Дійсні числа та їх класифікація. Розряди і класи

* Звиклі до вимогливості міс Девіс учні, з'явилися в класі за кілька хвилин до кінця зміни. Ніхто не поспішав діставати пергаменти і пір'я, знаючи, що з початком лекції ті самі з'являться на партах. Замість цього студенти почали спостерігати за тим, як міс Девіс за допомогою магії розвішує на дошці численні графіки, таблиці і діаграми, один вид яких міг нагнати смуток і тугу *
- Бачу, багато хто з вас вже встигли ознайомитися з матеріалом лекції - * коротко привітавши присутніх, продовжила чародійка * - Наша з вами задача на сьогодні - зробити так, щоб цей матеріал був вами не тільки побачений, але і зрозумілий - * дзвін шкільного дзвони перервав Ейн і та з досадою скривилася *
// Матеріалу, як зазвичай, багато, а часу, як завжди, не вистачає. І на Нумерологію в шкільній програмі відведено так мало годин //
- Не будемо гаяти час і почнемо прямо зараз.
* Жах, застиглий на обличчях деяких студентів, виразно натякав на те, що вони зараз із задоволенням зайнялися б не громіздкими і складними обчисленнями, а чимось іншим. Але професор була невблаганна *
- На минулих заняттях ми познайомилися з різними алфавітними нумерації. А з сьогоднішнього дня почнемо знайомитися з їх застосуванням в нумерологічних обчисленнях. І почнемо з тих з них, які були розроблені нумерології Стародавньої Греції.
- Наприклад, з психоматриці Піфагора? - * уточнила рудоволоса старшокурсниця за першою партою *
- Не плутайте, міс Гаррет - * попередила її професор * - психоматриці і квадрат Піфагора - це абсолютно різні речі. В основі психоматриці лежить квадрат Піфагора, а не навпаки. Вона з'явилася набагато пізніше і була розроблена російськими нумерології далеко від території сучасної Греції. Методики розрахунку і аналізу результатів в обох випадках різняться так сильно, що говорити про злиття психоматриці і квадрата Піфагора не доводиться. І, якщо вже ми заговорили про Піфагора, то з нього, мабуть, і почнемо. Для тих, хто не пам'ятає, як виглядає цей древній вчений чоловік, нагадаю - саме так - * підкоряючись легкому помахом палички чарівниці, на дошку відправився досить великий портрет *

Він народився в 570 році до нашої ери на острові Самос, в родині Мнесарха і Партенід. Про те, чим же насправді займалися батьки Піфагора, точних відомостей немає. Одні називають Мнесарха Самосским каменерізом, інші - фінікійським купцем з Тіра, які переїхали на Самос і одружується на знатній грекині. Народження Піфагора було передбачене дельфийской віщункою Піфією. Чарівниця сказала, що син Мнесарха «принесе стільки користі і добра людям, скільки не приводив і не принесе в майбутньому ніхто інший». Щасливий батько вирішив назвати новонародженого Пифагором, і навіть дружині дати ім'я Піфаіда. Хлопчик і справді виявився дуже обдарованим - в 18 років він відправився в Єгипет, маючи при собі рекомендаційний лист від самого Поликрата. Там Піфагор осягав знання, недоступні простим чужинцям, і витратив на це 22 роки. Ще 12 років навчання пройшли в Вавилоні, куди вчений потрапив після завоювання Єгипту царем Камбизом. Саме під час вивчення єгипетських і вавилонських трактатів, Піфагор захопився нумерології. Повернувшись на рідну Самос 56-річним дідом, він задумався, чому його вчителя, вивчаючи вплив чисел на долі людей, залишали без уваги вплив імен. Адже будь-яке ім'я може бути записано у вигляді певної послідовності цифр. Та й знайома всім нам ионийская нумерація була гарною підмогою для перевірки вченим його гіпотези. Думав Піфагор і про недосконалість існуючої на той момент класифікації чисел. А точніше, про практично повну її відсутність. Ідеї \u200b\u200bПіфагора людям того часу здавалися сміливими і незвичайними, але все ж він зумів знайти однодумців. Учні та послідовники Піфагора пізніше об'єдналися в якусь подобу ордена і стали називатися піфагорійцями. Саме піфагорійцями була створена принципово нова класифікація чисел, яка використовується багатьма нумерології і в наші дні - * дівчина вказала паличкою на один з плакатів, і зображення стало трішки яскравіше, даючи можливість навіть студентам з гальорки без зусиль прочитати написане *

парні	непарні
Парному-парні	складові
Парному-непарні	несоставние
Непарній-парні (непарній-непарні)	Несоставние-складові
вчинені
сверхсовершенние
недосконалі

- Непарні числа - це числа, що складаються з двох частин, одна з яких парна, а друга - непарна. Наприклад: 4 (парна частина) + 3 (непарна частина) \u003d 7. Непарне число також можна записати в вигляді m \u003d 2k + 1, де k € Z. Тобто, k належить множині цілих чисел, і дробові ми в цьому випадку не розглядаємо.
Парні числа - це числа, що складаються з двох частин, обидві з яких або парні, або непарні. Наприклад: 4 (парна частина) + 4 (парна частина) \u003d 8 \u003d 5 (непарна частина) + 3 (непарна частина). Парне число також можна записати в вигляді m \u003d 2k, де k € Z. І тут k теж є частиною безлічі цілих чисел.
Маггли дали б дещо інше, відмінне від Піфагора, визначення парності чисел. З їх точки зору парність - це характеристика цілого числа. А парні числа - це такі цілі числа, які здатні ділитися на 2 без залишку. Непарні числа, відповідно, без остачі на 2 не діляться.
* Ейн вказала паличкою на нижню частину плаката *
(6 + 6) \u003d 12 \u003d (7 + 5) - парне за Піфагором
12: 2 \u003d 6 - парне
12 \u003d 2 * 6, де m \u003d 12, k \u003d 6
(10 + 5) \u003d 15 - непарна за Піфагором
15: 2 \u003d 7,5 - непарне
15 \u003d (2 * 7) + 1, де m \u003d 15, k \u003d 7
- В нумерології набагато частіше використовується саме те визначення парних і непарних чисел, яке дав Піфагор.
складові числа - це числа, які діляться без залишку на самих себе, одиницю і деякі інші подільники. Наприклад: 9 (1; 3; 9), 15 (1; 3; 5; 15) 27 (1; 3; 9; 27), 33 (1; 3; 11; 33) і так далі.
несоставние числа - це числа, які діляться без залишку на самих себе і одиницю. Наприклад: 3 (1 і 3), 5 (1 і 5), 7 (1 і 7), 11 (1 і 11), 13 (1 і 13) і так далі. Такі числа деякі нумерологи ще називають лінійними. З точки зору піфагорійців, їх можна зобразити у вигляді лінії, що складається з послідовно стоять один за одним точок.
Несоставние-складені числа - це числа, які не мають загального дільника, але кожне з них саме по собі ділимо. Наприклад: 9 (1; 3; 9) і 25 (1; 5; 25). Як бачимо, такого загального числа, на яке і 9, і 25 ділилися б без залишку, дійсно немає. Ці числа завжди розглядаються в парі.
З парними числами все трохи складніше.
Парному-парні числа - це числа, які виходять шляхом подвоєння, починаючи з одиниці. Наприклад: 1, 2, 4, 8 і так далі. Піфагор вважав ці числа досконалими, адже кожне з них можна було поділити на 2 один або кілька разів, і так аж до отримання 1. У парному-парних чисел є ряд унікальних властивостей. Так, сума будь-якого числа термінів 1, крім останнього, завжди дорівнює останньому за вирахуванням одиниці. Страшно? - * запитала студентів Ейн * - Зовсім ні. Розглянемо приклад: (1 + 2 + 4 + 8) \u003d (16-1). Раніше ми з вами вже говорили про те, що ж таке парному-парні числа. І якби нам захотілося записати послідовність цих чисел, ми б отримали ось такі результати: 1, 2, 4, 8, 16, 32 ... Значить, слідом за 8 повинно йти число 16. Але, відповідно до властивостей парному-парних чисел, при додаванні перших чотирьох чисел ми отримаємо не 16, а 15. Число, на один менше того, яке могли б очікувати, дивлячись на послідовність парному-парних чисел. Числовий ряд, що складається з таких чисел, теж має одну цікаву властивість: перший член, помножений на останній, дає останній до тих пір, поки в ряду з непарним числом термінів не залишиться одне число. І якщо це число помножити на саме себе, вийде останнє число в ряду.
Парному-непарні числа - це числа, які можна розділити на 2 без залишку всього один раз. Наприклад: 2, 6, 10, 14 і так далі. Якщо ми спробуємо розділити на 2, наприклад, 10, то отримаємо 5. Але якщо ми спробуємо розділити на два 5, то ціле число вже не отримаємо. Точно так само всі інші парному-непарні числа в ряду можна без остачі розділити на 2 тільки один раз. Парному-непарні числа виходять шляхом множення непарних чисел на 2. Наприклад: 2 (1 * 2), 6 (3 * 2), 10 (5 * 2), 14 (7 * 2). У парному-непарних чисел теж є свої унікальні властивості. Так, якщо таке число розділити на непарний дільник, приватне в будь-якому випадку буде парним. А якщо дільник такого числа парний, непарних буде приватна. наприклад:
14: 7 (непарний дільник) \u003d 2 (парне приватне)
14: 2 (парний дільник) \u003d 7 (непарна приватне)
Числовий ряд таких числі теж має свої власні властивості. Так, будь-яке число в ряду є половиною суми термінів по обидві його сторони в ряду. Давайте розбиратися в цій премудрості. Візьмемо, наприклад, числа 10, 14 і 18. У нашому числовому ряду парному-непарних чисел 10 і 18 будуть стояти по обидва боки від числа 14: 2, 6, 10 , 14, 18 , 22. При цьому 10 + 18 \u003d 28. А 28: 2 \u003d 14. Тобто, 14 дійсно є половиною суми своїх сусідів по ряду.
З третім пунктом Піфагора класифікації справи йдуть трохи гірше. Вчені до цих пір сперечаються про те, як же саме називати цю групу чисел: непарній-парними або непарній-непарними. У різній літературі ви можете зустріти і те, і інше назву. Тому краще запам'ятайте обидва, але знайте, що по суті це одне і те ж. Непарній-парні числа займають проміжну позицію між парному-парними і парному-непарними числами. При їх послідовному розподілі на 2 можна отримати одиницю, так, але зате їх можна без остачі ділити на 2 більше ніж один раз. Непарній-парні числа виходять шляхом множення парному-парних чисел більше 2 на непарні числа. Деякі непарній-парні числа утворюються шляхом множення ряду непарних чисел на 4 і далі на весь ряд парному-парних чисел.
Щоб зрозуміти, до якого виду належить та чи інша парне число, його потрібно розкласти на складові. При цьому кількість частин, на які буде розкладено число, повинна відповідати кількості його подільників. Наприклад, число 6. Воно ділиться на 2, 3, 1 і на саме себе. Отже, 2 + 3 + 1 \u003d 6; 6/6 \u003d 1. З цього ми можемо зробити введення про те, що:
вчинені числа - це числа, сума частин яких дорівнює цілому.
Але бувають і інші числа. Такі, наприклад, як 18. Воно ділиться на 2, 9, 6, 3, 1 і на саме себе. Отже, 2 + 9 + 3 + 6 + 1 \u003d 21; 18/18 \u003d 1. Сума частин явно більше цілого. В такому випадку, число вважається наддосконалих.
сверхсовершенние числа - це числа, сума частин яких перевищує ціле.
Розглянемо ще один приклад. Число 8. Воно ділиться на 2, 4, 1 і на саме себе. Отже, 2 + 4 + 1 \u003d 7; 8/8 \u003d 1. Сума частин менше цілого. А це значить, що ми підійшли до поняття недосконалих чисел.
недосконалі числа - це числа, сума частин яких менше цілого.
- Пане професоре, а непарні числа можуть бути досконалими? - * уточнила серйозна дівчина з гербом Гафелпафу на мантії *
* У класі пролунали здавлені смішки *
- Даремно смієтеся - * одернула веселунів чарівниця * - Міс Тайлер задала дуже правильне питання. Дійсно, непарне число може бути досконалим. Правда, поки тільки в теорії - * зітхнула дівчина * - Вченим-нумеролог точно відомо, що таке число повинно мати 9 простих дільників і 75 простих дільників з урахуванням кратності. Саме число поки виявлено не було, але ніким не доведено, що воно не існує. Зараз деякі нумерологи займаються пошуками такого числа. Бути може, комусь із вас в майбутньому пощастить стати його першовідкривачем.
- Залежно від того, до якої групи належить те чи інше число, воно має певні властивості - * продовжила лекцію чародійка * - І саме ці властивості впливають на долю людини. Парні числа піфагорійці пов'язували з пасивним жіночим началом. Ці числа - відображення замкнутих процесів в природі і самій людині, циклічних змін в рамках єдиного цілого. Парні числа можуть впливати на щось кількісно, \u200b\u200bале не якісно. Непарні числа, навпаки, зазвичай пов'язують з активним чоловічим началом. Вони - відображення відкритих систем і перехідних процесів. Непарні числа змінюють що-небудь якісно, \u200b\u200bа не кількісно.
- Досконалі числа найкращі - * крикнув чубатий другокурсник з червоною нашивкою на мантії *
* Професор Девіс насупилася: цього студента вона не пам'ятала, він був на лекції вперше *
- Вірно, містер ... Уолтон - * звіряючись з журналом, відповіла вона * - Але надалі, не вважайте за працю, піднімайте руку. Дійсно, Піфагор бачив в досконалі числа символ чесноти, золотої середини між недоліком і надмірністю. Чим більше скоєних чисел оточує людину, тим більше чеснот в ньому самому. Недосконалі ж числа Піфагор називав символами пороку. Відповідно, чим гірше людина, тим більше недосконалих чисел його оточує. Але про певний ступінь впливу чисел на долю ми вже говорили на нашому першому занятті. Доля поліваріантна і вибір часто залежить тільки від нас самих. Числа є нашими дороговказом, але сам шлях вибираємо ми. Тому говорити про те, що хтось став успішним тільки завдяки щасливому датою народження, а хтось народився під нещасливою зіркою і тому виріс негідником, не можна. Але повернемося до нашої класифікації. Згодом піфагорійці істотно доповнили та розширили її. Особливо відзначилися в цій справі Гиппас з Метапонта, Дамо, гіпотетична дочка Піфагора і Феано, Модерат з Кадіса, Тимей Локрійскій, Феано, дружина Піфагора, Філолай Екфантом з Сіракуз. Відповідно до роботам цих піфагорійців, числа бувають і ось такими - * професор вказала паличкою на черговий плакат, і той відразу став набагато яскравіше і помітніше *

Продовжувачі справи великого вченого довго сперечалися про те, чи можна вважати нуль числом, а також про те, яким саме чином його класифікувати і в яку групу визначити. Чимало суперечок викликала і одиниця. В результаті їй була відведена важлива роль первинного парному-непарного числа. Саме вона лягла в основу доповненої класифікації, створеної талановитими нумерології давнини. Відповідно до цієї класифікації:
Квадратні числа - це числа, що виходять при додаванні чисел непарних. Наприклад: 1 + 3 \u003d 4; 1 + 3 + 5 + 7 \u003d 16; 1 + 3 + 5 \u003d 9; 3 + 13 \u003d 16. Ці числа піфагорійці іноді зображували у вигляді квадратів.
прямокутні числа - це числа, що виходять при додаванні чисел парних. Наприклад: 2 + 4 \u003d 6; 2 + 4 + 6 \u003d 12.
трикутні числа - це числа, що виходять при додаванні парних і непарних чисел по порядку. Наприклад: 1 + 2 \u003d 3; 1 + 2 + 3 \u003d 6; 1 + 2 + 3 + 4 \u003d 10. Ці числа, з точки зору піфагорійців, можуть бути зображені трикутниками.
п'ятикутні числа - ці числа, на думку піфагорійців, можуть бути зображені п'ятикутниками. До п'ятикутним числах відносять 5, 12 і 22.
Практично будь-яке число може ставитися до всіх трьох категоріях. Залежно від тих чи інших розрахунків, воно може бути і квадратним, і трикутним, а також прямокутним і п'ятикутним.
- Тепер поговоримо про те, якими ж саме властивостями наділяли числа перші дослідники - * чарівниця вказала паличкою на великий плакат, іспещеренний цифрами і їх трактуваннями *

число	Назва	зображення	властивості
			Первинне парному-непарне число, основа всього сущого. Число починань, позитивної динаміки і сили. Діоген Лаертський зазначав, що з монади виникає весь числовий ряд. З монади виходить диада, з діади - всі інші числа, а з них - точки, лінії, «двовимірні» і «тривимірні суті» і тіла. Символізує прямолінійність, незалежність, лідерство і сміливість, в недосконалому вигляді може символізувати агресію і егоїзм.
			Вторинне число, що виражає принцип подвійності всього сущого. Саме «м'яке» число, символ співпраці і дипломатичності. Зазвичай диада зустрічається в даті народження або імені майбутнього наставника і радника. Надає додаткову життєву силу, багато довгожителів і здоровані навіть не підозрюють про те, що цим вони зобов'язані не тільки здорового способу життя та регулярних фізичних навантажень.
			Найпрекрасніше, з точки зору піфагорійців, число. Єдине з усіх натуральних чисел є сумою своїх попередників. Єдине число, у якого сума попередників дорівнює їх же твором. Тріада - одне з чисел магії. Традиційно числами магічної сили вважаються 3, 7 і 11. Дуже потужне творче та мотиваційний число. Символізує оптимізм, самовираження і удачу.
			Ще одне улюблене число піфагорійців. Перше число, отримане шляхом додавання і множення рівних чисел. Символ справедливості, впорядкованості, точності і надійності. Людині прищеплює любов до порядку і правилам, аналізу та систематизації, підсилює наполегливість у досягненні мети, парність і щирість.
			Цей символ носили при собі все піфагорійці. Завдяки йому вони дізнавалися однодумців. Число життя, влади і невразливості. У своїх працях Никомах писав: «Правосуддя - це пентада». Піфагорійці вважали пентаду священним числом, символом об'єднання чоловічого і жіночого начал, любові і шлюбу.
			Число рівноваги світобудови. Символ здоров'я та невичерпної життєвої енергії.
			Піфагорійці називали Еннеада «числом-горизонтом», розмежовує числа першого і всіх наступних десятків. Символ завершення, таланту, артистизму, ідеалізму й альтруїзму.
			Число сходження, піфагорійці бачили в ньому символ з'єднання землі і неба. Декаду було прийнято зображати у вигляді священного символу тетраксис.

* Чарівниця перевела паличку з таблиці на одне із зображень *

Дуже часто замість того зображення декади, яке дано в таблиці, піфагорійці писали ось такий священний знак тетраксис, символ гармонії і Всесвіту. Звичайно, їх трактування не можна розглядати як єдино правильну і вірну. У нумерологів інших країн цим числам можуть бути дані зовсім інші характеристики. І все ж пифагорейские характеристики користуються великою повагою серед нумерологів. У ряді випадку вони дуже повно і точно відбивають справжню сутність більшості чисел. І ...
* Але шкільний дзвін знову нахабно і безсоромним чином перервав професора *
// Уже? //
* Дівчина витягла з кишені мантії срібний годинник на тонкому ланцюжку і переконалася в тому, що час вийшов і лекцію дійсно пора завершувати *
- На сьогодні все. Про квадраті Піфагора та інших не менш цікаві речі поговоримо на наступній лекції. Домашнє завдання на дошці - * Ейн розсунула кілька плакатів і звільнила трохи місця. Торкнувшись дошки чарівною паличкою, вона дала студентам можливість переписати з'явилося там завдання *

завдання

Один зі студентів на лекції піддався ліні і не став детально записувати видається міс Девіс інформацію. А тепер і сам заплутався у власних записах. Як ви думаєте, про які пифагорейских числах тут йдеться? Аргументуйте.
- Первинне всевидюче око
- Два кільця здоров'я
- Зошит порядку
- Викликай демона правосуддя
- Зірка рівноваги
- Многауглофф в голові мудреця
- Перша кубічна штуковина
- Лотос ідеаліста
- Три небесно-земних пламбоба в колі
Наведіть мінімум по одному прикладу замкнутих кількісних процесів в людському організмі і відкритих якісних в навколишньому середовищі. Наприклад, щорічне дорослішання / старіння людини на 1 рік - це циклічний замкнутий кількісний процес.

Додаткові завдання

1. Твір. Вам належить складний іспит, до якого ви не дуже добре готові. Почувши від однокурсників про те, що зображення одного з пифагорейских чисел на пергаменті приносить удачу при тестуванні. Ви вирішуєте спробувати. Який саме знак ви завдасте на свій екзаменаційний пергамент і чому?
1. Доповідь «Не такий страшний знак, як його малюють». Пентаграма не завжди була негативною символом - її зображував на своїх печатках Олександр Македонський, а легендарний сер Гавейн носив на своєму щиті. Розкажіть про те, який складний історико-культурний шлях пройшов цей амбівалентний символ. (1000 символів)
1. Рольовий відіграш «Сімейна мелодрама». Вам крупно не пощастило - ваша молодша сестра народилася сквібом. Поки батьки не зрозуміли, що до чого, ви вирішили взяти ситуацію в свої руки і виправити її. Вам відомо, що 3 з точки зору піфагорійців - це число магії. А значить, якщо оточити нещасну трійками, теоретично, в ній повинна прокинутися повноцінна магія. Відігравши свої спроби допомогти і постарайтеся не попастися на очі батькам, щоб все таємне Герасимчука явним.
1. Завдання на фантазію. Вам дуже пощастило - ви є особистим нумерологом Волдеморта / Гаррі Поттера (вибір персонажа на ваш розсуд). Ви порадили своєму патрону завжди мати при собі знак тетраксис - він повинен забезпечити успіх в будь-яких справах. Однак очікуваного успіху чомусь немає як немає, ваш патрон незадоволений і має намір звільнити вас на папері або за допомогою Авади. Постарайтеся зберегти не тільки своє місце, але і життя. Завдання можна оформити у вигляді рольового відіграшу.
(Ця лекція тільки для 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 курсів)

Знайдіть на числовій окружності точки з даної абсциссой. Координати. Властивість координат точок. Центр числовий окружності. Від кола до тригонометрії. Знайдіть на числовій окружності точки. Точки з абсцисою. Тригонометрії. На числової окружності вкажіть точку. Числова окружність на координатної площині. Числова окружність. Точки з ординатою. Назвати координату точки. Назвати лінію і координату точки.

«« Похідні »10 клас алгебра» - Застосування похідної для дослідження функцій. Похідна дорівнює нулю. Знайдіть точки. Узагальнюємо інформацію. Характер монотонності функції. Застосування похідної до дослідження функцій. Теоретична розминка. Закінчите формулювання тверджень. Виберіть вірне твердження. Теорема. Порівняйте. Похідна позитивна. Порівняйте формулювання теорем. Функція зростає. Достатні умови екстремуму.

«« Тригонометричні рівняння »10 клас» - Значення з проміжку. X \u003d tg х. Вкажіть коріння. Чи вірно рівність. Серії коренів. Рівняння ctg t \u003d a. Визначення. Cos 4x. Знайти корені рівняння. Рівняння tg t \u003d a. Sin х. Чи має сенс вираз. Sin x \u003d 1. Не роби ніколи того, чого не знаєш. Продовжіть фразу. Зробимо вибірку коренів. Розв'яжіть рівняння. Ctg x \u003d 1. Тригонометричні рівняння. Рівняння.

«Алгебра« Похідні »» - Рівняння дотичної. Походження термінів. Вирішити задачу. Похідна. Матеріальна точка. Формули диференціювання. Механічний зміст похідної. Критерії оцінок. Функція похідна. Дотична до графіка функції. Визначення похідної. Рівняння дотичної до графіка функції. Алгоритм відшукання похідної. Приклад знаходження похідної. Структура вивчення теми. Точка рухається прямолінійно.

«Найкоротший шлях» - Шлях в орграфе. Приклад двох різних графів. Орієнтовані графи. Приклади орієнтованих графів. Досяжність. Найкоротший шлях з вершини A в вершину D. Опис алгоритму. Переваги ієрархічного списку. Зважені графи. Шлях в графі. Програма "ProGraph". Суміжні вершини і ребра. Ступінь вершини. Матриця суміжності. Довжина шляху в зваженому графі. Приклад матриці суміжності. Знаходження найкоротшого шляху.

«Історія тригонометрії» - Якоб Бернуллі. Техніка оперування з тригонометричними функціями. Вчення про вимір багатогранників. Леонард Ейлер. Розвиток тригонометрії з XVI століття до нашого часу. Учневі доводиться зустрічатися з тригонометрією тричі. До сих пір тригонометрія формувалася і розвивалася. Побудова загальної системи тригонометричних і прилеглих до них знань. Проходить час, і тригонометрія повертається до школярів.

Поняття дійсного числа: дійсне число- (дійсне число), всяке невід'ємне або негативне число або нуль. За допомогою дійсних чисел висловлюють вимірювання кожної фізичної величини.

речовий, або дійсне число виникло з необхідності вимірювань геометричної та фізичної величин світу. Крім того, для проведення операцій добування кореня, обчислення логарифма, рішення алгебраїчних рівнянь і т.д.

Натуральні числа утворилися з розвитком рахунки, а раціональні з потребою управляти частинами цілого, то речові числа (дійсні) використовуються для вимірювань безперервних величин. Т.ч., розширення запасу чисел, які розглядаються, призвело до безлічі дійсних чисел, яке крім раціональних чисел складається з інших елементів, які називаються ірраціональні числа.

Безліч дійсних чисел (позначається R) - це безлічі раціональних і ірраціональних чисел зібрані разом.

Дійсні числа ділять нараціональні і ірраціональні.

Безліч дійсних чисел позначають і часто називають речовій або числової прямої. Речові числа складаються з простих об'єктів: цілих і раціональних чисел.

Число, яке можливо записати як відношення, деm - ціле число, а n - натуральне число, єраціональним числом.

Будь-яке раціональне число легко уявити як кінцеву дріб або нескінченну періодичну десяткову дріб.

приклад,

Нескінченна десяткова дріб, Це десяткова дріб, у якої після коми є нескінченне число цифр.

Числа, які не можна представити у вигляді, є ірраціональними числами.

приклад:

Будь-яке ірраціональне число легко уявити як нескінченну неперіодичних десяткову дріб.

приклад,

Раціональні і ірраціональні числа створюють безліч дійсних чисел. Всім дійсним числам відповідає одна точка координатної прямої, яка називається числова пряма.

Для числових множин використовуються позначення:

N - безліч натуральних чисел;
Z- безліч цілих чисел;
Q - безліч раціональних чисел;
R - безліч дійсних чисел.

Теорія нескінченних десяткових дробів.

Дійсне число визначається як нескінченна десяткова дріб, Тобто .:

± a 0, a 1 a 2 ... a n ...

де ± є один з символів + або -, знак числа,

a 0 - ціле позитивне число,

a 1, a 2, ... a n, ... - послідовність десяткових знаків, тобто елементів числового безлічі {0,1,…9}.

Нескінченну десяткову дріб можна пояснити як число, яке на числовій прямій знаходиться між раціональними точками типу:

± a 0, a 1 a 2 ... a nі ± (a 0, a 1 a 2 ... a n +10 -n)для всіх n \u003d 0,1,2, ...

Порівняння дійсних чисел як нескінченних десяткових дробів відбувається поразрядно. наприклад, Припустимо дані 2 позитивні числа:

α \u003d + A 0, a 1 a 2 ... a n ...

β \u003d + B 0, b 1 b 2 ... b n ...

якщо a 0 0, то α<β ; якщо a 0\u003e b 0 то α>β . коли a 0 \u003d b 0 переходимо до порівняння наступного розряду. І т.д. коли α≠β , Значить після кінцевого кількості кроків зустрінеться перший розряд n, Такий що a n ≠ b n. якщо a n n, то α<β ; якщо a n\u003e b n то α>β .

Але при цьому нудно звернути увагу на те, що число a 0, a 1 a 2 ... a n (9) \u003d a 0, a 1 a 2 ... a n +10 -n. Тому якщо запис одного з порівнюваних чисел, починаючи з деякого розряду це періодична десяткова дріб, у якої в періоді коштує 9, то її потрібно замінити на еквівалентну запис, з нулем в періоді.

Арифметичні операції з нескінченними десятковими дробами це безперервне продовження відповідних операцій з раціональними числами. наприклад, Сумою дійсних чисел α і β є дійсне число α+β , Яке задовольняє таким умовам:

∀ a ', a' ', b', b ''∈ Q (a '⩽ α ⩽ a '')∧ (B '⩽ β ⩽ b '')⇒ (A '+ b'⩽ α + β ⩽ a '' + b '')

Аналогічно визначає операція множення нескінченних десяткових дробів.

Число - абстракція, яка використовується для кількісної характеристики об'єктів. Числа виникли ще в первісному суспільстві в зв'язку з потребою людей рахувати предмети. З плином часу у міру розвитку науки число перетворилося в найважливіше математичне поняття.

Для вирішення завдань і докази різних теорем необхідно розуміти, які бувають види чисел. Основні види чисел включають в себе: натуральні числа, цілі числа, раціональні числа, дійсні числа.

Натуральні числа - це числа, одержувані при природному рахунку предметів, а вірніше при їх нумерації ( «перший», «другий», «третій» ...). Безліч натуральних чисел позначається латинською буквою N (Можна запам'ятати, спираючись на англійське слово natural). Можна сказати що N ={1,2,3,....}

Цілі числа - це числа з безлічі (0, 1, -1, 2, -2, ....). Це безліч складається з трьох частин - натуральні числа, негативні цілі числа (протилежні натуральним числам) і число 0 (нуль). Цілі числа позначаються латинською буквою Z . Можна сказати що Z ={1,2,3,....}.

раціональні числа - це числа, представимо у вигляді дробу, де m - ціле число, а n - натуральне число. Для позначення раціональних чисел використовується латинська буква Q . Всі натуральні і цілі числа - раціональні.

Дійсні (речові) числа - це числа, яке застосовуються для вимірювання безперервних величин. Безліч дійсних чисел позначається латинською буквою R. Дійсні числа включають в себе раціональні числа і ірраціональні числа. Ірраціональні числа - це числа, які виходять в результаті виконання різних операцій з раціональними числами (наприклад, витяг кореня, обчислення логарифмів), але при цьому не є раціональними.

1. Системи числення.

Система числення - спосіб найменування і записи чисел. Залежно від способу зображення чисел поділяється на позиційні-десяткова і непозиційної-римська.

У ПК використовують 2ічную, 8річную і 16річную системи числення.

Відмінності: запис числа в 16ниючи системі счісленіч в порівнянні з іншим записом значно коротше, тобто вимагає меншої кількості розрядності.

У позиційній системі числення кожна цифра зберігає своє постійне значення незалежно від займаної позиції в числі. У позиційній системі числення кожна цифра визначає не тільки своє значення, але залежить від того становища, яке вона займає в числі. Кожна система числення характеризується підставою. Основаніе- це кількість різних цифр, які використовуються для запису чисел в даній системі числення. Підстава показує у скільки разів змінюється значення однієї і тієї ж цифри при переході на сусідню позицію. У комп'ютері використовується 2-система числення. Підставою системи може бути будь-яке число. Арифметичні дей-ия над числами в будь-якій позиції виконуються за правилами аналогічним 10 системі числення. Для 2 системи числення використовується двійкова арифметика, яка реалізується в комп'ютері для виконання арифметичних обчислень.

Додавання двійкових чисел: 0 + 0 \u003d 1; 0 + 1 \u003d 1; 1 + 0 \u003d 1; 1 + 1 \u003d 10

Віднімання: 0-0 \u003d 0; 1-0 \u003d 1; 1-1 \u003d 0; 10-1 \u003d 1

Множення: 0 * 0 \u003d 0; 0 * 1 \u003d 0; 1 * 0 \u003d 0; 1 * 1 \u003d 1

У комп'ютері широко застосовується 8 система числення і 16 система числення. Вони використовуються для скорочення запису двійкових чисел

2. Поняття множини.

Поняття «безліч» є фундаментальним поняттям математики і не має визначення. Природа породження будь-якого безлічі різноманітна, зокрема, навколишні предмети, жива природа і ін.

визначення 1: Об'єкти, з яких утворено безліч, називаються елементами даної множини. Для позначення безлічі використовують великі літери латинського алфавіту: наприклад X, Y, Z, а в фігурних дужках через кому виписують його елементи малими літерами, наприклад: (x, y, z).

Приклад позначення безлічі і його елементів:

X \u003d (x 1, x 2, ..., x n) - безліч, що складається з n елементів. Якщо елемент x належить множині X, то слід записати: xÎX, інакше елемент x не належить безлічі X, що записується: xÏX. Елементами абстрактної множини можуть бути, наприклад, числа, функції, літери, фігури і т.д. В математиці в будь-якому розділі використовується поняття множини. Зокрема, можна навести деякі конкретні безлічі дійсних чисел. Безліч дійсних чисел х, що задовольняють нерівностям:

· А ≤ x ≤ b називається сегментом і позначається;

· А ≤ x< b или а < x ≤ b называется полусегментом і позначається:;

· а< x < b называется інтервалом і позначається (a, b).

визначення 2: Безліч, що має кінцеве число елементів, називається кінцевим. Приклад. X \u003d (x 1, x 2, x 3).

визначення 3: Безліч називається нескінченним, Якщо воно складається з нескінченного числа елементів. Наприклад, безліч всіх дійсних чисел нескінченно. Приклад запису. X \u003d (x 1, x 2, ...).

визначення 4: Безліч, в якому немає жодного елемента, називають порожнім безліччю і позначають символом Æ.

Характеристикою безлічі є поняття потужності. Потужність - це кількість його елементів. Безліч Y \u003d (y 1, y 2, ...) має ту ж потужність, що і безліч X \u003d (x 1, x 2, ...), якщо існує взаємно однозначна відповідність y \u003d f (x) між елементами цих множин. Такі безлічі мають однакову потужність або рівнопотужні. Порожня множина має нульову потужність.

3. Способи завдання множин.

Вважають, що безліч задано своїми елементами, тобто безліч задано, якщо про будь-якому об'єкті можна сказати: належить він цій множині або не належить. Задавати безліч можна наступними способами:

1) Якщо безліч звичайно, то його можна задати перерахуванням всіх його елементів. Так, якщо безліч Аскладається з елементів 2, 5, 7, 12 , То пишуть А \u003d (2, 5, 7, 12). кількість елементовмножества А одно 4 , пишуть n (А) \u003d 4.

Але якщо безліч нескінченно, то його елементи не можна перерахувати. Важко поставити безліч перерахуванням і кінцеве безліч з великим числом елементів. У таких випадках застосовують інший спосіб завдання безлічі.

2) Безліч можна задати зазначенням характеристичного властивості його елементів. характеристичне властивість - це така властивість, яким володіє кожен елемент, що належить множині, і не володіє жоден елемент, що не належить йому. Розглянемо, наприклад, безліч Х двозначних чисел: властивість, яким володіє кожен елемент даної множини, - «бути двозначним числом». Це характеристичне властивість дає можливість вирішувати про те, чи належить який-небудь об'єкт безлічі Х або не належить. Наприклад, число 45 міститься в даній множині, тому що воно двозначне, а число 4 безлічі Х не належить, тому що воно однозначне і не є двозначним. Трапляється, що один і той же безліч можна задати, вказавши різні характеристичні властивості його елементів. Наприклад, безліч квадратів можна задати як безліч прямокутників з рівними сторонами і як безліч ромбів з прямим кутом.

У тих випадках, коли характеристичне властивість елементів множини можна уявити в символічній формі, можлива відповідний запис. якщо безліч В складається з усіх натуральних чисел, менших 10, то пишуть В \u003d (x N | x<10}.

Другий спосіб - більш загальний і дозволяє задавати як кінцеві, так і нескінченні множини.

4. Числові множини.

Числове - безліч, елементами яких є числа. Числові множини задаються на осі дійсних чисел R. На цій осі вибирають масштаб і вказують початок відліку і напрямок. Найбільш поширені числові безлічі:

· - безліч натуральних чисел;

· - безліч цілих чисел;

· - безліч раціональних або дробових чисел;

· - безліч дійсних чисел.

5. Потужність безлічі. Наведіть приклади кінцевих і нескінченних множин.

Безлічі називаються рівнопотужними, еквівалентними, якщо між ними є взаємно - однозначне або одно-однозначна відповідність, тобто таке попарне відповідність. коли кожному елементу однієї множини зіставляється один-єдиний елемент іншої множини і навпаки, при цьому різним елементам одного безлічі зіставляються різні елементи іншого.

Наприклад, візьмемо групу студентів з тридцяти чоловік і видамо екзаменаційні квитки по одному квитку кожному студенту з стопки, що містить тридцять квитків, таке попарне відповідність з 30 студентів та 30 квитків буде одне-однозначним.

Два безлічі, рівнопотужності з одним і тим же третім безліччю, рівнопотужні. Якщо безлічі M і N рівнопотужні, то і безлічі всіх підмножин кожного з цих множин M і N, також рівнопотужні.

Під підмножиною даної множини розуміється таку силу-силенну, кожен елемент якого є елементом даної множини. Так безліч легкових автомобілів і безліч вантажних автомобілів будуть подмножествами безлічі автомобілів.

Потужність безлічі дійсних чисел, називають потужністю континууму і позначають буквою «Алеф» א . Найменшою нескінченної областю є потужність безлічі натуральних чисел. Потужність безлічі всіх натуральних чисел прийнято позначати (алеф-нуль).

Часто потужності називають кардинальними числами. Це поняття введено німецьким математиком Г. Кантором. Якщо безлічі позначають символічними буквами M, N, то кардинальні числа позначають через m, n. Г. Кантора довів, що безліч всіх підмножин даної множини М має потужність більшу, ніж саме безліч М.

Безліч, рівносильне безлічі всіх натуральних чисел, називається рахунковим безліччю.

6. Підмножини зазначеного безлічі.

Якщо з нашого безлічі вибрати кілька елементів і згрупувати їх окремо - то це буде підмножина нашого безлічі. Комбінацій, з яких можна отримати підмножина багато, кількість комбінацій лише залежить від кількості елементів у вихідному безлічі.

Нехай у нас є два безлічі А і Б. Якщо кожен елемент множини Б є елементом множини А, то безліч Б називається підмножиною А. Позначається: Б ⊂ А. Приклад.

Скільки існує підмножин безлічі А \u003d 1; 2; 3.

Рішення. Підмножини складаючись з елементів нашого безлічі. Тоді у нас існує 4 варіанти за кількістю елементів в підмножині:

Підмножина може складатися з 1 елемента, з 2, 3 елементів і може бути порожнім. Давайте послідовно запишемо наші елементи.

Підмножина з 1 елемента: 1,2,3

Підмножина з 2 елементів: 1,2,1,3,2,3.

Підмножина з 3 елементів: 1; 2; 3

Не забудемо, що порожня множина так само є підмножиною нашого безлічі. Тоді отримуємо, що у нас є 3 + 3 + 1 + 1 \u003d 8 підмножин.

7. Операції над множинами.

Над множинами можна виконувати певні операції, подібні в деякому відношенні операцій над дійсними числами в алгебрі. Тому можна говорити про алгебри множин.

об'єднанням (З'єднанням) множин А і В називається безліч (символічно воно позначається через), що складається з усіх тих елементів, які належать хоча б одній з множин А або В. У формі від хоб'єднання множин записується так

Запис читається: «об'єднання А і В»Або« А, Поєднане з В».

Операції над множинами наочно зображують графічно за допомогою кіл Ейлера (іноді використовують термін «діаграми Венна-Ейлера»). Якщо всі елементи множини Абудуть зосереджені в межах кола А, А елементи множини В- в межах кола В, Тооперацію об'єднання за допомогою кіл Ейлера можна представити в наступному вигляді

приклад 1. об'єднанням безлічі А \u003d (0, 2, 4, 6, 8) парних цифр і безлічі В \u003d (1, 3, 5, 7, 9) непарних цифр є безліч \u003d \u003d (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) всіх цифр десяткової системи числення.

8. Графічне зображення множин. Діаграми Ейлера-Венна.

Діаграми Ейлера-Венна - геометричні уявлення множин. Побудова діаграми полягає в зображенні великого прямокутника, що представляє універсальне безліч U, А всередині його - кіл (або якихось інших замкнутих фігур), що представляють безлічі. Фігури повинні перетинатися в найбільш загальному випадку, необхідному в завданню, і повинні бути відповідним чином позначені. Точки, що лежать всередині різних областей діаграми, можуть розглядатися як елементи відповідних множин. Маючи побудовану діаграму, можна заштрихувати певні області для позначення новостворених множин.

Операції над множинами розглядаються для отримання нових множин з уже існуючих.

Визначення. об'єднанням множин А і В називається множина, що складається з усіх тих елементів, які належать хоча б одній з множин А, В (рис. 1):

Визначення. перетином множин А і В називається множина, що складається з усіх тих і тільки тих елементів, які належать одночасно як безлічі А, так і безлічі В (рис. 2):

Визначення. різницею множин А і В називається множина всіх тих і тільки тих елементів А, які не містяться в В (рис. 3):

Визначення. симетричної різницею множинА та В називається безліч елементів цих множин, які належать або тільки безлічі А, або тільки безлічі В (рис. 4):

Декартових (або прямим) добутком множинA і B називається таке результуюче безліч пар виду ( x,y), Побудованих таким чином, що перший елемент з безлічі A , А другий елемент пари - з безлічі B . Загальноприйняте позначення:

A× B={(x,y)|x∈A,y∈B}

Твори трьох і більше множин можна побудувати наступним чином:

A× B× C={(x,y,z)|x∈A,y∈B,z∈C}

твори виду A× A,A× A× A,A× A× A× A і т.д. прийнято записувати у вигляді ступеня: A 2 ,A 3 ,A 4 (підстава ступеня - безліч-множник, показник - кількість творів). Читають такий запис як «декартовий квадрат» (куб і т.д.). Існують і інші варіанти читання для основних множин. Наприклад, R n прийнято читати як «ер енну».

властивості

Розглянемо кілька властивостей декартова твори:

1. Якщо A,B - кінцеві безлічі, то A× B - кінцеве. І навпаки, якщо одне з множин-співмножників нескінченне, то і результат їх твори - безліч.

2. Кількість елементів в декартовом творі дорівнює добутку чисел елементів множин-співмножників (в разі їх кінцівки, зрозуміло): | A× B|=|A|⋅|B| .

3. A np ≠(A n) p - в першому випадку доцільно розглянути результат декартова твори як матрицю розмірів 1 × np , У другому ж - як матрицю розмірів n× p .

4. комутативну закон не виконується, тому що пари елементів результату декартова твори упорядковані: A× B≠B× A .

5. Асоціативний закон не виконується: ( A× B)× C≠A×( B× C) .

6. Має місце дистрибутивность щодо основних операціях на множинах: ( A∗B)× C=(A× C)∗(B× C),∗∈{∩,∪,∖}

10. Поняття висловлювання. Елементарні і складові висловлювання.

висловлювання- це твердження чи оповідної пропозицію, про який можна сказати, що воно істинне (І-1) або помилково (Л-0), але не те й інше одночасно.

Наприклад, «Сьогодні йде дощ», «Іванов виконав лабораторну роботу №2 з фізики».

Якщо у нас є кілька вихідних висловлювань, то з них за допомогою логічних спілок або частинок ми можемо утворювати нові висловлювання, истинностное значення яких залежить тільки від істиннісних значень вихідних висловлювань і від конкретних спілок і частинок, які беруть участь в побудові нового висловлювання. Слова і вирази «і», «або», «не», «якщо ..., то», «тому», «тоді і тільки тоді» є прикладами таких союзів. Вихідні висловлювання називаються простими , А побудовані з них за допомогою тих чи інших логічних спілок нові висловлювання - складовими . Зрозуміло, слово «прості» ніяк не пов'язане з суттю або структурою вихідних висловлювань, які самі можуть бути досить складними. В даному контексті слово «простий» є синонімом слова «результат-ний». Важливим є те, що значення істинності простих висловлювань передбачаються відомими або заданими; в будь-якому випадку вони ніяк не обговорюються.

Хоча висловлювання типу «Сьогодні не четвер" не складено з двох різних простих висловлювань, для однаковості конструкції воно також розглядається як складене, по-кільки його истинностное значення визначається істінностним значенням іншого висловлюючи-ня «Сьогодні четвер»

Приклад 2. Спостерігає висловлювання розглядаються як складові:

Я читаю «Московський комсомолець» і я читаю «Комерсант».

Якщо він сказав це, значить, це вірно.

Сонце не є зіркою.

Якщо буде сонячно і температура перевищить 25 0, я приїду поїздом або автомобілем

Прості висловлювання, що входять в складові, самі по собі можуть бути абсолютно довільними. Зокрема, вони самі можуть бути складовими. Описувані нижче базисні типи складових висловлювань визначаються незалежно від їх утворюють простих висловлювань.

11. Операції над висловлюваннями.

1. Операція заперечення.

запереченням висловлювання А (читається «Не А»,« Невірно, що А»), Яке істинно, коли А помилково і помилково, коли А - істинно.

Ті, хто заперечує один одного висловлювання Аі називаються протилежними.

2. операція кон'юнкції.

кон'юнкція висловлювань Аі В називається висловлювання, що позначається А В (Читається « А і В»), Істинні значення якого визначаються в тому і тільки тому випадку, коли обидва висловлювання А і Вістинні.

Кон'юнкцію висловлювань називають логічним твором і часто позначають АВ.

Нехай дано висловлювання А - «в березні температура повітря від 0 С до + 7 З»І висловлювання В - «в Вітебську йде дощ». тоді А В буде наступною: «в березні температура повітря від 0 С до + 7 Зі в Вітебську йде дощ ». Дана кон'юнкція буде дійсною, якщо будуть висловлювання А і В істинними. Якщо ж виявиться, що температура була менше 0 С або в Вітебську не було дощу, то А В буде помилковою.

3 . операція диз'юнкції.

диз'юнкцією висловлювань Аі Вназивається висловлювання А В (А або В), Яке істинно тоді і тільки тоді, коли хоча б одне з висловлювань істинно і хибно - коли обидва висловлювання помилкові.

Диз'юнкцію висловлювань називають також логічної сумою А + В.

вислів « 4<5 або 4=5 »Є істинним. Так як висловлювання « 4<5 »- справжнє, а висловлювання« 4=5 »- помилкове, то А В являє собою справжнє висловлювання « 4 5 ».

4 . операція імплікації.

импликациейвисловлювань А і В називається висловлювання А В ( «Якщо А, то В»,« З А слід В»), Значення якого помилково тоді і тільки тоді, коли А істинно, а В помилково.

У імплікації А В вислів А називають підставою,або посилкою, а висловлювання В – наслідком,або висновком.

12. Таблиці істинності висловлювань.

Таблиця істинності - це таблиця, що встановлює відповідність між усіма можливими наборами логічних змінних, що входять в логічну функцію і значеннями функції.

Таблиці істинності застосовуються для:

Обчислення істинності складних висловлювань;

Встановлення еквівалентності висловлювань;

Визначення тавтологію.

Натуральні числа

Числа, що використовуються при рахунку називаються натуральними числами. Наприклад, $ 1,2,3 $ і т.д. Натуральні числа утворюють безліч натуральних чисел, яке позначають $ N $ Дана позначення походить від латинського слова naturalis- природний.

протилежні числа

визначення 1

Якщо два числа відрізняються тільки знаками, їх називають в математиці протилежними числами.

Наприклад, числа $ 5 $ і $ -5 $ протилежні числа, тому що відрізняються тільки знаками.

зауваження 1

Для будь-якого числа є протилежне число, і до того ж тільки одне.

зауваження 2

Число нуль протилежно самому собі.

Цілі числа

визначення 2

цілими числами називають натуральні, протилежні їм числа і нуль.

Безліч цілих чисел включає в себе безліч натуральних і протилежних їм.

Позначають цілі числа $ Z. $

Дробові числа

Числа виду $ \\ frac (m) (n) $ називають дробом або дробовими числами. Так само дробові числа можна записувати десяткового формі записи, тобто у вигляді десяткових дробів.

Наприклад: $ \\ \\ frac (3) (5) $, $ 0,08 $ і Т.Д.

Так само, як і цілі, дробові числа можуть бути як позитивними, так і негативними.

раціональні числа

визначення 3

раціональними числами називається безліч чисел, що містить в собі безліч цілих і дробових чисел.

Будь-яке раціональне число, як ціле, так і дробове можна представити у вигляді дробу $ \\ frac (a) (b) $, де $ a $ - ціле число, а $ b $ - натуральне.

Таким чином, один і той же раціональне число можна записати різними способами.

наприклад,

Звідси видно, що будь-який раціональне число може побут представлено у вигляді кінцевої десяткового дробу або нескінченного десяткового періодичної дробу.

Безліч раціональних чисел позначається $ Q $.

В результаті виконання будь-якого арифметичного дії над раціональними числами отриману відповідь буде раціональним числом. Це легко доказовою, в силу того, що при додаванні, відніманні, множенні і діленні звичайних дробів вийде звичайна дріб

ірраціональні числа

В ході вивчення курсу математики часто доводиться стикатися в рішенні з числами, які не є раціональними.

Наприклад, щоб переконатися в існуванні безлічі чисел, відмінних від раціональних вирішимо рівняння $ x ^ 2 \u003d 6 $ .Корнямі цього рівняння будуть числа $ \\ surd 6 $ і - $ \\ surd 6 $. Дані цифри не будуть раціональними.

Так само при знаходженні діагоналі квадрата зі стороною $ 3 $ ми застосувавши теорему Піфагора отримаємо, що діагональ дорівнюватиме $ \\ surd 18 $. Це число також не є раціональним.

Такі числа називаються ірраціональними.

Отже, ірраціональним числом називають нескінченну десяткову неперіодичних дріб.

Одне з найпоширеніших ірраціональних чісел- це число $ \\ pi $

При виконанні арифметичних дій з ірраціональними числами одержуваний результат може виявитися і раціональним, так і ірраціональним числом.

Доведемо це на прикладі знаходження твори ірраціональним чисел. знайдемо:

$ \\ \\ Sqrt (6) \\ cdot \\ sqrt (6) $

$ \\ \\ Sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (3) $

рішення

$ \\ \\ Sqrt (6) \\ cdot \\ sqrt (6) \u003d 6 $

$ \\ Sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (3) \u003d \\ sqrt (6) $

На цьому прикладі видно, що результат може виявитися як раціональним, так і ірраціональним числом.

Якщо в арифметичних діях беруть участь раціональне і ірраціональні числа одночасно, то в результаті вийде ірраціональне число (крім, звичайно, множення на $ 0 $).

Дійсні числа

Безліччю дійсних чисел називається безліч містить безліч раціональних і ірраціональних чисел.

Позначається безліч дійсних чисел $ R $. Символічно безліч дійсних чисел можна позначити $ (-?; +?). $

Ми говорили раніше про те, що ірраціональним числом називають нескінченну десяткову неперіодичних дріб, а будь-який раціональне число може побут представлено у вигляді кінцевої десяткового дробу або нескінченного десяткового періодичної дробу, тому дійсним числом буде будь-яка кінцева і нескінченна десяткова дріб.

При виконанні алгебраїчних дій будуть виконуватися наступні правила

при множенні і діленні позитивних чисел отримане число буде позитивним
при множенні і діленні негативних чисел отримане число буде позитивним
при множенні і діленні негативного і позитивного чисел отримане число буде негативним

Також дійсні числа можна порівнювати один з одним.