Динаміка фінансових потоків показує, що в будь-який момент часу компанія може відповідати за своїми зобов'язаннями. Процеси загибелі і розмноження

МОСКВА, 30 липня - РІА Новини.Фізики БФУ ім. І. Канта розглянули одну з можливих математичних моделей темної енергії, і з'ясували, що майбутнє нашого Всесвіту може бути набагато більш непередбачуваним і катастрофічним, ніж вважалося раніше. Результати дослідження опубліковані в високорейтингового науковому журналі "The European Physical Journal C".

"Облік нового класу сингулярностей (станів, при яких той чи інший параметр стає нескінченним) робить майбутнє нашого Всесвіту непередбачуваним і небезпечним. У даній роботі ми показали, що деякі сингулярності можуть виникнути абсолютно раптово, практично в будь-який момент часу. Ні зірки, ні навіть галактики такої катастрофи не переживуть, - розповів один з авторів дослідження, професор БФУ ім. І. Канта Артем Юров.

В кінці ХХ - початку ХХI століття в космології був зроблений цілий ряд важливих відкриттів: виявлені непрямі докази інфляційного розширення Всесвіту, темна матерія і енергія, гравітаційні хвилі. У 1998 році вчені відкрили, що наш Всесвіт не просто розширюється, а розширюється з наростаючою швидкістю.

Причиною цього прискорення вчені вважають так званий "чорний сектор" Всесвіту. Згідно з даними спостережень, загальний вміст нашого Всесвіту лише на 4,9% складається зі звичного нам баріонів матерії, інші 95,1% припадають на "темний сектор", який складається з загадкової темної матерії (26,8%) і ще більш таємничої темної енергії (68,3%).

Про те, що таке темна енергія, існують три основні гіпотези. Згідно з першою, темна енергія це космологічна константа - незмінна енергетична щільність, рівномірно заповнює простір Всесвіту. Друга гіпотеза визначає темну енергію як якусь квінтесенцію - динамічне поле, енергетична щільність якого може змінюватися в просторі і часі. За третьою, темна енергія є прояв модифікованої гравітації на відстанях порядку розміру видимої частини Всесвіту.

"Майбутнє нашого Всесвіту залежить від того, яка з цих моделей вірна. Якщо вірна друга гіпотеза і темна енергія дійсно є квінтесенцією, то майбутнє може виявитися повно дивовижних і неприємних сюрпризів. Зокрема, можлива поява сингулярностей прямо під час прискореного розширення! Наприклад, середнє тиск квінтесенції може раптом "вибухнути", - зазначив професор Юров.

Те, що така катастрофа можлива, обчислив в 2004 році професор Кембриджського університету Джон Берроу. Більш повне математичне вивчення цього питання дозволило фізикам Сергію Одинцова, Сініті Нодзірі і Шінджі Цудзікаве провести класифікацію таких можливих катастрофічних сингулярностей майбутнього.

Група фізиків БФУ ім. Канта під керівництвом професора Артема Юрова припустила і показала математично, що може існувати цілий клас сингулярностей, не охоплених класифікацією Одинцова-Нодзірі-Цудзікави. Це означає, що наш Всесвіт може загинути раптово. Дослідженням російських фізиків, яке проводилось за підтримки Проекту 5-100, зацікавилися закордонні колеги. Зокрема, з листом до авторів звернувся Джон Берроу.

"Модель, про яку ми говоримо - одна з сотень моделей народження і смерті нашого Всесвіту. Автори з БФУ ім. І. Канта коректно розглянули модель зі специфічним потенціалом скалярного поля, і показали, що масштабний фактор може різко змінювати свою поведінку. Для фахівців ця робота представляє інтерес. Її треба мати на увазі для майбутнього, так як вона мабуть не суперечить сучасним даними спостережень ", - підкреслив космолог, професор НІЯУ МІФІ Сергій Рубін.

Завдання і процеси

Будь-яка виконується в Linux програма називається процесом. Linux як багатозадачна система характеризується тим, що одночасно може виконуватися безліч процесів, що належать одному або декільком користувачам. Вивести список виконуються в даний час процесів можна командою ps , Наприклад, наступним чином:

/ Home / larry # ps PID TT STAT TIME COMMAND 24 3 S 0:03 (bash) 161 3 R 0:00 ps / home / larry #

Зверніть увагу, що за замовчуванням команда ps виводить список тільки тих процесів, які належать запустившему її користувачеві. Щоб подивитися всі виконуються в системі процеси, потрібно подати команду ps -a . номери процесів (Process ID, або PID), зазначені в першій колонці, є унікальними номерами, які система привласнює кожному працюючому процесу. Остання колонка, озаглавлена \u200b\u200bCOMMAND, вказує ім'я працюючої команди. В даному випадку в списку вказані процеси, які запустив сам користувач larry. В системі працює ще багато інших процесів, їх повний список можна переглянути командою ps -aux . Однак серед команд, запущених користувачем larry, є тільки bash (командна оболонка для користувача larry) і сама команда ps . Видно, що оболонка bash працює одночасно з командою ps . Коли користувач ввів команду ps , Оболонка bash початку її виконувати. Після того, як команда ps закінчила свою роботу (таблиця процесів виведена на екран), управління повертається процесу bash. Тоді оболонка bash виводить на екран запрошення і чекає нової команди.

Працюючий процес також називають завданням (Job). Поняття процес і завдання є взаємозамінними. Однак, зазвичай процес називають завданням, коли мають на увазі управління завданням (Job control). Управління завданням - це функція командної оболонки, яка надає користувачеві можливість перемикатися між кількома завданнями.

У більшості випадків користувачі запускають тільки одне завдання - це буде та команда, яку вони ввели останньої в командній оболонці. Однак багато командні оболонки (включаючи bash і tcsh) мають функції управління завданнями (Job control), що дозволяють запускати одночасно кілька команд або завдань (Jobs) і, при необхідності, перемикатися між ними.

Управління завданнями може бути корисно, якщо, наприклад, ви редагуєте великий текстовий файл і хочете тимчасово перервати редагування, щоб зробити якусь іншу операцію. За допомогою функцій управління завданнями можна тимчасово покинути редактор, повернутися до запрошення командної оболонки і виконати будь-які інші дії. Коли вони будуть зроблені, можна повернутися назад до роботи з редактором і виявити його в тому ж стані, в якому він був покинутий. У функцій управління завданнями є ще багато корисних застосувань.

Передній план і фоновий режим

Завдання можуть бути або на передньому плані (Foreground), або фоновими (Background). На передньому плані в будь-який момент часу може бути тільки одне завдання. Завдання на передньому плані - це те завдання, з яким ви взаємодієте; воно отримує введення з клавіатури і посилає висновок на екран (якщо, зрозуміло, ви не перенаправили введення або виведення куди-небудь ще). Навпаки, фонові завдання не отримують введення з терміналу; як правило, такі завдання не потребують у взаємодії з користувачем.

Деякі завдання виконуються дуже довго, і під час їх роботи не відбувається нічого цікавого. Приклад таких завдань - компіляція програм, а також стиснення великих файлів. Немає ніяких причин дивитися на екран і чекати, коли ці завдання виконуватися. Такі завдання слід запускати у фоновому режимі. В цей час ви можете працювати з іншими програмами.

Для управління виконанням процесів в Linux передбачено механізм передачі сигналів. Сигнал - це здатність процесів обмінюватися стандартними короткими повідомленнями безпосередньо за допомогою системи. Повідомлення-сигнал не містить ніякої інформації, крім номера сигналу (для зручності замість номера можна використовувати зумовлене системою ім'я). Для того, щоб передати сигнал, процесу досить задіяти системний виклик kill () , А для того, щоб прийняти сигнал, не потрібно нічого. Якщо процесу потрібно якось по-особливому реагувати на сигнал, він може зареєструвати обробник, А якщо обробника немає, за нього відреагує система. Як правило, це призводить до негайного завершення процесу, який отримав сигнал. Оброблювач сигналу запускається асинхронно , Негайно після отримання сигналу, що б процес в цей час не робив.

Два сигналу - номер 9 ( KILL ) І 19 ( STOP ) - завжди обробляє система. Перший з них потрібен для того, щоб вбити процес напевно (звідси і назва). сигнал STOP призупиняє процес: в такому стані процес не видаляється з таблиці процесів, але і не виконується до тих пір, поки не отримає сигнал 18 ( CONT ) - після чого продовжить роботу. У командній оболонці Linux сигнал STOP можна передати активного процесу за допомогою керуючої послідовності Ctrl -Z .

Сигнал номер 15 ( TERM ) Служить для переривання роботи завдання. при перериванні (Interrupt) завдання процес гине. Переривання завдань зазвичай здійснюється керуючою послідовністю Ctrl -C . Відновити перерване завдання ніяким чином неможливо. Слід також знати, що деякі програми перехоплюють сигнал TERM (За допомогою обробника), так що натискання комбінації клавіш Ctrl -C (О) може не перервати процес негайно. Це зроблено для того, щоб програма могла знищити сліди своєї роботи перш, ніж вона буде завершена. На практиці, деякі програми взагалі не можна перервати таким способом.

Переклад в фоновий режим і знищення завдань

Почнемо з простого прикладу. Розглянемо команду yes, яка на перший погляд може здатися марною. Ця команда посилає нескінченний потік рядків, що складаються з символу y на стандартний висновок. Подивимося, як працює ця команда:

/ Home / larry # yes y y y y y

Послідовність таких рядків буде нескінченно тривати. Знищити цей процес можна, відправивши йому сигнал переривання, т. Е. Натиснувши Ctrl -C . Зробимо тепер інакше. Щоб на екран не виводилася ця нескінченна послідовність переспрямуємо стандартний висновок команди yes на / dev / null. Як ви, можливо, знаєте, пристрій / dev / null діє як «чорна діра»: всі дані, надіслані в цей пристрій, пропадають. За допомогою цього пристрою дуже зручно позбавлятися від занадто рясного виведення деяких програм.

/ Home / larry # yes\u003e / dev / null

Тепер на екран нічого не виводиться. Однак і запрошення командної оболонки теж не повертається. Це відбувається тому, що команда yes все ще працює і посилає свої повідомлення, що складаються з літер y на / dev / null. Знищити це завдання також можна, відправивши йому сигнал переривання.

Припустимо тепер, що ви хочете, щоб команда yes продовжувала працювати, але при цьому і запрошення командної оболонки має повернутися на екран, так щоб ви могли працювати з іншими програмами. Для цього можна команду yes перевести у фоновий режим, і вона буде там працювати, не спілкуючись з вами.

Один спосіб перевести процес у фоновий режим - приписати символ & до кінця команди. приклад:

/ Home / larry # yes\u003e / dev / null & + 164 / home / larry #

Повідомлення являє собою номер завдання (Job number) для процесу yes. Командна оболонка присвоює номер завдання кожному виконуваного завданням. Оскільки yes є єдиним виконуваним завданням, йому присвоюється номер 1. Число 164 є ідентифікаційним номером, відповідним даному процесу (PID), і цей номер також дан процесу системою. Як ми побачимо далі, до процесу можна звертатися, вказуючи обидва цих номера.

Отже, тепер у нас є процес команди yes, що працює у фоновому режимі, і безперервно посилає потік з букв y на пристрій / dev / null. Для того, щоб дізнатися статус цього процесу, потрібно виконати команду jobs , Яка є внутрішньою командою оболонки.

/ Home / larry # jobs + Running yes\u003e / dev / null & / home / larry #

Ми бачимо, що ця програма дійсно працює. Для того, щоб дізнатися статус завдання, можна також скористатися командою ps , Як це було показано вище.

Для того, щоб передати процесу сигнал (найчастіше виникає потреба перервати роботу завдання) використовується утиліта kill . Як аргумент цій команді дається або номер завдання, або PID. Необов'язковий параметр - номер сигналу, який потрібно відправити процесу. За замовчуванням відправляється сигнал TERM . У розглянутому вище випадку номер завдання був 1, так що команда kill% 1 перерве роботу завдання. Коли до завдання звертаються по його номеру (а не PID), тоді перед цим номером в командному рядку потрібно поставити символ відсотка ( «%»).

Тепер введемо команду jobs знову, щоб перевірити результат попередньої дії:

/ Home / larry # jobs Terminated yes\u003e / dev / null

Фактично завдання знищено, і при введенні команди jobs наступного разу на екрані про нього не буде ніякої інформації.

Знищити завдання можна також, використовуючи ідентифікаційний номер процесу (PID). Цей номер, поряд з ідентифікаційним номером завдання, вказується під час старту завдання. У нашому прикладі значення PID було 164, так що команда kill 164 була б еквівалентна команді kill% 1 . При використанні PID як аргумент команди kill вводити символ «%» не потрібно.

Призупинення та продовження роботи завдань

Запустимо спочатку процес командою yes на передньому плані, як це робилося раніше:

/ Home / larry # yes\u003e / dev / null

Як і раніше, оскільки процес працює на передньому плані, запрошення командної оболонки на екран не повертається.

Тепер замість того, щоб перервати завдання комбінацією клавіш Ctrl -C , Завдання можна призупинити (Suspend, буквально - підвісити), відправивши йому сигнал STOP . Для припинення завдання треба натиснути відповідну комбінацію клавіш, зазвичай це Ctrl -Z .

/ Home / larry # yes\u003e / dev / null Ctrl -Z + Stopped yes\u003e / dev / null / home / larry #

Призупинений процес просто не виконується. На нього не витрачаються обчислювальні ресурси процесора. Припинене завдання можна запустити виконуватися з тієї ж точки, як ніби-то воно і не було призупинено.

Для відновлення виконання завдання на передньому плані можна використовувати команду fg (Від слова foreground - передній план).

/ Home / larry # fg yes\u003e / dev / null

Командна оболонка ще раз виведе на екран назву команди, так що користувач буде знати, яке саме завдання він в даний момент запустив на передньому плані. Призупинимо це завдання ще раз натисканням клавіш Ctrl -Z , Але в цей раз запустимо його в фоновий режим командою bg (Від слова background - фон). Це призведе до того, що даний процес буде працювати так, як якщо б при його запуску використовувалася команда з символом & в кінці (як це робилося в попередньому розділі):

/ Home / larry # bg + yes $\u003e $ / dev / null & / home / larry #

При цьому запрошення командної оболонки повертається. зараз команда jobs повинна показувати, що процес yes дійсно в даний момент працює; цей процес можна знищити командою kill , Як це робилося раніше.

Для того, щоб призупинити завдання, яке працює у фоновому режимі, не можна скористатися комбінацією клавіш Ctrl -Z . Перш, ніж припиняти завдання, його потрібно перевести на передній план командою fg і лише потім призупинити. Таким чином, команду fg можна застосовувати або до призупиненим завданням, або до завдання, що працює у фоновому режимі.

Між завданнями в фоновому режимі і припиненими завданнями є велика різниця. Припинене завдання не працює - на нього не витрачаються обчислювальні потужності процесора. Це завдання не виконує ніяких дій. Припинене завдання займає деякий об'єм оперативної пам'яті комп'ютера, через деякий час ядро \u200b\u200bвідкачає цю частину пам'яті на жорсткий диск « до запитання». Навпаки, завдання у фоновому режимі виконується, використовує пам'ять і робить деякі дії, які, можливо, вам потрібні, але ви в цей час можете працювати з іншими програмами.

Завдання, що працюють у фоновому режимі, можуть намагатися виводити деякий текст на екран. Це буде заважати працювати над іншими завданнями.

/ Home / larry # yes &

Тут стандартний висновок не був перенаправлений на пристрій / dev / , тому на екран буде виводиться нескінченний потік символів y. Цей потік неможливо буде зупинити, оскільки комбінація клавіш Ctrl -C не вплине на завдання у фоновому режимі. Для того щоб зупинити цю видачу, треба використовувати команду fg , Яка переведе завдання на передній план, а потім знищити завдання комбінацією клавіш Ctrl -C .

Зробимо ще одне зауваження. зазвичай командою fg і командою bg впливають на ті завдання, які були припинені останніми (ці завдання будуть позначені символом + поруч з номером завдання, якщо ввести команду jobs ). Якщо в один і той же час працює одне або кілька завдань, завдання можна поміщати на передній план або в фоновий режим, задаючи в якості аргументів команди fg або команди bg їх ідентифікаційний номер (job ID). Наприклад, команда fg% 2 поміщає завдання номер 2 на передній план, а команда bg% 3 поміщає завдання номер 3 в фоновий режим. Використовувати PID в якості аргументів команд fg і bg не можна.

Більш того, для перекладу завдання на передній план можна просто вказати його номер. Так, команда %2 буде еквівалентна команді fg% 2 .

Важливо пам'ятати, що функція управління завданням належить оболонці. команди fg , bg і jobs є внутрішніми командами оболонки. Якщо, з деякої причини, ви використовуєте командну оболонку, яка не підтримує функції управління завданнями, то ви в ній цих (і подібних) команд не знайдете.

5.1. Випадкові процеси і їх класифікація

Випадковий процес (СП) це певний процес або явище, поведінка якого протягом часу і результат заздалегідь передбачати неможливо. Приклади випадкових процесів: динаміка зміни курсу валют або акцій, виручка або прибуток організації з плином часу, обсяги продажів товару і т.д.
Якщо випадковий процес може змінити свій стан тільки в строго певний момент часу, то він називається процесом з дискретним часом.
Якщо ж зміна стану можлива в довільний момент часу, то це СП з безперервним часом.
Якщо в будь-який момент часу СП являє собою дискретну випадкову величину (її значення можна перерахувати і виділити два сусідніх значення), то це процес з дискретним станом.
Якщо ж в будь-який момент часу стан може змінюватися безперервно, плавно і не можна виділити два сусідніх стану, то це СП з безперервним станом.
Таким чином, можливо 4 види СП:
1) СП з безперервним часом і безперервним станом (приклад: температура повітря в певний момент часу, змінюється плавно в будь-який момент часу).
2) СП з безперервним часом і дискретним станом (приклад: число відвідувачів в магазині, змінюється кратно одному в будь-який момент часу).
3) СП з дискретним часом і безперервним станом (приклад: динаміка курсу курс валюти, змінюється плавно в момент валютних торгів).
4) СП з дискретним часом і дискретним станом (приклад: число пасажирів в транспорті змінюється кратно одному і тільки в певні моменти часу, на зупинках).
Розглянемо деяку систему S, В якій в даний момент часу t про протікає СП. Цей процес називається Марковским, якщо для будь-якого моменту часу t> t про, Поведінка системи в майбутньому залежить тільки від того, в якому стані система перебувала в даний момент часу при t= t про, І ніяк не залежить від того, як, коли і в яких станах вона перебувала в минулому при t< t про . Іншими словами, «минуле» Марківського процесу ніяк не впливає на «майбутнє» (тільки через «справжнє»).

5.2. Потоки подій.

Найпростішим видом СП є потоки подій. Потоком подій називається деяка послідовність однотипних подій, які відбуваються у випадкові моменти часу (наприклад, дзвінки по телефону, відвідувачі магазину, автомобілі, що проїжджають перехрестя і т.д.). Вони відносяться до СП з дискретним станом і безперервним часом. Математично потік подій можна зобразити у вигляді випадкових точок на осі часу.

Якщо події в потоці відбуваються поодинці, а не групами з декількох подій, то такий потік називається ординарним. Потік подій називається потоком без наслідків, якщо для будь-яких непересічних інтервалів часу style \u003d "color: red"\u003e число подій в одному інтервалі ніяк не впливає на те, скільки і яким чином будуть відбуватися події в іншому інтервалі. Ординарний потік без наслідки називається потоком Пуассона. Найважливішою характеристикою будь-якого потоку подій є його інтенсивність - середнє число подій, що сталися в потоці за одну одиницю часу.
З інтенсивністю тісно пов'язана величина, яка має сенс середнього інтервалу часу між двома подіями. Якщо інтервали між сусідніми подіями є випадкові величини, які є незалежними один від одного, то такий потік подій називається потоком Пальма.
Якщо інтенсивність потоку подій не залежить від часу, то такий потік називається стаціонарним. Якщо в потоці події відбуваються через рівні інтервали часу, то він називається регулярним.
Стаціонарний потік Пуассона називається найпростішим потоком. В економічному моделюванні в основному використовують потоки Пуассона, в тому числі найпростіші. Для них справедливі наступні теореми:
1) Число подій, що сталися в потоці Пуассона, є випадкова величина, розподілена за законом Пуассона. Імовірність того, що в потоці Пуассона з інтенсивністю за інтервал часу ( t 1 ; t 2) відбудеться рівно k подій, дорівнює:
, де .
Якщо потік найпростіший, то .
2) Інтервал між подіями або час очікування чергового події T в потоці Пуассона є випадкова величина, розподілена по показовому закону, т. е ймовірність того, що така подія відбудеться не раніше t, дорівнює:
.
Якщо потік найпростіший, то
приклад : Магазин відвідують в середньому 20 покупців за годину. Визначити ймовірність того, що: а) за 5 хвилин буде 2 покупця; б) за 10 хвилин буде не менше 3 покупців; в) за 3 хвилини не буде жодного покупця.
Рішення. Вибравши за одиницю часу 1 хвилину, інтенсивність пуассоновского потоку покупців магазину (20 покупців на годину або 1/3 покупця за хвилину).
а) k=2, t 1 =0, t 2 =5,

б) k ≥3, t 1 =0, t 2 \u003d 10, знайдемо ймовірність події зворотного події, що буде менше 3 покупців;
.
в) по другій теоремі t \u003d 3, .

5.3. Марковський СП, з дискретним станом

У моделюванні імовірнісних (стохастичних) економічних систем дуже часто використовують Марковський СП. Розглянемо СП з дискретним станом і безперервним часом. Тоді все його стану можна перерахувати: S 1 ,S 2 ,…, S n.
Описати всі можливі переходи між станами можна за допомогою графа станів.
Граф станів є упорядкований граф, вершинами якого є можливі стану S i і між двома станами існує ребро - стрілка, якщо можливий безпосередній перехід між станами.
Наприклад, магазин може перебувати в наступних станах:
S 1 - є клієнти, які обслуговуються,
S 2 - клієнтів немає,
S 3 - здійснюється прийом товару,
S 4 - облік товару, який відбувається іноді після його прийому.
Тоді роботу магазину можна описати графом станів

Для розрахунку основних характеристик системи, необхідно знати ймовірні показники при переході між станами.
Розглянемо 2 стану S iі S j. Інтенсивністю перехідного потоку називається середнє число переходів зі стану S i в стан S j за одиницю часу, яке система проводить в стан S i. Якщо відомо середній час T ij, Яке система проводить в S i до того як перейде в S j, То можна записати:.
Інтенсивності перехідних потоковуказиваются на графі станів поряд з відповідними стрілками. Головне завдання в таких моделях полягає у визначенні ймовірностей станів, які мають сенс середньої частки часу, якого система проводить в цьому стані.
Для знаходження ймовірностей станів складається система рівнянь
(*)
Дану систему можна складати за такими правилами:
1) Число рівнянь в системі дорівнює числу станів.
2) Кожне стан S j відповідає рівняння з номером j.
3) У лівій частині кожного рівняння знаходиться сума інтенсивностей (стоять над стрілками) для всіх стрілок, що входять в стан S j помножених на ймовірності станів, з яких виходять стрілки;
4) У правій частині рівнянь знаходиться сума інтенсивностей, що виходять з S j стрілок, ця сума множиться на ймовірність P j.
Однак система рівнянь (*) є виродження і для знаходження єдиного рішення в цій системі, одне будь-яке рівняння потрібно замінити на умова нормування:
.
Приклад 1: Автоматизована складальна лінія підприємства в середньому 1 раз в місяць виходить з ладу і ремонтується в середньому 3 дні. Крім того в середньому 2 рази на місяць вона проходить технічне обслуговування, яке триватиме в середньому 1 день. В середньому в одному випадку з трьох при технічному обслуговуванні виявляється неполадка і лінія ремонтується. Визначити, яку середню прибуток приносить лінія за місяць, якщо за один день безвідмовної роботи прибуток дорівнює 15 тисяч рублів. Один день технічної обробки обходиться в 20 тисяч рублів, а один день ремонту - 30 тисяч рублів.
Рішення. Знайдемо ймовірності станів, рівні часток часу роботи, ремонту і технічного обслуговування. нехай:
S 1 - лінія працює,
S 2 - технічне обслуговування,
S 3 - ремонт.

Складаємо систему рівнянь. У стан S 1 входять 2 стрілки: з S 2 з інтенсивністю 20 і з S 3 з інтенсивністю 10, тому ліва частина першого рівняння має вигляд:. зі стану S 1 виходять дві стрілки з інтенсивностями 2 і 1, тому права частина першого рівняння системи набуде вигляду:. Аналогічно, на підставі станів S 2 і S 3 складаємо друге і третє рівняння. В результаті, система буде мати вигляд:

Однак, дана система є виродження і для її вирішення потрібно замінити одне будь-яке (наприклад, перше) рівняння умовою нормування:. В результаті, отримуємо систему:

Висловлюємо з 1-го і 2-го рівнянь Р 1 і Р 3 через Р 2: , І підставляючи результат в 3-е рівняння, знаходимо :,,. Множимо ймовірності на 30 днів місяця і знаходимо, що в середньому в місяць лінія працює 24,3 дня, технічне обслуговування - 1,6 днів, ремонт - 4,1 дня. Звідси випливає, що середня прибуток буде 24,3 × 15-1,6 × 20-4,1 × 30 \u003d 209,5 тис.руб.
приклад 2: У туристичному агентстві працює продавець і менеджер. В середньому в агентство приходять 2 клієнта за годину. Якщо продавець вільний, він обслуговує клієнта, якщо - зайнятий, то клієнта обслуговує менеджер, якщо обидва зайняті - клієнт йде. Середній час обслуговування продавцем 20 хвилин, менеджером - 30 хвилин. Кожен клієнт приносить середній прибуток 100 рублів.
Визначити середню прибуток агентства за 1 годину, і середнє число втрачених клієнтів за годину.
Рішення. Визначаємо стану системи:
S 1 - продавець і менеджер вільні,
S 2 - продавець зайнятий, менеджер вільний,
S 3 - продавець вільний, менеджер зайнятий,
S 4 - обидва зайняті.
Будуємо граф станів:

Складаємо систему рівнянь, замінюючи 4-е рівняння умовою нормування:

Вирішуючи систему рівнянь, знаходимо:
.
Отже, продавець займається обслуговуванням P 2 + P 4 \u003d 0,25 + 0,15 \u003d 0,4, тобто 40% часу. Якби він обслуговував 100% часу, то за годину обслуговував би 3-х клієнтів, а реально: 3 × 0,4 \u003d 1,2 і приносить прибуток за 1 годину 120 рублів. Менеджер працює P 3 + P 4 \u003d 0,11 + 0,15 \u003d 0,26, тобто 26% часу і тому за годину обслужить 2 × 0,26 \u003d 0,52 клієнта і приносить прибуток 52 рубля в годину. Середній прибуток за 1 годину складе 172 рубля. Клієнти губляться в стані S 4. Так як P 4 \u003d 0,15, то в годину втрачається 15% клієнтів з 2-х можливих або 0,3 клієнта. Збитки становлять 30 рублів за годину через втрачених клієнтів.

5.4. Процеси загибелі і розмноження.

У багатьох економічних системах, в яких функціонує СП, виникають ситуації, коли з будь-якого (крім першого і останнього) стану S i можливий перехід тільки в сусідні стану S i +1 і S i -1. такі процеси називаються процесами загибелі і розмноження і вони описуються графом станів.


Інтенсивності називаються интенсивностями розмноження, а m i - інтенсивності загибелі. Для знаходження ймовірності кожного стану використовуються формули:
, (+)
, , …, .
приклад 5.1. В автогосподарстві 5 автомобілів. Кожен з них в середньому 4 рази на рік ламається і ремонт тривати в середньому 1 місяць. Визначити, яку частку часу всі автомобілі справні і середнє число справних автомобілів в довільний момент часу.
Рішення. Вводимо стану системи:
S 0 - всі автомобілі зламані,
S 1 - 1 автомобіль справний,
S 2 - 2 автомобілі справні,
S 3 - 3 автомобілі справні,
S 4 - 4 автомобілі справні,
S 5 - 5 автомобілів справні.
Побудуємо граф станів і розставимо перехідні інтенсивності.
Наприклад, для переходу з S 1 в S 0 маємо ситуацію: справний 1 автомобіль і він ламається, це відбувається 4 рази на рік, тобто інтенсивність дорівнює 4. Для переходу з S 2 в S 1: справні 2 автомобілі і кожен з них ламається 4 рази на рік, тобто інтенсивність дорівнює 8. Решта інтенсивності загибелі розставляються по аналогії.
Для переходу з S 4 в S 5 маємо ситуацію: несправний 1 автомобіль і він ремонтується, це триває 1 місяць або 12 раз в рік, тобто інтенсивність дорівнює 12. Для переходу з S 3 в S 4 маємо ситуацію: несправні 2 автомобілі і кожен з них може бути відремонтований з інтенсивністю 12, тобто загальна інтенсивність дорівнює 24. Решта інтенсивності розмноження розставляються по аналогії.

Обчислюємо за формулами (+) ймовірності станів, рівні середньої частки часу перебування системи в цих станах.


, = 0,088, , ,
Всі автомобілі справні в стані S 5, середня частка часу, коли автомобілі справні - 0,24. Середнє число справних автомобілів знаходиться як математичне очікування:

приклад 5.2. Організація приймає заявки від населення на проведення ремонтних робіт. Заявки приймаються по телефону, по двох лініях і їх обслуговують два диспетчера. Якщо одна лінія зайнята, заявка автоматично перемикається на другу. Якщо обидві лінії зайняті - заявка втрачається. Середнє число обслуговування однієї заявки - 6 хвилин. В середньому одна заявка приносить прибуток в 30 рублів. Яка прибуток за годину? Чи доцільно організовувати третій канал з третім диспетчером, якщо його обслуговування обійдеться в 150 рублів на годину?
Рішення. Розглянемо спочатку систему з двома каналами.
Введемо можливі стани:
S 0 - немає заявок (обидва телефони вільні),
S 1 - одна заявка обслуговується (один телефон зайнятий),
S 2 - дві заявки обслуговуються (обидва телефони зайняті).
Граф станів матиме вигляд:

Знаходимо ймовірності станів. За наведеними формулами (+):

В середньому, за годину втрачається 54% заявок або 0,54 × 30 \u003d 16,2 заявки. Обслуговується 13,8 заявок на годину і середня прибуток 13,8 × 30 \u003d 414 рублів.
Розглянемо тепер ситуацію з трьома лініями. У цьому випадку три оператора обслуговують 3 телефонні лінії, і що надходить дзвінок приходить на будь-яку вільну лінію. Можливі наступні стани:
S 0 - немає заявок (три телефони вільні),
S 1 - одна заявка обслуговується (один телефон зайнятий),
S 2 - дві заявки обслуговуються (два телефони зайняті),
S 3 - три заявки обслуговуються (всі телефони зайняті).

За формулами (+) знаходимо ймовірності станів:
,
.
В середньому втрачається 35% заявок або 10,4 заявки на годину. Обслуговується 19,6 заявок. Середній прибуток - 588 рублів на годину. Прибуток зріс на 174. При витратах 150 рублів на годину, третій канал обслуговування вводити доцільно.