При вивченні висловлювальних форм (предикатів) було зазначено один із способів отримання висловлювань: підстановка якогось значення змінної в Р(х) з деякої множини А. Наприклад,

Р(х): "х - просте число". Підставивши х = 7, отримаємо висловлювання

"7 - просте число". Ми познайомимося ще з двома логічними операціями: навішування квантора спільності та квантора існування, які дозволяють одержати з висловлювальних форм висловлювання.

Підставимо перед висловлювальної формою Р(х) слово “будь-яке”: “будь-яке х - просте число”. Здобули хибне висловлювання. Підставимо перед Р(х) слово “деякі”: “ деякі числа х - прості”. Здобули справжнє висловлювання.

У математиці слова "будь-які", "деякі" та їх синоніми називаються кванторами, які відповідно називаються квантор спільності (") і квантор існування ($). Квантор спільності замінюється в словесних формулюваннях словами: кожен, кожен, кожен і т.д. .Квантор існування в словесному формулюванні замінюється словами: існує, хоча б один, який-небудь знайдеться і т.д.

Нехай Р(х) - форма висловлювання на М. Запис

("хÎМ) Р(х)

означає: для будь-якого елемента х (з множини М) має місце Р(х), що вже являє собою висловлювання. Щоб довести, що висловлювання ("х)Р(х) - істинно, треба перебрати всі елементи а, b, с і т.д. з М і переконатися, що Р(а), Р(b), Р(с) ,... Істинні, і, якщо неможливо перебрати елементи М, повинні довести за допомогою міркувань, що для будь-якого а з М висловлювання Р (а) істинно. один елемент АВ, для якого Р(а) хибно.

ПРИКЛАД. Дано висловлювальну форму

В(х): "- просте число".

У (1): 2 2 + 1 = 5 - просте число;

У (2): = 17 - просте число;

У(3): = 257 - просте число;

У (4): = 65537 - просте число.

Чи можна сказати, що ("х) В (х)? Це необхідно доводити. Леонард Ейлер довів, що В (5) - хибно, тобто + 1 = 2 32 + 1 ділиться на 641 і, отже, (" х) В (х) - хибно.

ПРИКЛАД. Розглянемо висловлювання ("х)С(х), де на Nпоставлено С(х): "х 3 + 5х ділиться на 6".

Очевидно, З(1), З(2), З(3), З(4) істинні. Але якщо ми перевіримо навіть мільйон значень х завжди є небезпека, що мільйон першого значення х твердження С(х) виявиться хибним.

Довести можна, наприклад, так:

х 3 + 5х = х 3 - х + 6х = х (х 2 - 1) + 6х = (х - 1) х (х + 1) + 6х

Вираз (х - 1)х(х + 1) ділиться на 3, тому що з трьох послідовних натуральних чисел, принаймні, одне ділиться на 3; цей вираз ділиться і на 2, тому що з трьох послідовних чисел одне або два числа парні. Друге доданок 6х ділиться на 6, отже, і вся сума ділиться на 6, тобто. ( "х) С (х) - істинно.

Нехай С(х) деяка форма висловлювання. Запис

означає: існує елемент х із множини М, для якого має місце С(х). ($х)С(х) вже висловлювання. Якщо у множині М можна знайти елемент а, для якого С(а) істинно, то висловлювання($х)С(х) - істинно. Якщо ж М немає жодного елемента а, котрій З(а) істинно, висловлювання ($х)С(х) - хибно.

ПРИКЛАД. На безлічі Nпоставлено С(х):” ”. С(1) - хибно, С(2) - хибно, С(5) - істинно. Отже, ($х)С(х) - справжнє висловлювання.

ПРИКЛАД. На безлічі Nпоставлено К(х):” х 2 + 2х + 3 ділиться на 7”. К(1) = 6, 6 не ділиться на 7; К(2) = 11, 11 не поділяється на 7 і т.д.

Гіпотеза: ($х)К(х) - хибно.

Доведемо це. Будь-яке натуральне число по теоремі про поділ із залишком можна подати у вигляді n = 7q + r, де r< 7.

n 2 + 2n + 3 = (7q + r) 2 + 2 (7q + r) + 3 = 7 (7q 2 + 2qr + 2q) + r 2 + 2r + 3.

Отже, число n 2 + 2n + 3 ділиться на 7 тоді і лише тоді, коли r 2 + 2r + 3 ділиться на 7. Залишок r Î (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6). Методом перебору переконаємося, що r 2 + 2r + 3 не ділиться на 7. Отже ($х)К(х) - хибно.

Як побудувати заперечення висловлювання з квантором?

Щоб побудувати заперечення висловлювання з квантором, треба замінити квантор спільності (") на квантор існування ($) і, навпаки, квантор існування на квантор спільності, а пропозицію, що стоїть після квантора, з його заперечення, тобто.

[("x)P(x) û ($x) P(x);

[($x)P(x) û ("x) P(x).

Наприклад, нехай дано два висловлювання:

А: "кожне просте число непарне";

У: " кожне просте число парно".

Чи буде В запереченням висловлювання А? Ні, оскільки жодна з висловлювань перестав бути істинним. В даному випадку

А: “не кожне просте число непарно, тобто. Існує парне просте число” - справжнє висловлювання.

Надалі вважаємо, що побудовано заперечення пропозиції, якщо не просто записано його заперечення, а й отримана пропозиція перетворена на вигляд, де знаки заперечення стоять перед більш простими висловлюваннями. Наприклад, запереченням пропозиції виду А? В будемо вважати не (А? В), а йому рівносильне: А?

Нехай А (х, у) - висловлювальна форма з двома змінними.

Тоді ("х)А(х,у), ($х)А(х,у), ("х)А(х,у), ($х)А(х,у) теж висловлювальні форми але вже з однієї змінної. І тут кажуть, що квантор пов'язує одну змінну. Щоб одержати з висловлювальної форми А(х,у) висловлювання необхідно пов'язати обидві змінні. Наприклад, ("х)($у)А(х,у) - висловлювання.

Для висловлювальної форми Р(х,у): “ x< y”, заданной на Z, розглянемо всі випадки отримання висловлювання шляхом додавання (навішування) кванторів:

1) ("х)("у)Р(х,у) ů л - “ Для кожного х і для кожного у х< y”;

2) ("у)("х)(х< y) Û л - “Для всякого у и для всякого х х < y”;

3) ($x)($y) (x< y) Û и - “Существует х и существует у такие, что x < y”;

4) ($у)($х) (х< y) Û и - “Существует х и существует у такие, что x < y”;

5) ("х)($у) (x< y) Û и - “Для всякого х существует у такое, что x < y”;

6) ($у)("х) (x< y) Û л - “Существует у такое, что для всякого х х < y”;

7) ("у"($х) (х< y) Û и - “Для всякого у существует х такое, что x < y”;

8) ($х)("у) (x< y) Û л - “Существует x такое, что для всякого y х < y”.

` Зверніть увагу на висловлювання (1) та (2), (3) та (4). Структури цих висловлювань відрізняються лише порядком прямування однойменних кванторов, та заодно не змінюються сенс і значення істинності висловлювань.

Висловлювання (5) і (6), (7) і (8) відрізняються порядком проходження різноіменних кванторів, що призводить до зміни змісту і, можливо, значення істинності висловлювання. Висловлювання (7) стверджує про наявність у Zнайменшого числа, що хибно. (8) стверджує про відсутність такого, що є істинним.

Теоретичні питання:

1. Поняття предикату від однієї, кількох змінних.

2. Приклади одномісних та двомісних предикатів. 3. Область істинності предикату.

4. Квантори спільності та існування. Вільні та пов'язані змінні. Операції над предикат. Яка область істинності; ; ; ? Дати геометричні інтерпретації.

5. Перетворення формул логіки предикатів. Визначення тотожно істинного і тотожно помилкового предикату, зв'язок із областю істинності. Основні рівносильності.

Вправи

5.1. Вкажіть кілька значень змінних, при яких наступні предикати істинні, хибні:

1. х 2, х Î N; 9. = - x, x R;

2. х< 1 , x Î N ; 10. > 0 ,

3. x > 6® x ³ 3 , xÎZ; 11. sin x = - , x R;

4. x + 3x +6 = 0 , x R; 12. cos x = , x ÎR;

5. = 0, xÎR; 13. x ³ y , x,y Î R;

6. | x – 5 |< 2, 14. x + y < 3, x,yÎ N;

7. | 2x+3 | ³ 2x + 3, x R; 15. x (y - 1) = 0, x, yÎR;

8. = x, x R; 16. x + y = 4, x, y ÎR.

5.2. Знайдіть сферу істинності предикатів вправи 5.1. Випадки 13 – 16 зобразіть на координатній площині.

5.3.

1. = 0; 7. | 3x - 2 | > 8;

2. =; 8. | 5x - 3 |< 7;

3. ->; 9. 2 - | x | = 1,7;

4. ; 10. | 3x - 1 | = 3x – 1;

5. < 0 ; 11. | 3x - 1 | = 1 - 3x;

6. > 0; 12. | 2x+4 | ³ 2x + 4.

5.4. Знайдіть область істинності предикатів:

1. ( < x + 1,5) Ù (2x - 8 >3 – 0,5 x);

2. ( - 4 < - 1) Ù ( x + 2 (2x- 1) < 3(x +1);

3.(- +2x<3x-3) Ù ( - 3(1-x)+2x< );

4. (- + x< 2x - 4)Ù( + 3 (x - 1)< );

5.((x+3) (x - 1)< 0) Ù (x + 4x + 6 >x (x – 5);

6. ((x - 6x + 9) (2x - 10)< 0) Ù (6 + x (7 - x) < x +2x(5-x);

7.(1 + £ ) Ú (- 1< 5x - 5)

8. (-> 2) Ú (- 3x - 1 > 2);

9.( + 6x > + 4) Ú ( - > - );

Розглянемо кілька пропозицій зі змінною:

- « - Просте натуральне число»; область допустимих значень цього предикату – безліч натуральних чисел;

- « - парне ціле число»; область допустимих значень цього предикату – безліч цілих чисел;

- «
- рівносторонній»;

- «
»

- «студент отримав оцінку »

- « ділиться націло на 3»

Визначення. Якщо пропозиція зі змінними при будь-якій заміні змінних допустимими значеннями перетворюється на висловлювання, така пропозиція називається предикатом.

,
,
,
- предикати від однієї змінної (одномісні предикати). Предикати від двох змінних:
,
- Двомісні предикати. Висловлювання – нульмісцеві предикати.

Квантор спільності.

Визначення. Символ називається квантором спільності.

читається: для будь-кого , для кожного , для всіх .

Нехай
- Одномісний предикат.

читається: для будь-яких
- Істина.

приклад.

- «Всі натуральні числа прості» - Помилкове висловлювання.

- «Всі цілі числа парні» - Помилкове висловлювання.

- «Всі студенти отримали оцінку - одномісний предикат. Навісили квантор на двомісний предикат, отримали одномісний предикат. Аналогічно
-n-місцевий предикат, то

- (n-1)-місцевий предикат.

- (n-2)-місцевий предикат.

У російській мові квантор спільності опускається.

Квантор існування.

Визначення.Символ називається квантором існування.

читається: існує , є , знайдеться .

Вираз
, де
- одномісний предикат, читається: існує , для котрого
істинно.

приклад.

- «Існують прості натуральні числа». (і)

- «Існують цілі парні числа». (І).

- «існує студент, який отримав оцінку - одномісний предикат.

Якщо на n-місцевий предикат навісити 1 квантор, то отримаємо (n-1)-місцевий предикат, якщо навіситиnкванторів, то отримаємо нульмісний предикат, тобто. висловлювання.

Якщо навішувати квантори одного виду, то порядок навішування кванторів байдужий. А якщо на предикат навішуються різні квантори, то порядок навішування кванторів міняти не можна.

Побудова заперечення висловлювань, які містять квантори. Закони Де Морган.

Закон Де Морган.

При побудові заперечення висловлювання, що містить квантор спільності, цей квантор спільності замінюється на квантор існування, а предикат замінюється своє заперечення.

Закон Де Морган.

При побудові заперечення висловлювань, що містять квантор існування, потрібно замінити квантор існування на квантор спільності, а предикат
- Його запереченням. Аналогічно будується заперечення висловлювань, що містять кілька кванторів: квантор спільності замінюється на квантор існування, квантор існування – на квантор спільності, предикат замінюється своїм запереченням.

П.2. Елементи теорій множин (інтуїтивна теорія множин). Числові множини. Безліч дійсних чисел.

Опис множини: під словом безліч розуміється сукупність об'єктів, що розглядається як одне ціле. Замість слова "множина" іноді говорять "сукупність", "клас".

Визначення. Об'єкт, що входить до множини, називається його елементом.

Запис
означає, що є елементом множини . Запис
означає, що не є елементом множини . Про будь-який об'єкт можна сказати, є він елементом множини чи ні. Запишемо це твердження за допомогою логічних символів:

Не існує об'єкта, який одночасно належить множині і не належить, тобто,

Безліч неспроможна містити однакових елементів, тобто. якщо з множини, що містить елемент видалити елемент , то вийде безліч, що не містить елемент .

Визначення.Дві множини і називаються рівними, якщо вони містять одні самі елементи.

Логіка та аргументація: Навч. посібник для вузів. Рузавін Георгій Іванович

4.2. Квантори

4.2. Квантори

Істотна відмінність логіки предикатів від логіки висловлювань полягає також у тому, що перша запроваджує кількісну характеристику висловлювань чи, як кажуть у логіці, квантифікує їх. Вже традиційної логіці судження класифікувалися як за якістю, а й у кількості, тобто. загальні судження відрізнялися від приватних та одиничних. Але жодної теорії про зв'язок між ними не було. Сучасна логіка розглядає кількісні характеристики висловлювань у спеціальній теорії квантифікації, що становить невід'ємну частину обчислення предикатів.

Для квантифікації (кількісної характеристики) висловлювань ця теорія вводить два основних квантори: квантор спільності, який ми позначатимемо символом (х), і квантор існування, що позначається символом (Ех). Вони ставляться безпосередньо перед висловлюваннями чи формулами, яких ставляться. У тому випадку, коли квантори мають ширшу ділянку, перед відповідною формулою ставляться дужки.

Квантор спільноти показує, що предикат, позначений певним символом, належить всім об'єктам даного класу чи універсуму міркування.

Так, судження: "Усі матеріальні тіла мають масу" можна перекласти символічною мовою так:

де х - означає матеріальне тіло:

М – масу;

(х) – квантор спільності.

Аналогічно до цього твердження про існування екстрасенсорних явищ можна виразити через квантор існування:

де через х позначені явища:

Е - властива таким явищам властивість екстрасенсорності;

(Ex) – квантор існування.

За допомогою квантора спільності можна висловлювати емпіричні та теоретичні закони, узагальнення зв'язку між явищами, універсальні гіпотези та інші загальні висловлювання. Наприклад, закон теплового розширення тіл символічно можна подати у вигляді формули:

(х) (Т(х) ? P(х)),

де (х) – квантор спільності;

Т(х) – температура тіла;

Р(х) – його розширення;

Знак імплікації.

Квантор існування відноситься лише до певної частини об'єктів з цього універсуму міркувань. Тому, наприклад, він використовується для символічного запису статистичних законів, які стверджують, що властивість або відношення стосується тільки характеристики певної частини об'єктів, що вивчаються.

Введення кванторів дає можливість насамперед перетворювати предикати на певні висловлювання. Предикати власними силами є ні істинними, ні хибними. Вони стають такими, якщо замість змінних або підставляються конкретні висловлювання, або якщо вони зв'язуються кванторами, квантифікуються. На цій підставі вводиться поділ змінних на пов'язані та вільні.

Пов'язаними називаються змінні, які підпадають під дію знаків кванторів спільності чи існування. Наприклад, формули (х) А (х) і (х) (Р(х) ? Q(x)) містять змінну х. У першій формулі квантор спільності стоїть безпосередньо перед предикатом А(х), у другій - квантор поширює свою дію на змінні, що входять до попереднього та наступного членів імплікації. Аналогічно цьому квантор існування може ставитися як до окремого предикату, і до їх комбінації, утвореної з допомогою логічних операцій заперечення, кон'юнкції, диз'юнкції та інших.

Вільна змінна не підпадає під дію знаків кванторів, тому вона характеризує предикат чи функцію, а не висловлювання.

За допомогою комбінації кванторів можна висловити символічною мовою логіки достатньо складні пропозиціїприродної мови. При цьому висловлювання, де йдеться про існування об'єктів, що задовольняють певну умову, запроваджуються за допомогою квантора існування. Наприклад, твердження про існування радіоактивних елементів записується за допомогою формули:

де R означає властивість радіоактивності.

Твердження, що існує небезпека для курця захворіти на рак, можна виразити так: (Ех) (К(х) ? P(x)), де К позначає властивість "бути курцем", а Р - "захворіти на рак". З відомими застереженнями те саме можна було висловити» за допомогою квантора спільності: (х) (К(х) ? Р(х)). Але твердження, що кожен, хто курить може захворіти на рак, було б некоректним, і тому його найкраще записати за допомогою квантора існування, а не спільності.

Квантор спільності використовується для висловлювань, у яких стверджується, що певному предикату А задовольняє будь-який об'єкт у сфері його значень. У науці, як говорилося, квантор спільності використовується висловлювання тверджень універсального характеру, які словесно представляються з допомогою таких фраз, як " всякого " , " кожен " , " всякий " , " будь-який " тощо. Шляхом заперечення квантора спільності можна висловити загальнонегативні висловлювання, які в природній мові вводяться словами "ніякий", "жоден", "ніхто" тощо.

Зрозуміло, при перекладі символічний мову тверджень природної мови зустрічаються певні труднощі, але при цьому досягається необхідна точність і однозначність вираження думки. Не можна, однак, думати, що формальна мова багатша за природну мову, якою виражаються не просто сенс, а й різні його відтінки. Тому може йти тільки про більш точне уявлення виразів природної мови як універсального засобу вираження думок та обміну ними в процесі спілкування.

Найчастіше квантори спільності та існування зустрічаються разом. Наприклад, щоб висловити символічно твердження: "Для кожного дійсного числах існує таке число у, що х буде менше у", позначимо предикат "бути менше" символом<, известным из математики, и тогда утверждение можно представить формулой: (х) (Еу) < (х, у). Или в более привычной форме: (х) (Еу) (х < у). Это утверждение является истинным высказыванием, поскольку для любого действительного числа х всегда существует другое действительное число, которое будет больше него. Но если мы переставим в нем кванторы, т.е. запишем его в форме: (Еу) (х) (х < у), тогда высказывание станет ложным, ибо в переводе на обычный язык оно означает, что существует число у, которое будет больше любого действительного числа, т.е. существует наибольшее действительное число.

Із самого визначення кванторів спільності та існування безпосередньо випливає, що між ними існує певний зв'язок, який зазвичай виражають за допомогою наступних законів.

1. Закони перестановки кванторів:

(х) (у) А ~ (у) (х) А;

(Ех) (Еу) А ~ (Еу) (Ех) А;

(Ех) (у) А ~ (у) (Ех) А;

2. Закони заперечення кванторів:

¬ (х) А ~ (Ех) ¬ А;

¬ (Ех) А ~ (х) ¬ А;

3. Закони взаємовиразності кванторів:

(х) А ~ ¬ (Ех) ¬ А;

(Ех) А ~ ¬ (х) ¬ А.

Тут всюди А позначає будь-яку формулу об'єктної (предметної) мови. Сенс заперечення кванторов очевидний: якщо неправильно, що з будь-якого х має місце А, тоді є такі х, котрим А немає місця. Звідси також випливає, що якщо: будь-якому х притаманне А, тоді не існує такого х, якому було б властиво не-А, що символічно представлено в першому законі взаємовиразності.

У логіці предикатів розглядаються дві операції, які перетворюють одномісний предикат на висловлювання, при цьому використовуються спеціальні слова, які ставлять перед предикатами. У логіці їх називають кванторами.

Розрізняють два види кванторів:

1. Квантор спільності;

2. Квантор існування.

1. Квантор спільності.

Нехай є предикат Р(х) визначений на множині М

Символ називають квантором загальності(Спільності). Це перегорнута перша літера англійського слова All-все. Читають «усі», «кожен», «будь-який», «кожний». Змінну х в предикатеР(х) називають вільної (їй можна надавати різні значення з М), висловлюванніж х називають пов'язаноюквантором загальності.

Приклад №1: Р(х) - "Просте число х непарно"

Додамо квантор спільності - «Всяке просте число х непарне» - хибне висловлювання.

Під виразом розуміють вислів істинний, коли Р(х) істинно для кожного елемента х з множини М і хибне в іншому випадку. Цей вислів не залежить від х.

2. Квантор існування.

Нехай P(x) - предикатвизначений на множині М. Під виразом розуміють висловлювання, Що є істинним, якщо існує елемент , для якого P(x) істинно, і хибним – в іншому випадку. Цей вислів не залежить від x. Відповідне йому словесне вираз звучить так: “Існує x, у якому P(x) истинно.” Символ називають Квантор існування.У висловлюванні змінна x пов'язана цим квантором (на неї навішений квантор).

(Читають: «Існує таке х із М, при якому Р від х істинно»)

Під виразом розуміють висловлювання, яке є істинним, якщо існує елемент х€М (хоча б один), для якого Р(х) істинно, і хибним інакше.

Приклад №2: Р(х) «Кількість х кратно 5»

Будь-яке натуральне число кратно 5»

Кожне натуральне число кратно 5» помилкові висловлювання

Усі натуральні числа кратні 5»

Існує натуральне число кратно 5

Знайдеться натуральне число кратно 5 справжні висловлювання

Хоча б одне натуральне число кратно 5

Кванторні операції застосовуються і до багатомісних предикатів. Нехай, наприклад, на безлічі М заданий двомісний предикат P(x, y). Застосування кванторної операції до предикату P(x,y) по змінній x ставить у відповідність двомісному предикату P(x,y) одномісний предикат (або одномісний предикат), що залежить від змінної y і не залежить від змінної x. До них можна застосувати кванторні операції по змінній y, які призведуть до висловлювань наступних видів:

Для побудови заперечень із кванторами треба:

1) квантор спільності замінити на квантор існування, а квантор існування – на квантор спільності;

2) предикат замінити його запереченням.

Таким чином, справедливі формули:

Заперечення пропозиції записувати як , а заперечення пропозиції – як . Очевидно, що пропозиція має той самий зміст, а отже, те саме значення істинності, що й пропозиція, а пропозиція – той самий сенс, що . Інакше кажучи, рівносильно; рівносильно.

П р і м е р №3. Побудувати заперечення висловлювання «деякі двоцифрові числа діляться на 12».

Рішення. Замінимо квантор існування (він виражений словом «деякі») на квантор спільності «все» і побудуємо заперечення речення, що стоїть після слова «деякі», поставивши частинку «не» перед дієсловом. Отримаємо вислів «Всі двоцифрові числа не діляться на 12».

П р і м е р №4. Сформулювати заперечення висловлювання «У кожному класі хоча б один учень не впорався з контрольною роботою».

Рішення. Цей вислів містить квантор спільності, виражений за допомогою слова «кожен», і квантор існування, виражений за допомогою слів «хоч би один». За правилом побудови заперечень висловлювань з кванторами треба квантор спільності замінити на квантор існування, а квантор існування – на квантор спільності і забрати у дієслова частку «не». Отримаємо: «Знайдеться такий клас, де всі учні впоралися з контрольною роботою».

Оператор, за допомогою якого про к.-л. окремому об'єкті перетворюється на висловлювання про сукупність (безліч) таких об'єктів.
У логіці використовується два основних До.: До. спільності, "V", і До. існування, "Е". У природній мові віддаленими смисловими аналогами До. спільності є слова "все", "будь-який", "кожен"; смисловими аналогами До. існування - слова «деякі», «існує». За допомогою даних До. будь-яке атрибутивне висловлювання виду Р(х) про те, що об'єкту х властиве Р, може бути перетворено на відповідне кванторне висловлювання виду VхР(х) і виду ЗхР(х). Змістовно сама кванторна формула "VxP(x)" читається як "для всіх х має Р(х)", а формула "ЕхР(х)" - як "для деяких х має місце Р(х)". Висловлювання виду VxP(x) істинно, якщо будь-х володіє властивістю Р; і хибно, якщо хоча б один х не має властивість Р. Аналогічним чином, висловлювання виду ЗхР(х) істинно, якщо хоча б один х має властивість Р; і хибно, якщо жоден х не має властивості Р.
На основі елементарних кванторних формул "VxP(x)", "ЕхР(х)" можуть бути побудовані ін, більш складні кванторні формули. Логічні взаємозв'язки між такими формулами вивчаються у логіці предикатів. Зокрема, формула «ЗхР(х)» логічно еквівалентна формулі «) VxКВАНТОР| P(x)», а формула «VхР(х)» еквівалентна формулі «) Ех) Р(х)», де «)» - заперечення.
У неявній формі До. використовувалися вже Аристотелем, однак у строгому змістовному та формальному сенсі вони вперше були введені в логіку Г. Фреге.

Філософія: Енциклопедичний словник. - М: Гардаріки. За редакцією А.А. Івіна. 2004 .

(від лат. quantum - скільки), оператор логіки предикатів, застосування крого до формул, що містять лише одну вільну змінну, дає (висловлювання). Розрізняють До. спільності, що позначається символом (від англ. all - все), та К. існування (Від exist - існувати): хР(х) інтерпретується (див.Інтерпретація)як «для всіх х має місце властивість Р», а хР(х) - як «існує х такий, що має місце властивість?(х)». Якщо (Універсум)кінцева, то хР(х) рівносильно кон'юнкції всіх формул Р (а)де а - елемент предметної області. Аналогічно, хР(х) рівносильно диз'юнкції всіх формул виду? (а). Якщо ж предметна область нескінченна, то xP (x)і хР(х) можуть бути витлумачені відповідно як нескінченні та диз'юнкції. Введення До. у логіці багатомісних предикатів (тобто.неодномісних)обумовлює нерозв'язність обчислення предикатів. Різні співвідношення між До. спільності та існування та логічними зв'язками логіки висловлювань формалізуються у обчисленні предикатів.

Філософський енциклопедичний словник. - М: Радянська енциклопедія. Гол. редакція: Л. Ф. Іллічов, П. Н. Федосєєв, С. М. Ковальов, В. Г. Панов. 1983 .

(від лат. quantum – скільки) – логіч. оператор, що застосовується до логіч. виразів і дає кількостей. характеристику області предметів (а іноді і області предикатів), до якої відноситься одержуване в результаті застосування К. . У те, як логіч. засобів логіки висловлювань недостатньо для висловлювання форм загальних, приватних і поодиноких суджень, у логіці предикатів, одержуваної у вигляді розширення логіки висловлювань з допомогою запровадження До., такі судження виразні. Так, напр., чотири осн. форми суджень традиц. логіки "Всі А суть В", "Жодне А не є В", "Нек-рі А суть В" і "Нек-рі А не суть В" можуть бути записані (якщо відволіктися від передбачуваного аристотелевою логікою вимоги непустоти А в загальних судженнях) за допомогою символіки нижче: ) & В (х)) та ∃ (х) (А (х) & B (x)). Введення До. дає записувати на формалізованому логіч. мові вираження єств. мови, що містять кільк. Показники к.-л. предметних чи предикатних областей. Природно. мовами носіями таких характеристик є т.з. кванторні слова, до яких брало ставляться, зокрема, кількостей. чисельні, займенники "все", "кожен", "нек-рий", дієслово "існує", прикметники "будь-який", "будь-який", "єдиний", прислівники "нескінченно багато" і т.п. Виявляється, що висловлювання всіх згаданих кванторних слів у формаліз. мовами та логіч. обчислення досить двох найбільш вживе. К.: К. спільності (або в с в о щ н о с т і), що позначається зазвичай символом ∀(перевернута буква А – початкова буква англ. слова "all", нім. "alle" та ін), і До. сутність, що позначається зазвичай символом ∃ (перевернута буква E - початкова буква англ. Слова "exist", нім. "existieren" та ін); за знаками ∀ і ∃ в позначенні К. слід буква деякого алфавіту, звана кванторної змінної, к-рую розглядають зазвичай як частина позначення К.: ∀х, ∀у, ∀F, ∃х, ∃α і т.п. Для До. спільності використовують також позначення:

для До. існування:

Знак До. ставиться перед виразом, до якого застосовується До. (операцію застосування До. часто називають квантифікацією); цей вислів полягає в дужки (які часто опускають, якщо це не призводить до двозначності). Вираз ∀x (А (х)), що містить До. спільності, читається як "Для всіх x вірно, що А (х)", або "Для кожного x вірно А (х)"; що містить До. існування вираз ∃х (А(х)) читається як "Існує x такий, що А (х)", або "Для деякого x вірно А(х)". В обох цих випадках не передбачається, взагалі кажучи, що вираз A(х) насправді залежить від змінної x (може і взагалі не містити ніяких змінних, тобто може позначати деяке висловлювання; в цьому випадку не змінює сенсу цього висловлювання) ). Проте осн. призначення До. - висловлювань з висловлювання, що залежить від кванторної змінної, або хоча б зменшення числа змінних, від яких це вираз, будучи незамкнутою (відкритою) формулою (див. Замкнена формула), залежить. Напр., вираз (y>0&z>0&x=у-z) містить три змінні (х, y і z) і стає висловлюванням (справжнім або хибним) при к.-л. визна. заміщенні цих змінних іменами нек-рых предметів у сфері їх значень. Вираз ∃ z(y>0&z>0&x = y-z) залежить вже лише від двох змінних (х і у), a ∃y∃z (y>0&z>0& &х = у –z) - від однієї х. Остання формула виражає, т.ч., деяку властивість (одномісний). Нарешті, формула ∃х∃у∃z (y>0&z>0&x=y–z) висловлює цілком визна. висловлювання.

Др. приклади формул, що містять К.: 1) ∀х(х>0); 2) ∃х(х>0); 3) ∀х (2+2=5); 4) ∃x (2+2=4); 5) ∀х (х = х) & (х + 2 = у); 6) ∀х∃у (∀z (x = z⊃x ≠ 0) & (x дія к.-л. К., наз. областю дії цього К. Так, у формулі 6) областями дії К. ∀х і ∃y є частини формули, що стоять праворуч від них, а область дії К. ∀z - формула (x = z⊃x ≠ 0).Входження к.-л. В інших випадках входження змінної назви з в о д н і м. Одна і та ж може входити в к.-л.формулу в одному місці у зв'язаному вигляді, а в ін. місці – у вільному, така, напр., формула 5): перші три (вважаючи ліворуч) входження до неї змінної x – пов'язані, останнє ж – вільне. Іноді кажуть, що змінна пов'язана у цій формулі, якщо всі її входження до цієї формули – пов'язані. У математиці та логіці будь-яке вираз, що містить вільну змінну, може розглядатися (при неформальному підході) як її в тому звичайному значенні цього слова, що воно (вираз) залежить від різних значень цієї змінної; надаючи цій змінній різні значення (тобто. заміняючи її вільні входження ім'ям к.-л. предмета, що належить до області значень цієї змінної), ми отримуємо різні (взагалі кажучи) значення даного висловлювання, залежні від значення змінної, тобто. . від підставленої замість неї константи. Що ж до пов'язаних змінних, то висловлювання, що укладають їх, насправді від них не залежать. Напр., вираз ∃х(х = 2у), що залежить від у (що входить до нього вільно), еквівалентно виразів ∃z(z = 2y), ∃u(u = 2у) і т.п. Ця логіч. виразів від що входять у яких пов'язаних змінних знаходить у т. зв. правилі перейменування зв'язаних перемінних, що постулюється або виводиться в разл. логіч. обчислення (див. Змінна , Предикатов обчислення).

Викладене вище тлумачення сенсу К. ставилося до змістовних логіч. теоріям. Що ж до обчислень у прив. сенсі (т.зв. формальних систем), то них взагалі немає сенсу говорити про " значення " тієї чи іншої До., що є тут просто деяким символом обчислення. Питання про значення (сенсі) К. відноситься цілком до галузі інтерпретації обчислення. У застосуванні до К. можна говорити принаймні про три інтерпретації: класичну, інтуїціоністську та конструктивну, що відповідають різним концепціям існування та загальності в логіці та математиці (див. Інтуїціонізм, Конструктивна логіка). Як у класич., так і в інтуїціоністському (конструктивному) обчисленні предикатів способи виведення у випадках, коли вихідні або формули, що доводяться, містять До., описуються одними і тими ж т. н. постулатами квантифікації, напр. постулатами Бернайса.

До. спільності та існування не вичерпуються вживані в логіці види До. Великий До. є т. зв. обмежені К. виду ?P(x)А(х) або ?xQ(x)A(x), в яких брало область зміни кванторної змінної x "обмежена" деяким спец. предикатом Р(х) (або Q(x)). Обмежені До. зводяться до До. спільності та існування за допомогою слід. еквівалентностей: ∀xP(x)A(x) КВАНТОР∀x(P(x) ⊃A(x)) та ∃xQ(x)A(x) КВАНТОР ∃x(Q(x)&A(x)). Часто вживаний До. єдиності ∃!хА(х) ("є єдине x таке, що А(х)") також виражається через До. спільності та існування, напр. так: xA(x) КВАНТОР ∃xA(x)& ∀y∀z(A(y)&A(z)⊃y=z).

Вживані та ін. види До., що не покриваються поняттям обмеженого До. Такі "числові" До. виду ∃хnА(х) ("існує в точності n різних x таких, що А(х)"), що вживається в інтуїціоністської логіки До. "квазііснування" ∃ хА(х), або ("невірно, що не існує такого х, що А(х)"); з т. зр. класич. логіки К. "квазііснування" нічим не відрізняється від К. існування, в інтуїціоністській ж логіці пропозиція ∃xA(x), яка нічого не говорить про існування алгоритму для знаходження такого х, що А(х), дійсно стверджує лише "квазі" такого x і К. нескінченності ∃x∞A(x) ("існує нескінченно багато таких х, що А(х)"). Вирази, що містять До. нескінченності та числові До., також можуть бути записані за допомогою До. спільності та існування. У розширеному обчисленні предикатів К. беруться не лише за предметними, а й за предикатними змінними, тобто. розглядаються формули виду ∃F∀xF(x), ∀Ф∃у(Ф(y)) тощо.

Літ.:Гільберт Д. та Аккерман Ст, Основи теоретичної логіки, пров. з англ., М., 1947, с. 81-108; Тарський А., Введення в логіку та методологію дедуктивних наук, пров. з англ., М., 1948, о. 36-42, 100-102, 120-23; Кліні С. До., Введення в метаматематику, пров. з англ., М., 1957, с. 72-80, 130-38; Чорч А., Введення в математичну логіку, пров. з англ., т. 1, с. 42–48; Кузнєцов А. Ст, Логічні контури алгоритму, перекладу зі стандартизованої російської мови на інформаційно-логічну, в сб.: Тези доповідей на конференції з обробки інформації, машинного перекладу та автоматичного читання тексту, М., 1961; Mostowski A., On a generalization of quantifiers, " Fundam. math. " , 1957, t. 44, No 1, p. 12–36; Hailperin T., Теорія з обмеженою quantification, I-II, "J. Symb. Logic", 1957, v. 22, No 1, p. 19-35, No 2, p. 113–29.

Ю. Гастєв. Москва.

Філософська енциклопедія. У 5-х т. – М.: Радянська енциклопедія. За редакцією Ф. В. Константинова. 1960-1970 .

Синоніми:

Дивитись що таке "КВАНТОР" в інших словниках:

Сущ., кіл у синонімів: 1 оператор (24) Словник синонімів ASIS. В.М. Тришин. 2013 … Словник синонімів

квантор- - Тематики електрозв'язок, основні поняття EN quantifier... Довідник технічного перекладача

Квантор загальна назва для логічних операцій, що обмежують область істинності якогось предикату і створюють висловлювання. Найчастіше згадують: Квантор загальності (позначення: , Читається: «для всіх…», «для кожного…» або «кожен…» … Вікіпедія

Загальна назва для логічних операцій, які за предикатом Р(х) будують висловлювання, що характеризує область істинності предикату Р(х). У математич. логіці найбільш уживані квантор загальності та квантор існування Висловлювання означає, що … Математична енциклопедія

Квантор- (Від латів. quantum скільки) символ, що використовується для позначення деяких операцій математичної логіки, одночасно логічна операція, що дає кількісну характеристику області предметів, до яких відноситься вираз, що отримується в ... Початки сучасного природознавства