Виділити кратні множники многочлена онлайн. Відділення непріводімих кратних множників многочлена

визначення 14.1. нехай F- поле. многочлен f (x) = а 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n - 1 x + a n F[x] називається нормованимабо наведеним,якщо а 0 = 1.

слідство 14.1.1. Будь многочлен f позитивної ступеня над полем F допускає подання до вигляді: f = a 0 · p 1 (x) · ... · p r (x), де а 0 F #, p 1, ..., p r - Непріводімие над F нормовані многочлени.

Зауваження 14.1.нехай f (x) F [x], F -поле, degf (x)> 0.Тоді по слідству 14.1.1 f (x) = a 0 · ... · p 1 (x) · ... · p r (x)(1), де а 0 F #, p 1 (x), ..., p r (x) -Непріводімие над Fнормовані многочлени. Можливо, що серед многочленів p 1, ..., p rє рівні . Перемноживши рівні множники в (1), отримаємо рівність виду f (x) = а 0 · p 1 k 1 · ... · p s k s.

Визначення 14.2.нехай f (x) F[x], F -поле, deg f (x)> 0.подання многочлена f (x)у вигляді f (x) = a 0 · p 1 k 1 · ... · p s k s (2), Де а 0 F #, p 1, ..., p s- попарно різні Непріводімие над полем Fнормовані многочлени, k i ≥1, i =, називається канонічним поданняммногочлена f, число k iназивається кратністю множника p i, i =. якщо k i = 1, то p iназивається простим непріводімим множником многочлена f.

Слідство 14.2.Нехай f (x), g (x) F[x], F - поле, f (x) = a 0 p 1 k 1 · ... · psks, g (x) = b 0 · p 1 l 1 · ... · psls, де a 0, b 0 F #, p 1, ..., ps - попарно різні Непріводімие над F нормовані многочлени, ki 0, L i 0, I =. Тоді (f, g) = p 1 γ 1 · p 2 γ 2 · ... · p s γ s, де γ i = min{k i, l i} , I =,[f, g]= P 1 δ 1 · p 2 δ 2 · ... · p s δ s, де δ i = max (k i, l i), i =.

Визначення 14.3.нехай f (х) F[x], F- асоціативно-коммутативное кільце з одиницею, з- корінь f (x).число kназивається кратністюкореня cмногочлена f (x),якщо

f (х-с) до,але f (х-с) k + 1 .

В цьому випадку пишуть (X-c) k ┬ f (x) -даний запис означає, що (Х-с) k- це найбільша ступінь (Х-с),яка ділить f (х).

зауваження 14.2. якщо k = 1, то зназивають простим коренем многочлена f (x).

нехай f (x) F[x], F -поле. Поставимо перед собою задачу - відокремити все кратні Непріводімие множники многочлена f (x).Для цього доведемо наступну теорему. Многочлен f (x) F[x], Де F - поле, не має кратних непріводімих множників кратності k> 1(F, f ") = 1.

Слідство 14.2.3.Кратні Непріводімие множники многочлена f F[x] - це в точності Непріводімие множники многочлена d (x) = (f, f ").

висновок:Таким чином, завдання відділення кратних непріводімих множників многочлена f (x) cводітся до знаходження d = (f, f ")і розкладанню многочлена dна множники. У свою чергу, відокремити кратні Непріводімие множники многочлена d (x)можна за допомогою знаходження d 1 = (d, d ")і т.д.

Існують методи, що дозволяють дізнатися, чи має даний многочлен кратними множниками, і в разі позитивної відповіді дають можливість звести вивчення цього многочлена до вивчення многочленів, вже не містять кратних множників.

теорема. Якщо є - кратним непріводімим множником многочлена, то він буде - кратним множником похідної цього многочлена. Зокрема, простий множник многочлена. Чи не входить в розкладання похідною.

Справді, нехай

причому вже не ділиться на. Диференціюючи рівність (5.1), отримуємо:

Друге з доданків, що стоять в дужках, не ділиться на. Дійсно, не ділиться за умовою, має меншу ступінь, тобто також не ділиться на. З іншого боку, перший доданок суми, що стоїть в квадратних дужках, ділитися на, тобто множник, насправді входить в с кратністю.

З даної теореми і з зазначеного вище способу розвідки найбільшого загального дільника двох многочленів випливає, що якщо дано розкладання многочлена на незвідні множники:

то найбільший загальний дільникмногочлена і його похідної має наступну розкладанням на Непріводімие множники:

де множник слід при замінювати одиницею. Зокрема, многочлен тоді і тільки тоді не містить кратних множників, якщо він взаємно простий зі своєю похідною.

Виділення кратних множників

Якщо дано многочлен з розкладанням (5.2) і якщо через ми позначимо найбільший спільний дільник і його похідної то (5.3) буде розкладанням для. Ділячи (5.2) на (5.3), ми отримаємо:

тобто отримаємо многочлен, що не містить кратних множників, причому всякий непріводімий множник для, що має взагалі кажучи, менший ступінь і, у всякому разі, що містить лише прості множники. Якщо це завдання для буде вирішена, то залишиться визначити лише кратність знайдених непріводімих множників в, що досягається застосуванням алгоритму розподілу.

Ускладнюючи викладений зараз метод, можна відразу перейти до розгляду декількох многочленів без кратних множників, причому, знайшовши Непріводімие множники цих многочленів, ми не тільки знайдемо всі Непріводімие множники для, а й будемо знати їх кратність.

Нехай (5.2) буде розкладанням на Непріводімие множники, причому найвища кратність множників є,. Позначимо через твір всіх одноразових множників многочлена, через - твір всіх дворазових множників, але узятих лише по одному разу, і т.д., нарешті - твір всіх -кратноє множників, також взятих лише по одному разу; якщо при цьому для деякого в відсутні -кратноє множники, то вважаємо. Тоді буде ділитися на - тую ступінь многочлена і розкладання (5.2) набуде вигляду

а розкладання (5.3) для перепишеться у вигляді

позначаючи через найбільший спільний дільник многочлена і його похідної і взагалі через найбільший спільний дільник многочленів і, таким шляхом отримаємо:

……………………………

……………………………

І тому, нарешті,

Таким чином, користуючись лише прийомами, що не вимагають знання непріводімих множників многочлена, а саме взяттям похідної, алгоритмом Евкліда і алгоритмом розподілу, ми можемо знайти многочлени без кратних множників, причому всякий непріводімий множник многочлена, буде -кратноє для.

Приклад.Розкласти многочлен на кратні множники.

Многочлен має розкладання у вигляді.

Я склала програму для розкладання многочлена на кратні множники.

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, Grids;

TForm1 = class (TForm)

SGd1: TStringGrid;

Button1: TButton;

SGd2: TStringGrid;

SGd3: TStringGrid;

SGd4: TStringGrid;

procedure Button1Click (Sender: TObject);

(Private declarations)

(Public declarations)

c, i, st1, st2, stiz, n_iz, n_nod, n, m, d_st, step, f: integer;

kof1, kof2, k1, k2, izubst, a, b, a2, b2, buf, est, fxst: array of integer;

izub, e, fx: array of integer;

procedure TForm1.Button1Click (Sender: TObject);

var i, j, k_1, st3, l: integer;

k2_2, k1_1: array of integer;

st1: = StrToInt (Edit1.Text);

for i: = 0 to st1 do begin

SGd4.Cells: = SGd1.Cells;

for i: = 0 to st1 do begin

if SGd1.Cells<>"" Then

kof1: = StrToInt (SGd1.Cells)

else MessageDlg ( "Попередження: Не введені значення коефіцієнтів!", mtWarning ,, 0);

for i: = st1 downto 0 do begin

if kof1 [i]<>0 then begin

if (kof1<0)or(i=0) then begin

s: = s + d + "x ^" + k + "+";

kof2: = kof1 [i] * i;

//Edit2.Text:=s;

for i: = st2 downto 0 do begin

SGd2.Cells: = inttostr (kof2 [i]);

if kof2 [i]<>0 then begin

if (kof2<0)or(i=1) then begin

s: = s + d + "x ^" + k + "+";

//Edit3.Text:=s;

for i: = 0 to st1 do begin

kof1 [i]: = StrToInt (SGd1.Cells);

k1 [i]: = StrToInt (SGd1.Cells);

for i: = 0 to st2 do begin

kof2 [i]: = StrToInt (SGd2.Cells);

k2 [i]: = StrToInt (SGd2.Cells);

while kof2<>0 do begin

//Edit4.Text:= "";

if k1<>kof2 then begin

if (k1 mod kof2) = 0 then begin

for j: = 0 to st2 do

k2 [j]: = (k1 div kof2) * kof2 [j];

if k2<>1 then

for j: = 0 to st1 do

k1 [j]: = kof2 * k1 [j];

if k_1<>1 then begin

for j: = 0 to st2 do

k2 [j]: = k_1 * kof2 [j];

for i: = 1 to st1 do begin

k1: = k1 [i] -k2 [i];

until st1

if k1<>0 then begin // Скорочення

for i: = 1 to st1 do

if k1 [i]<>0 then begin

if (k1 [i] mod k1)<>0 then sokr: = false;

if sokr = true then

for i: = 0 to st1 do

k1 [i]: = k1 [i] div k_1;

for i: = 0 to st2 do // Заміна многочленів

k2_2 [i]: = kof2 [i];

for i: = 0 to st1 do

for i: = 0 to 10 do begin

SGd3.Cells: = "";

SGd1.Cells: = "";

izub: = 0;

izubst: = st2;

for i: = 0 to st2 do begin

SGd1.Cells: = inttostr (k1 [i]);

izub: = k1 [i];

if k1 [i]<>0 then begin

//Edit4.Text:=Edit4.Text+IntToStr(k1[i])+"x^"+IntToStr(st2-i);

if (k2_2> 0) and (i

for i: = 0 to st1 do begin

kof2 [i]: = k1_1 [i];

d_st: = StrToInt (Edit1.Text);

for i: = d_st + 1 downto 1 do begin

kof1 [i]: = StrToInt (SGd4.Cells);

// Знаходження Е

for n_nod: = 1 to n_iz do begin

m: = izubst;

for i: = n + 1 downto 1 do begin

for i: = m + 1 downto 1 do begin

b [i]: = izub;

for i: = n + 1 downto 1 do begin

if a [i]<>0 then begin

if (a<0)or(i=1) then begin

s: = s + d + "x ^" + k + "+";

//Edit3.Text:=s;

for i: = m + 1 downto 1 do begin

if b [i]<>0 then begin

if (b<0)or(i=1) then begin

s: = s + d + "x ^" + k + "+";

//Edit4.Text:=s;

for j: = n + 1 downto 1 do begin

for j: = m + 1 downto 1 do begin

b2 [j]: = buf [i] * b [j];

for j: = f downto 1 do begin

a2 [j]: = a2 [j] * b;

for j: = f downto 1 do begin

a2 [j]: = a2 [j] -b2;

for i: = f + 1 downto 1 do begin

e: = buf [i];

if buf [i]<>0 then begin

if (buf<0)or(i=1) then begin

s: = s + d + "x ^" + k + "+";

//Edit5.Text:=s;

for i: = n downto 0 do begin

if a2 [i]<>0 then begin

if (a2<0)or(i=1) then begin

s: = s + d + "x ^" + k + "+";

for n_nod: = 1 to n_iz-1 do begin

m: = est;

for i: = n + 1 downto 1 do begin

a [i]: = e;

for i: = m + 1 downto 1 do begin

b [i]: = e;

if n_nod = n_iz-1 then fx: = b [i];

for i: = n + 1 downto 1 do begin

if a [i]<>0 then begin if (a<0)or(i=1) then begin

s: = s + d + "x ^" + k + "+";

//Edit3.Text:=s;

for i: = m + 1 downto 1 do begin

if b [i]<>0 then begin if (b<0)or(i=1) then begin

s: = s + d + "x ^" + k + "+";

//Edit4.Text:=s;

for j: = n + 1 downto 1 do begin

for i: = step + 1 downto 1 do begin

for j: = m + 1 downto 1 do begin

b2 [j]: = buf [i] * b [j];

for j: = f downto 1 do begin

a2 [j]: = a2 [j] * b;

for j: = f downto 1 do begin

a2 [j]: = a2 [j] -b2;

for i: = f + 1 downto 1 do begin

fx: = buf [i];

if buf [i]<>0 then begin if (buf<0)or(i=1) then begin

s: = s + d + "x ^" + k + "+";

//Edit5.Text:=s;

for i: = n downto 0 do begin

if a2 [i]<>0 then begin if (a2<0)or(i=1) then begin

s: = s + d + "x ^" + k + "+";

fxst: = est + 1;

for i: = 1 to n_iz do begin

for j: = fxst [i] downto 0 do begin

if fx<>0 then begin

if (fx<0)or(j=1) then begin

s: = s + d + "x ^" + k + "+";

s: = s + ") ^" + IntToStr (i) + "";

Edit6.Text: = Edit6.Text + s;

for i: = 0 to 10 do begin

SGd1.Cells: = SGd4.Cells;

Найбільший спільний дільник кількох многочленів - це такий їх спільний дільник, який кратний будь-якого їх загальному дільнику. якщо

d= НСД (f 1, ..., f n), То існують такі многочлени u 1 , … ,u n, що

d = u 1 f 1 +… + u n f n .

Цей вислів називається лінійним поданням НСД.

Для знаходження НСД ( f, g) І його лінійного уявлення використовується алгоритм Евкліда. Він полягає в послідовному розподілі із залишком першого многочлена на другий, потім другого на залишок, і т.д. Останній ненульовий залишок є НОД ( f, g). За допомогою отриманої ланцюжка поділів знаходиться лінійне уявлення.

Прімер2.1. Знайти НСД ( f, g

f=х 4 + 2х 3 –х 2 +x + 1;

g= 2х 3 –х – 1.

Рішення. Виконуємо ланцюжок ділень із залишком:

Р езультатом поділів записуємо в наступному вигляді:

f = g  (1/2 x+ 1) - ½ r 1 , r 1 = x 2 – 5x + 4;

g = r 1  (2x + 10) + 41r 2 , r 2 = x – 1; (*)

r 1 = r 2  (x – 4).

Останній ненульовий залишок r 2 =x- 1 і є НСД ( f, g). Його лінійне уявлення знаходимо за допомогою формул (*):

r 1 = 2f– 2g  (1/2 x + 1) = 2f – g  (x + 2);

41r 2 = g – r 1  (2x + 10) = g – (2f – g  (x + 2))  (2x + 10) =

= g– 2(2x+ 10)f+ (x+ 2)(2x+ 10)g= (4x+ 20)f+ (2x 2 + 14x+ 21)g;

НСД ( f, g) = x – 1= r 2 =
f +
g.

З а м е год а зв і е. Якщо не потрібно знаходити лінійне уявлення НОД, то при обчисленнях числові коефіцієнти при виходять залишках враховувати не потрібно, і їх можна відкидати. Щоб в обчисленнях уникнути появи дробів, можна ділене перед виконанням ділення помножити на відповідне ціле число.

Вправа 2.1. Знайдіть НСД ( f, g) І його лінійне уявлення:

а) f=х 6 – 4х 5 + 11х 4 – 27х 3 + 37х 2 – 35x + 35;

g=х 5 – 3х 4 + 7х 3 – 20х 2 + 10x – 25.

б) f = 4х 4 – 2х 3 – 16х 2 + 5x + 9;

g= 2х 3 –х 2 – 5х + 4.

3. Кратні множники

Формальною похідною многочлена f = a 0 + a 1 x + … + a n x nнад полемFназивается многочлен f  = a 1 + 2a 2 x 2 + … + na n x n-1, де для kN,aFімеем
.

багаточлени fі gназиваються асоційованими, якщо вони кратні один одному. многочлен fнад кільцем До називається приводиться над К, якщо він ненульовий і його можна представити у вигляді добутку двох необоротних многочленів. многочлен fназивається непріводімим над К, якщо він незворотній над К і будь-який його дільник асоційований з fабо 1. Над полем непріводімим тільки многочлени позитивної ступеня. Многочлен над полем розкладається в добуток незвідних, і це розкладання єдине з точністю до порядку і ассоциированности.

многочлен fмає не приводиться множник pкратності k, якщо fp k ,fp k+1. Множник називається кратним, якщо його кратність більше 1.

Теорема 3.1. якщо многочлен fнад полем має непріводімий множник pкратності k, то p- не приводиться множник кратності k-1 для f .

Ця теорема допомагає вирішувати завдання відділення кратних множників многочлена f і розкладання за допомогою цього многочлена на множники. Для цього знаходимо НСД ( f, f ) =d. многочлен dскладений з кратних множників многочлена f, Кожен з яких входить в dз кратністю на 1 меншій, ніж в f. Якщо вдається розкласти dна множники, то визначаються всі кратні множники многочлена f, і полегшується завдання розкладання його на множники. В іншому випадку можна розглянути многочлен
. Він складений з усіх простих множників многочлена f, взятих з кратністю 1. Якщо і цей многочлен не вдається розкласти, то можна, наприклад, знайти НСД ( f 1 , d), Або застосувати описаний алгоритм до многочлену d.

Прімер3.1. Розкласти на множники многочлен

f = x 5 – 15x 3 – 10x 2 + 60x+ 72.

Рішення. обчислюємо f = 5x 4 – 45x 2 – 20x+ 60 = 5(x 4 – 9x 2 – 4x+ 12). Так як нам не потрібно шукати лінійне уявлення НОД, то ненульові числові коефіцієнти, які виносяться з коефіцієнтів многочлена, можна відкидати. Тому замість f візьмемо g =x 4 – 9x 2 – 4x+ 12. Виконавши ланцюжок ділень із залишком f на gзгідно з алгоритмом Евкліда, отримуємо

f = xg – 6r 1 , r 1 = x 3 + x 2 – 8x– 12;

g = (x– 1)r 1 .

отже, d = НСД ( f, f ) =r 1 = x 3 +x 2 – 8x - 12. Так як ступінь НСД більше 2 і розкласти його на множники досить важко, то розглянемо многочлен
=x 2 –x – 6 = (x– 3)(x+ 2). Так як f 1 має ступінь 2 і його вдалося розкласти на множники, то визначені всі Непріводімие множники многочлена f, І залишилося тільки визначити їх кратність. Зробимо це за допомогою схеми Горнера.

відповідь: f= (x+ 2) 3 (x– 3) 2 .

Зауваження. Так як в процесі рішення ми повністю визначили всі прості множники многочлена f, то визначати кратність множника ( x- 3) за схемою Горнера було не обов'язково: так як ступінь многочлена дорівнює 5 і кратність першого множника першого ступеня дорівнює 3, то кратність другого множника має дорівнювати 2.

Вправи.

3.1. Розкладіть на множники многочлен:

а) f = x 6 – 6x 4 – 4x 3 + 9x 2 + 12x + 4;

б) f = x 5 – 6x 4 + 16x 3 – 24x 2 + 20x – 4.

3.2. Доведіть, що многочлен x 2 n – nx n +1 +nx n –1 – 1 має число 1 потрійним коренем.