Будь-яке чи раціональне число є дійсним. Раціональні числа: визначення, приклади

У даній статті зібрані основні відомості про дійсні числа. Спочатку дано визначення дійсних чисел і наведемо приклади. Далі показано положення дійсних чисел на координатній прямій. А на закінчення розібрано, як дійсні числа задаються у вигляді числових виразів.

Навігація по сторінці.

Визначення і приклади дійсних чисел

Дійсні числа в вигляді виразів

З визначення дійсних чисел зрозуміло, що дійсними числами є:

• будь-яке натуральне число;
• будь-яке ціле число;
• будь-яка звичайна дріб (як позитивна, так і негативна);
• будь змішане число;
• будь-яка десяткова дріб (позитивна, негативна, кінцева, нескінченний періодичний, нескінченна неперіодичних).

Але дуже часто дійсні числа можна бачити у вигляді, і т.п. Більш того, сума, різниця, добуток і частку дійсних чисел також є дійсні числа (дивіться дії з дійсними числами). Наприклад, - це дійсні числа.

А якщо піти далі, то з дійсних чисел за допомогою арифметичних знаків, знаків кореня, ступенів, логарифмічних, тригонометричних функцій і т.п. можна складати всілякі числові вирази, значення яких також будуть дійсними числами. Наприклад, значення виразів і є дійсні числа.

На закінчення цієї статті зауважимо, що наступним етапом розширення поняття числа є перехід від дійсних чисел до комплексним числам.

Список літератури.

• Виленкин Н.Я. та ін. Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх установ.
• Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

Copyright by cleverstudents

Всі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту, включаючи внутрішні матеріали і зовнішнє оформлення, не може бути відтворена в будь-якій формі або використовувати без попередньої письмової згоди власника авторських прав.

Натуральні числа визначення - це цілі позитивні числа. Натуральні числа використовують для рахунку предметів і багатьох інших цілей. Ось ці числа:

Це натуральний ряд чисел.
Нуль натуральне число? Ні, нуль не є натуральним числом.
Скільки натуральних чисел існує? Існує безліч натуральних чисел.
Яке найменше натуральне число? Одиниця - це найменше натуральне число.
Яке найбільше натуральне число? Його неможливо вказати, адже існує безліч натуральних чисел.

Сума натуральних чисел є натуральне число. Отже, складання натуральних чисел a і b:

Твір натуральних чисел є натуральне число. Отже, твір натуральних чисел a і b:

с - це завжди натуральне число.

Різниця натуральних чисел Не завжди є натуральне число. Якщо зменшуване більше від'ємника, то різниця натуральних чисел є натуральне число, інакше - немає.

Приватне натуральних чисел Не завжди є натуральне число. Якщо для натуральних чисел a і b

де с - натуральне число, то це означає, що a ділиться на b без остачі. У цьому прикладі a - ділене, b - дільник, c - приватна.

Дільник натурального числа - це натуральне число, на яке перше число ділиться без остачі.

Кожне натуральне число ділиться на одиницю і на себе.

Прості натуральні числа діляться тільки на одиницю і на себе. Тут мається на увазі діляться без остачі. Приклад, числа 2; 3; 5; 7 діляться тільки на одиницю і на себе. Це прості натуральні числа.

Одиницю не вважають простим числом.

Числа, які більше одиниці і які не є простими, називають складовими. Приклади складових чисел:

Одиницю не вважають складовим числом.

Безліч натуральних чисел складають одиниця, прості числа і складені числа.

Безліч натуральних чисел позначається латинською буквою N.

Властивості додавання і множення натуральних чисел:

переместительное властивість складання

сочетательное властивість складання

(A + b) + c = a + (b + c);

переместительное властивість множення

сочетательное властивість множення

(Ab) c = a (bc);

розподільна властивість множення

a (b + c) = ab + ac;

Цілі числа

Цілі числа - це натуральні числа, нуль і числа, протилежні натуральним.

Числа, протилежні натуральним - це цілі негативні числа, наприклад:

1; -2; -3; -4;…

Безліч цілих чисел позначається латинською буквою Z.

раціональні числа

Раціональні числа - це цілі числа і дроби.

Будь-яке раціональне число може бути представлено у вигляді періодичної дробу. приклади:

1,(0); 3,(6); 0,(0);…

З прикладів видно, що будь-яке ціле число є періодичний дріб з періодом нуль.

Будь-яке раціональне число може бути представлено у вигляді дробу m / n, де m ціле число, n натуральне число. Уявімо у вигляді такої дробу число 3, (6) з попереднього прикладу:

Інший приклад: раціональне число 9 може бути представлено у вигляді простого дробу як 18/2 або як 36/4.

Ще приклад: раціональне число -9 може бути представлено у вигляді простого дробу як -18/2 або як -72/8.

Дана стаття присвячена вивченню теми "Раціональні числа". Нижче наведені визначення раціональних чисел, наведено приклади, розказано про те, як визначити, чи є число раціональним, чи ні.

Раціональні числа. визначення

Перш ніж дати дефініцію раціональних чисел згадаємо, які ще є безлічі чисел, і як вони пов'язані між собою.

Натуральні числа, в сукупності з протилежними їм і числом нуль утворюють безліч цілих чисел. У свою чергу, сукупність цілих дрібних чисел утворює безліч раціональних чисел.

Визначення 1. Раціональні числа

Раціональні числа - числа, які можна представити у вигляді позитивної звичайного дробу a b, негативною звичайного дробу - a b або числа нуль.

Таким чином, можна залишити ряд властивостей раціональних чисел:

1. Будь-яке натуральне число є раціональним числом. Очевидно, кожне натуральне число n можна представити у вигляді дробу 1 n.
2. Будь-яке ціле число, включаючи число 0, є раціональним числом. Дійсно, будь-яке ціле позитивне і ціле негативне число легко представляється у вигляді відповідно позитивної або негативної звичайного дробу. Наприклад, 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
3. Будь-яка позитивна чи негативна звичайна дріб a b є раціональним числом. Це слід безпосередньо з даного вище визначення.
4. Будь-яке змішане число є раціональним. Дійсно, адже змішане число можна представити у вигляді звичайного неправильного дробу.
5. Будь-яку кінцеву або періодичну десяткову дріб можна представити у вигляді звичайного дробу. Тому, кожна періодична або кінцева десяткова дріб є раціональним числом.
6. Нескінченні і неперіодичне десяткові дроби не є раціональними числами. Їх неможливо уявити в формі звичайних дробів.

Наведемо приклади раціональних чисел. Числа 5, 105, 358, 1100055 є натуральними, позитивними і цілими. Сдедовательно, це раціональні числа. Числа - 2, - 358, - 936 представляють собою цілі негативні числа, і вони також раціональні відповідно до визначення. Звичайні дроби 3 5, 8 7, - 35 8 також є прикладами раціональних чисел.

Наведене вище визначення раціональних чисел можна сформулювати більш коротко. Ще раз відповімо на питання, що таке раціональне число.

Визначення 2. Раціональні числа

Раціональні числа - це такі числа, які можна представити у вигляді дробу ± z n, де z - ціле число, n - натуральне число.

Можна показати, що дане визначеннярівносильно попереднього визначення раціональних чисел. Щоб зробити це, згадаємо, що риса дробу рівносильна знаку ділення. З урахуванням правил і властивостей ділення цілих чисел, можна записати наступні справедливі нерівності:

0 n = 0 ÷ n = 0; - m n = (- m) ÷ n = - m n.

Таким чином, можна записати:

z n = z n, п р і z> 0 0, п р і z = 0 - z n, п р і z< 0

Власне, цей запис і є доказом. Наведемо приклади раціональних чисел, грунтуючись на другому визначенні. Розглянемо числа - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 і посилання - 1 3 5. Всі ці числа є раціональними, так як їх можна записати у вигляді дробу з цілим чисельником і натуральним знаменником: - 3 1, 0 1, - 7 55, 125 10000, 8 5.

Наведемо ще одну еквівалентну форму визначення раціональних чисел.

Визначення 3. Раціональні числа

Раціональне число - це таке число, яке можна записати у вигляді кінцевої або нескінченної періодичного десяткового дробу.

Дане визначення безпосередньо випливає з самого першого визначення цього пункту.

Підіб'ємо підсумок і сформулюємо резюме по даному пункту:

1. Позитивні і негативні дробові і цілі числа складають безліч раціональних чисел.
2. Кожне раціональне число можна представити у вигляді звичайного дробу, чисельник якого є цілим числом, а знаменник - натуральним числом.
3. Кожне раціональне число можна також представити у вигляді десяткового дробу: кінцевою або нескінченного періодичного.

Яке з чисел є раціональним?

Як ми вже з'ясували, будь-яке натуральне число, ціле число, правильна і неправильна звичайна дріб, періодична і кінцева десяткова дріб є раціональними числами. Озброївшись цими знаннями можна без зусиль визначити, чи є якесь число раціональним.

Однак на практиці часто доводиться мати справу не з числами, а з числовими виразами, які містять корені, ступеня і логарифми. У деяких випадках відповідь на питання "чи раціонально число?" є далеко не очевидним. Розглянемо методи відповіді на це питання.

Якщо число задано у вигляді виразу, який містить тільки раціональні числа і арифметичні дії між ними, то результат виразу - раціональне число.

Наприклад, значення виразу 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) є раціональним числом і дорівнює 18.

Таким чином, спрощення складного числового виразу дозволяє визначити, чи раціонально заданий їм число.

Тепер розберемося зі знаком кореня.

Виявляється, що число m n, задане в бачачи кореня ступеня n від числа m раціонально лише тоді, коли m є n -ої ступенем якогось натурального числа.

Звернемося до прикладу. Число 2 не є раціональним. Тоді як 9, 81 - раціональні числа. 9 і 81 - повні квадрати чисел 3 і 9 відповідно. Числа 199, 28, 15 1 цієї статті не є раціональними числами, так як числа під знаком кореня не є повними квадратами будь-яких натуральних чисел.

Тепер візьмемо більш складний випадок. Чи є раціональним число 243 5? Якщо звести 3 в п'яту ступінь, виходить 243, тому вихідне вираз можна переписати так: 243 5 = 3 5 5 = 3. Отже, дане число раціонально. Тепер візьмемо число 121 5. Це число нераціонально, так як не існує натурального числа, зведення якого в п'яту ступінь дасть 121.

Для того, щоб дізнатися, чи є логарифм якогось числа a за основою b раціональним числом необхідно застосувати метод від супротивного. Наприклад, дізнаємося, чи раціонально число log 2 5. Припустимо, що дане число раціонально. Якщо це так, то його можна записати в вигляді звичайного дробу log 2 +5 = m n .По властивостями логарифма і властивостями мірі справедливі такі рівності:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Очевидно, остання рівність неможливо так як в лівій і правій частинах знаходяться відповідно непарне і парне числа. Отже, зроблене припущення невірно, і число log 2 5 Не є раціональним числом.

Варто зазначити, що при визначенні раціональності та ірраціональності чисел не варто приймати раптових рішень. Наприклад, результат твори ірраціональних чисел не завжди є ірраціональним числом. Наочний приклад: 2 · 2 = 2.

Також існують ірраціональні числа, зведення яких в ірраціональну ступінь дає раціональне число. В ступеня виду 2 log 2 3 підставу і показник ступеня є ірраціональними числами. Однак саме число є раціональним: 2 log 2 3 = 3.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Поняття дійсного числа: дійсне число- (дійсне число), всяке невід'ємне або негативне число або нуль. За допомогою дійсних чисел висловлюють вимірювання кожної фізичної величини.

речовий, або дійсне числовиникло з необхідності вимірювань геометричної та фізичної величин світу. Крім того, для проведення операцій добування кореня, обчислення логарифма, рішення алгебраїчних рівняньі т.д.

Натуральні числаутворилися з розвитком рахунки, а раціональні з потребою управляти частинами цілого, то речові числа (дійсні) використовуються для вимірювань безперервних величин. Т.ч., розширення запасу чисел, які розглядаються, призвело до безлічі дійсних чисел, яке крім раціональних чисел складається з інших елементів, які називаються ірраціональні числа.

Безліч дійсних чисел(позначається R) - це безлічі раціональних і ірраціональних чисел зібрані разом.

Дійсні числаділять нараціональніі ірраціональні.

Безліч дійсних чисел позначають і часто називають речовійабо числової прямої. Речові числа складаються з простих об'єктів: цілихі раціональних чисел.

Число, яке можливо записати як відношення, деm- ціле число, а n- натуральне число, єраціональним числом.

Будь-яке раціональне число легко уявити як кінцеву дрібабо нескінченну періодичну десяткову дріб.

приклад,

Нескінченна десяткова дріб, Це десяткова дріб, у якої після коми є нескінченне число цифр.

Числа, які не можна представити у вигляді, є ірраціональними числами.

приклад:

Будь-яке ірраціональне число легко уявити як нескінченну неперіодичних десяткову дріб.

приклад,

Раціональні і ірраціональні числа створюють безліч дійсних чисел.Всім дійсним числам відповідає одна точка координатної прямої, яка називається числова пряма.

Для числових множин використовуються позначення:

• N- безліч натуральних чисел;
• Z- безліч цілих чисел;
• Q- безліч раціональних чисел;
• R- безліч дійсних чисел.

Теорія нескінченних десяткових дробів.

Дійсне число визначається як нескінченна десяткова дріб, Тобто .:

± a 0, a 1 a 2 ... a n ...

де ± є один з символів + або -, знак числа,

a 0 - ціле позитивне число,

a 1, a 2, ... a n, ... - послідовність десяткових знаків, тобто елементів числового безлічі {0,1,…9}.

Нескінченну десяткову дріб можна пояснити як число, яке на числовій прямій знаходиться між раціональними точками типу:

± a 0, a 1 a 2 ... a nі ± (a 0, a 1 a 2 ... a n +10 -n)для всіх n = 0,1,2, ...

Порівняння дійсних чисел як нескінченних десяткових дробів відбувається поразрядно. наприклад, Припустимо дані 2 позитивні числа:

α = + A 0, a 1 a 2 ... a n ...

β = + B 0, b 1 b 2 ... b n ...

якщо a 0 0,то α<β ; якщо a 0> b 0то α>β . коли a 0 = b 0переходимо до порівняння наступного розряду. І т.д. коли α≠β , Значить після кінцевого кількості кроків зустрінеться перший розряд n, Такий що a n ≠ b n. якщо a n n, то α<β ; якщо a n> b nто α>β .

Але при цьому нудно звернути увагу на те, що число a 0, a 1 a 2 ... a n (9) = a 0, a 1 a 2 ... a n +10 -n.Тому якщо запис одного з порівнюваних чисел, починаючи з деякого розряду це періодична десяткова дріб, у якої в періоді коштує 9, то її потрібно замінити на еквівалентну запис, з нулем в періоді.

Арифметичні операції з нескінченними десятковими дробами це безперервне продовження відповідних операцій з раціональними числами. наприклад, Сумою дійсних чисел α і β є дійсне число α+β , Яке задовольняє таким умовам:

∀ a ', a' ', b', b ''∈ Q (a '⩽ α ⩽ a '')∧ (B '⩽ β ⩽ b '')⇒ (A '+ b'⩽ α + β ⩽ a '' + b '')

Аналогічно визначає операція множеннянескінченних десяткових дробів.