Для завдання декартової прямокутної системи координат потрібно вибрати кілька взаємноперпендикулярних прямих, які називаються осями. Точка перетину осей O називається початком координат.

На кожній осі потрібно задати позитивний напрямок та вибрати одиницю масштабу. Координати точки P вважаються позитивними або негативними залежно від того, яку піввісь потрапляє проекція точки P.

Мал. 2

Декартові прямокутні координати точки P на площині двохвзаємно перпендикулярних прямих - осей координат або, що те саме, проекції радіус-вектора rточки P на дві

Коли говорять про двомірну систему коодинат, горизонтальну вісь називають віссю абсцис(віссю Ox), вертикальну вісь - віссю ординат(Віссю Оy). Позитивні напрями вибирають на осі Ox – праворуч, на осі Oy – вгору. Координати x і y називаються відповідно абсцисою та ординатою точки.

Запис P(a,b) означає, що точка P на площині має абсцис a і ординату b.

Декартові прямокутні координатиточки P у тривимірному просторіназиваються взяті з певним знаком відстані (виражені в одиницях масштабу) цієї точки до трьохвзаємно перпендикулярних координатних площин або, що ж, проекції радіус-вектора rточки P на тривзаємно перпендикулярні координатні осі.

Залежно від взаємного розташування позитивних напрямів координатних осей можливі ліваі правакоординатні системи.

Мал. 3а	Мал. 3б

Як правило, користуються правою координатною системою. Позитивні напрями вибирають: на осі Ox – на спостерігача; на осі Oy - праворуч; на осі Oz – вгору. Координати x, y, z називаються відповідно абсцисою, ординатою та аплікатою.

Координатними поверхнями, для яких одна з координат залишається постійною, тут є площини, паралельні координатним площинам, а координатними лініями, вздовж яких змінюється лише одна координата - прямі, паралельні координатним осям. Координатні поверхні перетинаються координатними лініями.

Запис P(a,b,c) означає, що точка Q має абсцис a, ординату b і аплікату c.

Глава I. Вектори на площині та у просторі

§ 13. Перехід від однієї прямокутної декартової системи координат до іншої

Цю тему ми пропонуємо Вам розглянути у двох варіантах.

1) За підручником І.І.Привалов "Аналітична геометрія" (підручник для вищих технічних навчальних закладів 1966)

І.І.Привалов "Аналітична геометрія"

§ 1. Завдання перетворення координат.

Положення точки на площині визначається двома координатами щодо деякої системи координат. Координати точки зміняться, якщо ми виберемо іншу систему координат.

Завдання перетворення координат полягає в тому, щоб, знаючи координати точки в одній системі координат, знайти її координати в іншій системі.

Це завдання буде вирішено, якщо ми встановимо формули, що зв'язують координати довільної точки по двох системах, причому коефіцієнти цих формул увійдуть постійні величини, що визначають взаємне положення систем.

Нехай дані дві декартові системи координат хОуі XO 1 Y(Рис. 68).

Положення нової системи XO 1 Yщодо старої системи хОубуде визначено, якщо відомі координати а і b нового початку O 1за старою системою та кут α між осями Охі Про 1 Х. Позначимо через хі укоординати довільної точки М щодо старої системи, через X та Y-координати тієї ж точки щодо нової системи. Наше завдання полягає в тому, щоб старі координати хі увиразити через нові X і Y. В отримані формули перетворення повинні, очевидно, входити постійні a, b і α .

Вирішення цього спільного завдання ми отримаємо з розгляду двох окремих випадків.

1. Змінюється початок координат, напрями осей залишаються незмінними ( α = 0).

2. Змінюються напрями осей, початок координат залишається незмінним ( а = b = 0).

§ 2. Перенесення початку координат.

Нехай дані дві системи декартових координат з різними початками Oі O 1та однаковими напрямками осей (рис. 69).

Позначимо через а і b координати нового початку Про 1у старій системі та через х, уі X, Y-координати довільної точки М відповідно у старій та новій системах. Проектуючи точку М на осі Про 1 Хі Ох, а також точку Про 1на вісь Ох, отримаємо на осі Охтри точки О, Аі Р. Величини відрізків ОА, АРі ВРпов'язані наступним співвідношенням:

| ОА| + | АР | = | ВР |. (1)

Помітивши, що | ОА| = а , | ВР | = х , | АР | = | О 1 Р 1 | = Х, перепишемо рівність (1) у вигляді:

а + X = x або x = X + а . (2)

Аналогічно, проектуючи М і Про 1на вісь ординат, отримаємо:

y = Y + b (3)

Отже, стара координата дорівнює новій плюс координата нового початку за старою системою.

З формул (2) та (3) нові координати можна виразити через старі:

Х = х - а , (2")

Y = y - b . (3")

§ 3. Поворот осей координат.

Нехай дані дві декартові системи координат з однаковим початком Прота різними напрямками осей (рис. 70).

Нехай α є кут між осями Охі ОХ. Позначимо через х, у і X, Yкоординати довільної точки М відповідно у старій та новій системах:

х = | ВР | , у = | РM | ,

X= | ОР 1 |, Y= | Р 1 M |.

Розглянемо ламану лінію ОР 1 MPі візьмемо її проекцію на вісь Ох. Помічаючи, що проекція ламаної лінії дорівнює проекції відрізка, що замикає (гл. I, § 8) маємо:

ОР 1 MP = | ВР |. (4)

З іншого боку, проекція ламаної лінії дорівнює сумі її проекцій ланок (гл. I, § 8); отже, рівність (4) запишеться так:

пр ОР 1+ ін Р 1 M+ пp MP= | ВР | (4")

Оскільки проекція спрямованого відрізка дорівнює його величині, помноженій на косинус кута між віссю проекцій і віссю, де лежить відрізок (гл. I, § 8), то

пр ОР 1 = X cos α

пр Р 1 M = Y cos (90° + α ) = - Y sin α ,

пp MP= 0.

Звідси рівність (4") нам дає:

x = X cos α - Y sin α . (5)

Аналогічно, проектуючи ту ж ламану на вісь Оу, отримаємо вираз для у. Насправді, маємо:

пр ОР 1+ ін Р 1 M+ пp MP= пp ВР = 0.

Помітивши, що

пр ОР 1 = X cos ( α - 90 °) = X sin α ,

пр Р 1 M = Y cos α ,

пp MP = - y ,

будемо мати:

X sin α + Y cos α - y = 0,

y = X sin α + Y cos α . (6)

З формул (5) та (6) ми отримаємо нові координати Xі Yвираженими через старі х і у , якщо розв'яжемо рівняння (5) та (6) щодо Xі Y.

Зауваження.Формули (5) та (6) можуть бути отримані інакше.

З рис. 71 маємо:

х = ВР = ОМ cos ( α + φ ) = ОМ cos α cos φ - ОМ sin α sin φ ,

у = РМ = ОМ sin ( α + φ ) = ОМ sin α cos φ + ОМ cos α sin φ .

Оскільки (гл. I, § 11) OM cos φ = X, ОМ sin φ =Y, то

x = X cos α - Y sin α , (5)

y = X sin α + Y cos α . (6)

§ 4. Загальний випадок.

Нехай дано дві декартові системи координат з різними початками та різними напрямками осей (рис. 72).

Позначимо через а і b координати нового початку Про, за старою системою, через α -кут повороту координатних осей і, нарешті, через х, у і X, Y- координати довільної точки М відповідно до старої та нової систем.

Щоб виразити х і у через Xі Y, введемо допоміжну систему координат x 1 O 1 y 1 , початок якої помістимо в новому початку Про 1, а напрями осей візьмемо збігаються з напрямками старих осей. Нехай x 1 та y 1 позначають координати точки М щодо цієї допоміжної системи. Переходячи від старої системи координат до допоміжної, маємо (§ 2):

х = х 1 + а , у = у 1 + b .

х 1 = X cos α - Y sin α , y 1 = X sin α + Y cos α .

Замінюючи х 1 та y 1 у попередніх формулах їх виразами з останніх формул, знайдемо остаточно:

x = X cos α - Y sin α + a

y = X sin α + Y cos α + b (I)

Формули (I) містять як окремий випадок формули §§ 2 і 3. Так, при α = 0 формули (I) звертаються до

x = X + а , y = Y + b ,

а при а = b = 0 маємо:

x = X cos α - Y sin α , y = X sin α + Y cos α .

З формул (I) ми отримаємо нові координати Xі Yвираженими через старі х і у , якщо рівняння (I) дозволимо щодо Xі Y.

Відзначимо дуже важливу властивість формул (I): вони лінійні щодо Xі Y, Т. е. виду:

x = AX + BY + C, y = A 1 X+B 1 Y + C 1 .

Легко перевірити, що нові координати Xі Yвисловляться через старі х і у теж формулами першого ступеня щодо х і у.

Г.Н.Яковлєв "Геометрія"

§ 13. Перехід від однієї прямокутної декартової системи координат до іншої

Вибір прямокутної декартової системи координат встановлює взаємно однозначну відповідність між точками площини і впорядкованими парами дійсних чисел. Це означає, що кожній точці площини відповідає єдина пара чисел і кожній упорядкованій парі дійсних чисел відповідає єдина точка.

Вибір тієї чи іншої системи координат нічим не обмежений і визначається у кожному конкретному випадку лише міркуваннями зручності. Часто одну й ту саму множину доводиться розглядати в різних координатних системах. Одна й та сама точка у різних системах має, очевидно, різні координати. Безліч точок (зокрема, коло, парабола, пряма) у різних системах координат задається різними рівняннями.

З'ясуємо, як перетворюються координати точок площини під час переходу від однієї координатної системи до іншої.

Нехай на площині задані дві прямокутні системи координат: i, j та О", i", j" (Рис. 41).

Першу систему з початком у точці Про та базовими векторами i і j умовимося називати старою, другу - з початком у точці О" та базисними векторами i" і j" - Нової.

Положення нової системи щодо старої вважатимемо відомим: нехай точка О" в старій системі має координати ( a;b ), a вектор i" утворює з вектором i кут α . Кут α відраховуємо у напрямку, протилежному руху годинникової стрілки.

Розглянемо довільну точку М. Позначимо її координати у старій системі через ( х;у ), у новій - через ( х "; у" ). Наше завдання – встановити залежність між старими та новими координатами точки М.

З'єднаємо попарно точки О і О, О і М, О і М. За правилом трикутника отримуємо

OM > = OO" > + O"M > . (1)

Розкладемо вектори OM> і OO"> за базовими векторами i і j , а вектор O"M> за базовими векторами i" і j" :

OM > = x i+ y j , OO" > = a i+ b j , O"M > = x" i"+ y" j "

Тепер рівність (1) можна записати так:

x i+ y j = (a i+ b j ) + (x" i"+ y" j "). (2)

Нові базисні вектори i" і j" розкладаються за старими базисними векторами i і j наступним чином:

i" = cos α i + sin α j ,

j" = cos ( π / 2 + α ) i + sin ( π / 2 + α ) j = - sin α i + cos α j .

Підставивши знайдені вирази для i" і j" у формулу (2), отримаємо векторну рівність

x i+ y j = a i+ b j + х"(cos α i + sin α j ) + у"(- sin α i + cos α j )

рівносильне двом числовим рівностям:

х = а + х" cos α - у" sin α , у = b+ х" sin α + у" cos α

Формули (3) дають вирази для старих координат. хі уточки через її нові координати х"і у". Для того щоб знайти вирази для нових координат через старі, достатньо вирішити систему рівняння (3) щодо невідомих х"і у".

Отже, координати точок при перенесенні початку координат в точку ( а; b ) та повороті осей на кут α перетворюються за формулами (3).

Якщо змінюється лише початок координат, а напрями осей залишаються колишніми, то вважаючи у формулах (3) α = 0, отримуємо

Формули (5) називають формулами повороту.

Завдання 1.Нехай координати нового початку у старій системі (2; 3), а координати точки А у старій системі (4; -1). Знайти координати точки А в новій системі, якщо напрями осей залишаються незмінними.

За формулами (4) маємо

Відповідь. A (2; -4)

Завдання 2.Нехай координати точки Р у старій системі (-2; 1), а в новій системі, напрями осей якої ті самі, координати цієї точки (5; 3). Знайти координати нового початку у старій системі.

А За формулами (4) отримуємо

- 2= а + 5 1 = b + 3

звідки а = - 7, b = - 2.

Відповідь. (-7; -2).

Завдання 3.Координати точки А у новій системі (4; 2). Знайти координати цієї точки у старій системі, якщо початок координат залишився колишнім, а осі координат старої системи повернені на кут α = 45 °.

За формулами (5) знаходимо

Завдання 4.Координати точки A у старій системі (2 √3 ; - √3 ). Знайти координати цієї точки в новій системі, якщо початок координат старої системи перенесено в точку (-1; -2), а осі повернуті на кут α = 30 °.

За формулами (3) маємо

Вирішивши цю систему рівнянь щодо х"і у", знайдемо: х" = 4, у" = -2.

Відповідь. A (4; -2).

Завдання 5.Дано рівняння прямої у = 2х - 6. Знайти рівняння тієї ж прямої у новій системі координат, яка отримана зі старої системи поворотом осей на кут α = 45 °.

Формули повороту в даному випадку мають вигляд

Замінивши в рівнянні прямий у = 2х - 6 старі змінні х і у новими, отримаємо рівняння

√ 2 / 2 (x"+y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,

яке після спрощень набуває вигляду y" = x" / 3 - 2√2

Тема №2:Підготовка карти до роботи, вимірювання картки. Визначення координат та цілевказівка.

Заняття №2Вимірювання на карті.

Запитання 1: Плоскі прямокутні координати на картах, визначення прямокутних координат на карті, нанесення об'єктів на карту.

Прямокутні координати(плоскі) - лінійні величини (абсцис Хта ордината У), що визначають положення точки на площині (карті) щодо двох взаємно перпендикулярних осей Хта У. Абсцисса Хта ордината Vточки Л - відстані від початку координат до основ перпендикулярів, опущених з точки Ана відповідні осі, із зазначенням знака.

У топографії та геодезії орієнтування проводиться на півночі з рахунком кутів по ходу годинникової стрілки. Тому для збереження знаків тригонометричних функцій положення осей координат, прийняте в математиці, повернуто на 90° (за вісь Хприйнято вертикальну лінію, за вісь У-горизонтальна).

Прямокутні координати (Гаусса) на топографічних картах застосовуються за координатними зонами, на які ділиться поверхня Землі при зображенні її на картах у Проекції Гауса (див. п.1.4). Координатні зони – частини земної поверхні, обмежені меридіанами з довготою, кратною 6°.

Мал. 4.Система прямокутних координат на топографічних картах:

a – однієї зони; б - частини зони

Рахунок зон походить від Грінвічського меридіана із заходу на схід. Перша зона обмежена меридіанами 0 і 6°, друга - 6 і 12°, третя -12 і 18° і т. д. Територія СРСР розташовується в 29 зонах (від 4-ї до 32-ї включно). Протяжність кожної зони з півночі на південь становить приблизно 20 000 км. Ширина зони на екваторі дорівнює приблизно 670 км, на широті 40-510, на широті 50-430, на широті 60-340 км.

Усі топографічні карти межах однієї зони мають загальну систему прямокутних координат. Початком координат у кожній зоні служить точка перетину середнього (осьового) меридіана зони з екватором (рис. 15), середній меридіан зони відповідає осі абсцис (X),а екватор-осі ординат (У).При такому розташуванні координатних осей абсциси точок, розташованих на південь від екватора, і ординати точок, розташованих на захід від середнього меридіана, матимуть негативні значення. Для зручності користування координатами на топографічних картах прийнятий умовний рахунок ординат, що виключає негативні значення координати У. Це викликано тим, що відлік ординат йде не від нуля, а від величини 500 км, тобто початок координат у кожній зоні перенесено на 500 км вліво вздовж осі "У".Крім того, для однозначного визначення положення точки прямокутних координат на земній кулі до значення координати уліворуч приписується номер зони (однозначне чи двозначне число). Якщо, наприклад, точка має координати х =5 650 450; у=3620840, це означає, що вона розташована в третій зоні на віддаленні 120 км 840 м (620840-500000) на схід від середнього меридіана зони і на віддаленні 5650 км 450 м на північ від екватора.

Повні координати- Прямокутні координати, вказані повністю, без будь-яких скорочень. У прикладі, наведеному вище, подано повні координати точки.

Скорочені координатизастосовуються для прискорення цілевказівки по топографічній карті. У цьому випадку вказують лише десятки та одиниці кілометрів та метри, наприклад, х = 50450; у = 20840.

Скорочені координати не можна застосовувати, якщо район дій охоплює простір довжиною понад 100 км за широтою чи довготою.

Координатна (кілометрова) сітка(рис. 16) - сітка квадратів на топографічних картах, утворена горизонтальними та вертикальними лініями, проведеними паралельно-осям прямокутних координат через певні інтервали; на карті масштабу 1: 25 000 – через 4 см, на картах масштабів 1:50 000, 1:100 000 та 1:200 000 – через 2 см. Ці лінії називаються кілометровими.

На карті масштабу 1:500 000 координатна сітка повністю не з'являється, наносяться тільки виходи кілометрових ліній по сторонах рамки через 2 см. За потреби, по цих виходах координатна сітка може бути прокреслена на карті.

Координатна сітка використовується для визначення прямокутних координат і нанесення на карту точок, об'єктів, цілей за їх координатами, для цілевказівки та відшукання на карті різних об'єктів (пунктів), для орієнтування карти на місцевості, вимірювання дирекційних кутів, наближеного визначення відстаней та площ.

Мал. 16.Координатна (кілометрова) сітка на топографічних

картах різних масштабів

Кілометрові лінії на картах підписуються біля їхніх виходів за рамкою аркуша та в дев'яти місцях усередині аркуша картки. Найближчі до кутів рамки кілометрові лінії, а також найближче до північно-західного кута перетин ліній підписуються повністю, інші скорочено, двома цифрами (вказуються лише десятки та одиниці кілометрів). Підписи у горизонтальних ліній відповідають відстаням від осі ординат (від екватора) за кілометри. Наприклад, підпис-6082 у правому верхньому кутку (рис. 17) показує, що дана лінія відстою від екватора на віддаленні 6082 км.

Підписи у вертикальних ліній позначають номер зони (одна чи дві перші цифри) на відстань за кілометри (завжди три цифри) від початку координат, умовно перенесеного на захід від середнього меридіана на 500 км. Наприклад, підпис 4308 в лівому верхньомукуті означає: 4 - номер зони, 308 - відстань відумовного початку координат за кілометри.

Рис.17.Додаткова координатна сітка

Додаткова координатна (кілометрова) сіткапризначається перетворення координат однієї зони в систему координат інший, сусідньої зони. Вона може бути нанесена на топографічних картах масштабів 1:25 000, 1:50 000, 1:100 000 і 1:200 000 по виходах кілометрових ліній у суміжній західній або східній зоні Виходи кілометрових ліній у вигляді рис з розташованих протягом 2° на схід та захід від граничних меридіанів зони.

На рис. 17 рисочки на зовнішній стороні західної рамки з підписами 816082 і північній стороні рамки з підписами 369394 і т д позначають виходи кілометрових ліній у системі координат суміжної (третьої) зони. При необхідності додаткова координатна сітка прокреслюється на аркуші карти шляхом з'єднання однойменних рис на протилежних сторонах рамки. Збудована сітка є продовженням кілометрової сітки аркуша карти суміжної зони і повинна повністю збігатися (змикатися) з нею при склеюванні картки.

Визначення прямокутних координат точок карти.

Спочатку вимірюють по перпендикуляру відстань від точки до нижньої кілометрової лінії, за масштабом визначають його дійсну величину в метрах і приписують праворуч до підпису кілометрової лінії. При довжині відрізка більше кілометра спочатку підсумовують кілометри, а потім також приписують число метрів справа. х(Абсцис).

Так само визначають і координату у(ординату) тільки відстань від точки вимірюють до лівої сторони квадрата.

Приклад визначення координат точки Апоказаний нарис 18- х = 5 877 100. у = 3 302 700

Тут же наведено приклад визначення координат точки В,розташованої біля рамки аркуша карти в неповному квадраті- х == 5 874 850, у = 3 298 800

Вимірювання виконують циркулем-вимірником, лінійкою або координатоміром. Найпростішим координатоміром служить офіцерська лінійка, на двох взаємно перпендикулярних краях, якою є міліметрові поділки та написи хі у.

При визначенні координат координатомір накладають на квадрат, в якому розташовується точка, і, сумісивши вертикальну шкалу з його лівою стороною, а горизонтальну з точкою, як показано на рис 18, знімають відліки.

Відліки - в міліметрах (десяті міліметри відраховують на око) відповідно до масштабу карти перетворять на дійсні величини - кілометри і метри, а потім величину, отриману за вертикальною шкалою, підсумовують (якщо вона більше кілометра) з оцифровуванням нижньої сторони квадрата або приписують до справа (якщо величина менша за кілометр). Це буде координата хточки.

Так само отримують і координату увеличину, що відповідає відліку по горизонтальній шкалі, тільки підсумовування проводять з оцифруванням лівої сторони квадрата.

На рис. 18 показаний приклад визначення прямокутних координат точки С: х = 5 873 300; у "3300 800.

Нанесення точок на карту прямокутних координат. Насамперед за координатами в кілометрах і оцифруванням кілометрових ліній знаходять на карті квадрат, в якому має бути розташована точка.

Квадрат місцезнаходження точки на карті масштабу 1:50 000, де кілометрові лінії проведено через 1 км, знаходять безпосередньо за координатами об'єкта в кілометрах. На карті масштабу 1:100000 кілометрові лінії проведено через 2 км і підписано парними числами, тому якщо одна чи дві координати точки в кілометрах непарні числа, то потрібно знаходити квадрат, сторони якого підписані числами на одиницю меншу за відповідну координату в кілометрах.

На карті масштабу 1:200 000 кілометрові лінії проведено через 4 км і підписано числами, кратними 4. Вони можуть бути меншими за відповідну координату точки на 1,2 або 3 км. Наприклад, якщо дані координати точки (у кілометрах) х= 6755 та у= 4613, то сторони квадрата матимуть оцифрування 6752 та 4612.

Після знаходження квадрата, в якому розташована точка, розраховують її віддалення від нижньої сторони квадрата та отриману відстань відкладають у масштабі карти від нижніх кутів квадрата вгору. До отриманих точок прикладають лінійку і від лівої сторони квадрата також у масштабі карти відкладають відстань, що дорівнює видаленню об'єкта від цієї сторони.

На рис. 19 показаний приклад нанесення на карту точки Л за координатами х == 3 768 850, у = 29 457 500.

Працюючи з координатомером спочатку також знаходять квадрат, у якому розташована точка. На цей квадрат накладають координатомір, поєднують його вертикальну шкалу із західною стороною квадрата так, щоб проти нижньої сторони квадрата був відлік, що відповідає координаті х.Потім, не змінюючи положення координатоміра, знаходять на горизонтальній шкалі відлік, що відповідає координаті у.Крапка проти відліку покаже її місцезнаходження, що відповідає даним координатам.

На рис. 19 показаний приклад нанесення на карту точки В,розташованої в неповному квадраті, за координатами ж = 3765500; у = 29 457 650.

Рис.19

В даному випадку координатомір накладений так, що горизонтальна шкала його поєднана з північною стороною квадрата, а відлік проти його західної сторони відповідає різниці координати уточки та оцифрування цієї сторони (29457 км 650 м-29456 км = = 1 км 650 м). Відлік, що відповідає різниці (шифрування північної сторони квадрата та координати х(Е766 км – 3765 км 500 м), відкладений за вертикальною шкалою вниз. Розташування точки Убуде проти штриха біля відліку 500 м-коду.

З цієї статті Ви дізнаєтесь способи визначення простору, які бувають системи координат

Завдання простору

Для визначення місця розташування точки в просторі можна використовувати будь-яку систему координат, залежно від завдання. Наприклад, якщо Ви проектуєте світильник у формі кулі, то Ви скористаєтеся сферичними координатами, якщо у Вашому завданні необхідно описати рух по спіралі – Ви оберете циліндричні координати. Отже, попереду системи координат, що часто використовуються.

Декартова система координат x, y, z

Декартова чи прямокутна система координат. У декартовій системі координат положення точки визначається за допомогою координат по кожній осі, у двовимірній системі координат - це пара чисел (x, y), в тривимірному просторі - група з трьох чисел (x, y, z). Координати декартової системи належать множині дійсних чисел, тобто. x,y та z - це будь-яке речовинне число (-∞;+∞)

Полярна система координат ρ, θ

Полярна система координат - плоска система координат, у якій положення будь-якої точки визначається за допомогою відстані rвід центру системи координат та кута між радіус-вектором до осі x. Полярна система координат використовується коли відстані між точками зручніше визначати кутом та відстанню. Також полярна система координат використовується уявлення комплексних чисел. У полярній системі координат r 0, кут φ ∈ )