригіналів і зображень в перетворенні Лапласа, які наводяться в навчальній і довідковій літературі. Після знаходження зображення по Лапласа F(p) для заданої неперіодичної функції f(t) , Спектральна функція знаходиться

(32)

Отже, згідно з (30) неперіодичних функція f(t) представляється сукупністю нескінченно великого числа гармонік з нескінченно малими амплітудами
у всьому діапазоні частот від - до + , тобто уявлення f(t) у вигляді інтеграла Фур'є має на увазі підсумовування незатухаючих гармонічних коливань нескінченного суцільного спектра частот.

опис лабораторної установки

Робота виконується на блоці «Синтезатор сигналу», функціональна схема якого приведена на рис. 16.

Блок містить генераторів Г1-Г6 шести перших гармонік сигналу. Частота першої гармоніки дорівнює 10 кГц. Гармонійний сигнал з виходу n-го генератора через фазообертач Ф n і атенюатор А n надходить на суматор. Фазовращателямі задають початкові фази  n гармонік, а аттенюаторами - їх амплітуди А n.

На виході суматора в загальному випадку виходить сума шести гармонік сигналу

.

З виходу суматора сигнал подається на вхід Y осцилографа. Для його зовнішньої синхронізації використовується спеціальний імпульсний сигнал, що подається з гнізда «Синхрон.» на вхід Х осцилографа. Для установки і контролю амплітуд гармонік передбачена можливість відключення будь-який з гармонік. Включивши тільки генератор n-ої гармоніки, можна встановити її амплітуду аттенюатором А n і оцінити її значення за допомогою осцилографа. Кожен фазообертач за допомогою перемикача дозволяє встановити необхідну дискретне значення початкової фази гармоніки, або відключити генератор.