Прості і складені числа цікаві факти. Історія простих чисел

Муніципальне бюджетне загальноосвітній заклад

міста Абакана

«Середня загальноосвітня школа № 19»

Математика

Прості числа-це просто

Лисова

Ельміра,

6 Б клас

керівник:

Биковська

Ірина Сергіївна,

учитель математики

КОД _____________________________

Математика

ПРОСТІ ЧИСЛА - ЦЕ ПРОСТО

ЗМІСТ:

Вступ

Глава 1 . Прості числа

1.1. Визначення простого числа.

1.2. Нескінченність ряду простих чисел.

1.3. Найбільше просте число.

1.4. Способи визначення (пошуку) простих чисел.

Глава 2. Застосування теорії простих чисел

2.1. Приклади деяких тверджень теорії простих чисел відомих радянських вчених.

2.2.Прімери ряду проблем в теорії простих чисел.

2.3. Завдання прикладного характеру (№1, №2)

2.4.Задачі на застосування законів простих чисел (№3 №, 4)

2 .5. Магічні квадрати.

2.6.Застосування закону простих чисел в різних областях

висновок

додаток

«У світі панує гармонія,

і виражена ця гармонія - в числах »

Піфагор.

ВСТУП

Математика дивовижна. Дійсно, чи доводилося комусь бачити своїми очима число (не три дерева і не три яблука, а саме число 3). З одного боку, число є цілком абстрактне поняття. Але, з іншого боку, все, що відбувається в світі, може бути в тій чи іншій мірі виміряна, а значить, представлено в числах

На уроках математики при вивченні теми «Прості і складені числа» мене зацікавили прості числа, історія їх виникнення та способи отримання. Я звернулася в бібліотеку, інтернет, де і придбала потрібну літературу. Гарненько вивчивши її, я зрозуміла, що існує дуже багато цікавої інформації про прості числа. Прості числа, які були введені приблизно дві з половиною тисячі років тому, а знайшли несподіване практичне застосування зовсім недавно. Дізналася, що існуютьЗакони простих чисел, виражені через формулу, але є ряд проблем в теорії чисел.Незважаючи на те, що зараз ми живемо в століття комп'ютерів і найсучасніших інформаційних програм, багато загадок простих чисел не вирішені до сих пір, є навіть такі, до яких вчені не знають, як підступитися.Знання відкритих законів дозволяє створити якісно нові рішення в багатьох областях, цікавлять як науковців, так і простих громадян. Тема зацікавила і мене.об'єктом дослідження є виключно абстрактним поняттям -просте число . предметом вивчення простого числа послужили: теорія про прості числа, способи їх завдання, цікаві відкриття в цій галузі та їх застосування в практичних цілях.

метоюмоєї роботи є розширення уявлень про прості числа. визначила наступні завдання:

познайомитися з історією розвитку теорії про прості числа,

сформувати загальне уявлення про способи знаходження простих чисел,

дізнатися цікаві досягнень радянських вчених в області теорії простих чисел,

розглянути деякі проблеми в теорії простих чисел,

познайомитися з застосування теорії простих чисел в різних областях,

зрозуміти принцип виділення простих чисел з натурального ряду за допомогою методу «Решето Ератосфена» в межах до 100; тисяча,

вивчити застосування простих чисел в задачах.

I. ПРОСТІ ЧИСЛА

Прості числа - одне з чудес математик.Один, два, три ... З цими словами вступаємо ми в країну чисел, вона не має кордонів. На вигляд плоскі, близькі числа при ближчому знайомстві з ними обпалюють нас своїм внутрішнім жаром, знаходять глибину.

З розкладанням чисел на множники ми знайомі з початкової школи. При знаходженні спільного знаменника доводиться розкладати на множники знаменники доданків. Розкладати на множники доводиться при скороченні дробів. Одне з основних тверджень арифметики говорить: кожне натуральне число єдиним чином розкладається на прості множники.

72 = 2x2x2x3x3

Тисяча один = 7 х 11 х 13

Розкладання чисел на прості множники показує, що будь-яке число є або простим, або добутком двох або кількох простих чисел. Тому можна сказати, що прості числа є складовими елементами натуральних чисел, як би цеглою, з яких, за допомогою дії множення, складаються всі цілі числа.

Простим числом називається натуральне число, що має тільки два різних дільника (саме число і 1).

Кілька цікавих фактів.

число 1не є простим числом і не складеним.

Єдиним парним числом, які потрапили до групи «прості числа» є двійка.Будь-яке інше парне число сюда попасть просто не може, так як вже за визначенням, крім себе і одиниці, ділиться ще й на два.

Прості числа не з'являються в натуральному ряду безладно, як це може здатися на перший погляд. Уважно проаналізувавши їх, можна відразу помітити кілька особливостей, найбільш цікавічисла - «близнюки» - прості числа, різниця між якими равна2.Називають їх так тому, що вони виявилися по сусідству один з одним, розділені лише парним числом (п'ять і сім, сімнадцять і дев'ятнадцять). Якщо уважно до них придивитися, то можна помітити, що сума цих чисел завжди кратна трьом.Пари близнюків із загальним елементомобразуют пари простих чисел - «двійників» (три і п'ять, п'ятьі сім).

З давніх-давен кидалася в очі нерегулярність розподілу простих чисел серед всіх натуральних чисел. Було відмічено, що в міру просування від малого числа до більшого в натуральному ряду прості числа зустрічаються все рідше. Тому одним з перших питань було таке: чи існує останнім просте число, тобто, чи має ряд простих чисел кінець?Близько 300 років до нашої ери на це питання дав негативну відповідь знаменитий давньогрецький математик Евклід. Він довів, що за кожним простим числом є, ще більше просте число, тобто, існує незліченна безліч простих чисел.

Найстаріше відоме доказ цього факту було дано в «» (книга IX, твердження 20).

Уявімо, що кількість простих чисел звичайно. Перемножимо їх і додамо одиницю. Отримане число не ділиться ні на одне з кінцевого набору простих чисел, тому що залишок від ділення на будь-який з них дає одиницю. Значить, число має ділитися на деякий просте число, що не включене в цей набір.

Отже, не можна прийняти, що ряд простих чисел кінцевий: припущення це призводить до протиріччя. Таким чином, яку б довгу серію послідовності складових чисел ми не зустріли в ряду натуральних чисел, ми можемо бути переконані в тому, що за нею знайдеться ще нескінченне більше число.

Математики пропонували і інші докази.

1.3.Самое велике просте число.

Одна справа бути впевненим в тому, що існують які завгодно великі прості числа, а інша справа - знати, які числа є простими. Чим більше натуральне число, тим більше обчислень треба провести, щоб дізнатися, чи є воно простим чи ні.

З давніх-давен ведуться записи, які відзначають найбільші відомі на той час прості числа. Один з рекордів поставив свого часу Ейлер в ХVIII столітті, він знайшов просте число 2147483647.

Найбільшим відомим простим число-рекордсменстаном на червень 2009 року є 2 певною мірою 43112609 - 1(відкрив Купера з Університету Центрального Міссурі в СШ А).Воно містить 12 978 189 і є простим. Завдяки цьому вченому прості числа Мерсенна давно утримують рекорд як найбільші відомі прості. Щоб їх визначити, потрібно 75 потужних комп'ютерів.

Числа виду: 2 певною мірою n мінус 1 , Де n теж просте число, відносяться до чисел Мерсенна. Купера зробив нове математичне відкриття в 2013 р .. Йому вдалося знайти найдовше просте число в світі. Записано воно наступним чином -2 певною мірою 57885161 - 1. Число містить понад 17 мільйонів цифр. Для того щоб роздрукувати його на папері знадобиться понад 13 тисяч сторінок формату А4.
Тепер новий рекорд в класі простих чисел Мерсенна записується як2 певною мірою 57885161 - 1 , В ньому 17425170 цифр. Відкриття нового рекордсмена приніс Куперу грошовий приз у розмірі 3 тисяч доларів

Фонд Електронних кордоном також обіцяє нагородити 150 і 250 тисячами доларів США людей, які представлять світу прості числа, що складаються з 100 мільйонів і мільярди символів

а) Решето Ератосфена.

Існують різні способи пошуку простих чисел. Перший, хто займався завданням «виписати з безлічі натуральних чисел прості», був великий грецький математик давнини Ератосфен, який жив майже 2 300 років тому. Він придумав такий спосіб: записав все числа від одиниці до якогось числа, а потім викреслив одиницю, яка не є ні простим, ні складеним числом, потім викреслював через одне все числа, що йдуть після 2 (числа, кратні двом, тобто . 4,6,8 і т.д.). Першим залишилися числом після 2 було 3. Далі викреслювалися через два все числа, що йдуть після трьох (числа, кратні 3, тобто 6, 9, 12, і т.д.), в кінці кінців залишалися викресленими тільки прості числа : 2, 3, 5, 7, 11, 13, ....

Таким чином, Ератосфен винайшов спосіб, за допомогою якого можна відсіяти все прості числа від 1 до деякого певного числа шляхом виокремлення всіх чисел кратних кожному простому числу. Цей спосіб називається «Решето Ератосфена». - найпростіший спосіб знаходження початкового списку простих чисел аж до деякого значення.

Греки робили записи на покритих воском табличках або на папірусі, а цифри не викреслювали, а виколювали голкою, то таблиця в кінці обчислень нагадувала решето.

Можливо, чи розпізнати просте число, як то кажуть, з першого погляду? Якщо зачерпнути в сито відразу багато чисел, блисне серед них просте, як золотий самородок? Деякі вважають, що так. Наприклад, числа, що закінчуються на 1, часто виявляються шуканими, скажімо, такі як 11, 31, 41. Однак при цьому слід бути обережним і не прийняти фальшиве золото за чисте, як, скажімо, 21 або 81. У міру зростання величини чисел, одиниця на кінці все частіше вводить нас в оману. Створюється навіть враження ніби прості числа, в кінці кінців, просто зникають, як вважали деякі стародавні греки.

б) Складання таблиць способом «Решето Ератосфена»

а) Решето Ератосфена, як теоретичний метод дослідження, в теорії чисел був введений в 1920 році Норвезьким математиком В.Бруном. Використовуючи цей спосіб, вчені склали таблиці простих чисел між 1 і 12 000 000

Справжнім героєм в складанні таблиці простих чисел є професор Чеського університету в Празі Якуб Філіп Кулик (1793-1863).

Він, не маючи ніяких видів на друкування своєї праці, склав таблицю дільників чисел перших ста мільйонів, Точніше чисел до 100 320 201, і помістив її в бібліотеці Віденської Академії наук для користування працюють в цій галузі.

Ми на уроках математики користуємося таблицею, наведеною на форзаці підручника в межах 1000.

в) Складання таблиць за допомогою обчислювальної техніки

Впровадження засобів обчислювальної техніки в теоретичну і прикладну математику істотно полегшило вирішення завдань, пов'язаних з трудомісткими розрахунками.

На згадку досить складних комп'ютерів можна закласти табличні дані будь-якого обсягу, однак такими можливостями поки ще не мають калькулятори індивідуального користування. Тому над проблемами складання компактних і зручних таблиць, призначених, зокрема, для аналізу чисел, продовжують працювати фахівці-математики.

Застосування для цієї мети обчислювальних машин дозволило зробити досить істотний крок вперед. Наприклад, сучасна таблиця чисел, для складання якої була залучена обчислювальна техніка, охоплює числа до 10 000 000. Це досить об'ємистих книга.

На практиці замість отримання списку простих чисел найчастіше потрібна перевірити, чи є дане число простим. Алгоритми, що вирішують цю задачу, називаються .

Використання спеціалізованих алгоритмів за визначенням простоти числа (чи є число простим?) Дозволяє здійснити пошуки простого числа в заданих межах натурального ряду чисел.

д) Відкриття століття - Закон простихчісел

Ще в давні часи вчених цікавило питання про те, за яким законом розташовані в натуральному ряду прості числа. Русский Піфагор - Володимир Хренов - своїм відкриттям Закону простих чисел справив шок в науковому світі. Цей закон не тільки повертає математику в правильне русло, а й пояснює багато законів природи з точки зору справжнього пізнання світу.Російський геній,Володимир Хреновзробив наукове відкриття , яке перевертає існуюче уявлення про час і простір , щопрості числа - це не хаос.

Прості числа виходять за формулою: «6Х плюс-мінус 1», Де Х будь-яке натуральне число.

13=6 *2-1; 13=6 *2-1; 19=6 *3+1; 31=6 *5+1;

Відкриття було зроблено 30 квітня 2000 року. Це була ювілейна Великдень Воскресіння Христа. Знаменна дата. У цей день відкрилася справжня модель реального простору і часу. 7 січня 2001 року було описано закон простих чисел, а разом з ним - закономірності формування всіх чисел натурального ряду. Так ось, після відкриття закону простих чисел стало зрозуміло, що едініца - еталон простору,шість - еталон часу, а в сукупності два еталона простору і часу творять все різноманіття природи і є вічною першопричиною всього. Тепер, після відкриття Закону простих чисел, стало ясно, що вони утворюються наукове обгрунтування магії числа 7.Даний закон має не тільки колосальне світоглядне, але дозволяє створювати технології захисту інформації нового покоління, засновані на даній теорії.Для створення нового потрібно нове просте число. Ось чому математикам, який відкрив його, виплачують такі величезні суми.

ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРІЇ ПРОСТИХ ЧИСЕЛ

Хоча з часу Евкліда пройшло понад дві тисячі років, до його теорії нічого нового не додалося. Прості числа в натуральному ряду розташовуються надзвичайно примхливо. Однак, існує величезну кількість загадок, пов'язаних з простими числами.

Великі заслуги в галузі вивчення простих чисел належать російським і радянським математикам. Мене зацікавили прості і в той же час дивовижні твердження, які довели в цій області відомі радянські вчені. Я їх розглянула і привела ряд прикладів, що підтверджують істину висловлювань.

П. Л. Чебишев (1821-1894)довів, що між будь-яким натуральним числом більше 1, і числом вдвічі більше даного, завжди є хоча б одне просте число.

Розглянемо наступні пари простих чисел, що задовольняють цій умові.

приклади:

і 4 - просте число 3.

і 6 - просте число 5.

10 і 20 -прості числа 11; 13; 17; 19.
5 і 10 - просте число 7.

7 і 14 - прості числа 11; 13.

11 і 22 - прості числа 13; 17; 19.

висновок: Дійсно, між будь-яким натуральним числом більше 1 і числом вдвічі більше даного, є хоча б одне просте число.

Християн Гольдбак,член Петербурзької академії наук, майже 250 років тому висловив пропозицію, що будь-непарне число більше 5, можна представити у вигляді суми трьох простих чисел.

приклади:

21 = 3 + 7 + 11,

37 = 17 + 13 + 7,

23= 5 + 7 + 11,

29= 11 + 13 + 5,

Виноградов ІМ. (1891-1983),радянський математик, довів цю пропозицію лише 200 років потому.

7 = 2 + 2 + 3, 15 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5,

9 = 3+3 + 3, 20 = 7 + 11 + 2.

але твердження « Будь-яке парне чисто, більше 2, можна представити у вигляді суми двох простих чисел » до сих пір не доведено .

приклади:

28= 11 + 17, 924 = 311 + 613,

56= 19 + 37, 102 = 59 + 43.

2.2 Приклади ряду проблем в теорії простих чисел.

Проблема відсутності закономірностей розподілу простих чисел займає розуми людства ще з часів давньогрецьких математиків. Завдяки Евклиду ми знаємо, що простих чисел нескінченно багато. Ерастофен, Сундар запропонували перші алгоритми тестування чисел на простоту. Ейлер, Ферма, Лежандра та багато інших відомих математики намагалися і намагаються донині розгадати загадку простих чисел. На сьогоднішній момент знайдено і запропоновано безліч витончених алгоритмів, закономірностей, але всі вони можуть бути лише для кінцевого ряду простих чисел або простих чисел спеціального виду. Переднім же краєм науки в дослідженнях простих чисел на нескінченності вважається доказ. вона входить , За доказ або спростування якої математичним інститутом Клея запропонована премія в 1.000.000 $.

Найбільш відомі проблеми простих чисел були перераховані на П'ятому. Сьогодні вчені говорять про 23 проблемах.

Мені вдалося розглянути 4 з них, привести ряд прикладів по кожній проблемі.

Перша проблема Ландау (проблема Гольдбаха):

довести або спростувати:

Кожне парне число, більше двох, може бути представлено у вигляді суми двох простих чисел, а кожне непарне число, більше 5, може бути представлено у вигляді суми трьох простих чисел.

приклади :

8 = 3+5,

12 = 5+7,

16=13 +3, 17= 11+3+3,

24=19+5, 21=11+7+3

50 = 13+37

Друга проблема Ландау (проблема Гольдбаха):

нескінченно чи безліч «простих близнюків» - простих чисел, різниця між якими дорівнює 2?

а) визначила наступні числа «близнюки»:

3 і 5; 5 і 7; 7 і 9; 11 і 13, 17 і 19; 41 і 43;

б). Пари близнюків складаються з двійників із загальним елементом. Мені вдалося знайти такі пари близнюків - «двійників»

Рішення:

(3, 5) і (5, 7);

Відомо, що простих чисел нескінченно багато. Але ніхто не знає, звичайно, або нескінченно безліч пар близнюків.

Третя проблема Ландау (гіпотеза)

вірно, що між числами видуn2 і (n + 1) 2завжди знайдеться просте число? (n - непарне число)

Рішення:

а) при n = 3, отримаємо 6 і 8, між ними просте число 7.

б) при n = 5, отримаємо 10 і 12, між ними просте число 11.

у При n = 9, отримаємо 18 і 20, між ними просте число 19.

4.Четвёртая проблема Ландау:

нескінченно чи безліч простих чисел вигляду n2 + 1?

Рішення:

при n = 1, то маємо 3; при n = 2, то маємо 5; при n = 3, то маємо 7

при n = 5, то маємо 11, при n = 6 то маємо 13; при n = 8, то маємо 17 і т.д.

2.3. Завдання прикладного характеру

Завдання 1. За допомогою решета Ератосфенавизначте скільки простих чиселзнаходиться від 1 до 100.

Рішення:

Для цього випишемо всі числа від 1 до 100 навряд. .

Будемо викреслювати числа, які не є простими. Викреслимо 1, так як це не просте число. Перше просте число 2.

Підкреслимо його і викреслимо всі числа кратні 2, тобто числа 4, 6, 8 ... 100 наступне просте число 3. Підкреслимо його і викреслимо числа кратні 3, які залишилися не викресленими, тобто числа 9? 15, 21 ... 99. Потім підкреслимо просте число 5 і викреслимо всі числа кратні 5. Числа 25 ... 95. І так далі, поки не залишиться одне просте число 97.

висновок:Між 1 і 100 знаходиться 25простих чисел, тобто числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. (Додаток 1)

Завдання 2. Щоб отримати список простих чисел, менше 1000 треба «відсіяти» числа, які діляться на 2, 3, 5, 7, 11 ... На якому числі при цьому можна зупинитися?

Рішення:

Використовуючи метод Ератосфена, мною була проведена аналогічна

робота з відсівання складених чисел в межах до 1000.

висновок: щоб отримати прості чисел до 1000 можна зупинитися на простому числі 31 (викреслити числа кратні 31). (Додаток 2)

2.4.Задачі на застосування законів простих чисел

Завдання 3. Як за допомогою двох перевірок показати, що число 19 - просте?

Рішення представлено в додатку 3.

Завдання 4. Як за допомогою трьох перевірок показати, що число 47 - просте?

Рішення представлено в додатку 4.

2.5 Магічні квадрати.

Простих чисел присвячено безліч цікавих математичних задач в застосуванні квадратних матриць - магічних квадратів, у яких підсумовування елементів по будь-якому рядку, будь-якому стовпцю і двом головним діагоналях дає одне і те ж число.

Перший з них була придуманий Генрі Ернестом Дьюдні, відомим англійським фахівцем з головоломок.

Чи існують магічні квадрати, що складаються тільки з простих чисел? Виявляється, так.

Я вивчила магічні квадрати розміром 3х3, 4х4., 6х6.Определіла суму уздовж кожного рядка, кожного стовпчика і кожної головної діагоналі кожного з цих квадратів. Рішення представлено в додатку 5.

вздовж кожного рядка, кожного стовпчика і кожної головної діагоналі. привожу приклади квадратів, з матрицею 3х3, 4х4, 6х6.

висновок:

1.Магіческій квадрат 1 розміром 3х3 має суму 111 (між іншим, теж не просте число)

2. Магічний квадрат 2 розміром 4х4 має суму?

3. Магічний квадрат 3 розміром 6х6 має суму?

3.4. Застосування закону простих чисел в різних областях.

Прості числа є не тільки об'єктом пильного розгляду з боку математиків усього світу, але вже давно і успішно використовуються в складанні різних рядів чисел, що є основою, в тому числі, для шіфрографіі.Знання законів дозволило дати такі запатентовані технічні рішення захисту передачі інформації, які на існуючому математичному базисі вважалися просто неможливими.Прості числа необхідні для створення шифрів. Рано чи пізно будь-який шифр розсекречувати.

Тут вчені звертаються до одного з найважливіших розділів інформатики - до криптографії. Якщо так важко знайти таке просте число, то де і для чого ці числа можна використовувати на практиці? » Найбільш поширеним прикладом використання простих чисел є застосування їх в криптографії (шифрування даних). Найбезпечніші і важко дешіфруемие методи криптографії засновані на застосуванні простих чисел, що мають в складі більше трьох сотень цифр.

Я спробувала проілюструвати проблему, з якою стикається дешифровщик для розшифровки якогось пароля. Припустимо, паролем є один з подільників складеного числа, а дешіфровщіков виступає людина. Візьмемо число з першого десятка, наприклад, 8. Кожен (я сподіваюся) людина здатна в розумі розкласти число 8 на прості множники - 8 = 2 * 2 * 2. Ускладнити завдання: візьмемо число з першої сотні, наприклад, 111. У цьому випадку 111 швидко розкладуть в розумі на множники люди, які знають ознаки подільності числа на 3 (якщо сума цифр числа кратна 3, то дане число ділиться на 3), і дійсно - 111 = 3 * 37. Ускладнюючи завдання, візьмемо число з першої тисячі, наприклад 1207. Людині (без використання машинної обробки) буде потрібно, як мінімум, папір і ручка, для того щоб перепробувати розподіл числа 1207 на «все» попередні цього числа прості числа. І тільки перебравши послідовно розподіл 1207 на всі прості числа від 2 до 17 чоловік, нарешті то, отримає другий цілий дільник даного числа - 71. Однак і 71 необхідно так само перевірити на простоту.

Стає зрозуміло, що зі збільшенням розрядності чисел, наприклад, п'ятизначного числа - 10001, розкладання (в нашому прикладі дешифрування пароля) без машинної обробки займе багато часу. Сучасний етап розвитку комп'ютерної техніки (доступний пересічному користувачеві) дозволяє за лічені секунди розкладати на множники числа, що складаються з шістдесяти цифр.

Задумайтесь, скільки життів має прожити людина, щоб розкласти дане число на прості множники без допомоги машин!

На сьогоднішній день розкласти числа, що складаються з тисячі і більше цифр, за порівнянне з людським життям час, здатні тільки ! Саме з їх допомогою вчені знаходять все нові і нові,, прості числа.

Я дізналася, що знання відкритих законів дозволить створити якісно нові рішення в наступних областях:

Понад захищена операційна система для банків і корпорацій.

Система боротьби з контрафактною продукцією і підробленими грошовими знаками.

Система дистанційного ідентифікації та боротьби з угонами автотранспорту.

Система боротьби з поширенням комп'ютерних вірусів.

Комп'ютери нового покоління на нелінійної системі числення природи.

Математико-біологічне обґрунтування теорії гармонії сприйняття.

Математичний апарат для нано - технологій.

ВИСНОВОК.

В ході роботи над даною темою мені вдалося розширити уявлення про прості числа за наступними напрямками:

вивчила цікаві сторони розвитку теорії простих чисел, познайомилася з новими досягненнями вчених доступні для мого розуміння в цій області і практичному її застосуванні,

сформувала загальне уявлення про способи знаходження простих чисел, освоїла принцип виділення простих чисел з натурального ряду за допомогою методу «Решето Ератосфена» в межах до 100; тисяча,

вивчила застосування теорії простих чисел в задачах,

познайомилася із застосуванням теорії простих чисел в різних областях.

В ході написання роботи мені вдалося освоїти два способи отримання ряду простих чисел:

практичний спосіб - відсіювання (решето Ератосфена),

аналітичний спосіб - робота з формулою (закон простих чисел).

В рамках дослідження:

зробила самостійно перевірку ряду математичних тверджень шляхом підстановки значень, отримавши вірні математичні вирази,

визначила ряд чисел «Двійники» і «Близнюки»,

склала ряд числових виразів, позначених в проблемах Ландау,

перевірила, що квадрати з матрицею 3х3, 4х4., 6х6 магічні,

вирішила два завдання двома способами на застосування закону простих чисел і тверджень.

У процесі роботи над темою я переконалася в тому, що прості числа залишаються істотами, завжди готовими вислизнути від дослідника. Прості числа є «сирий матеріал» з якого формується арифметика, і що існують необмежені запаси цього матеріалу.

Мене зацікавили фахівці в області криптографії, які з недавніх пір користуються відомим попитом в секретних організаціях. Саме вони знаходять все нові і нові великі прості числа для постійного оновлення списку можливих ключів і намагаються виявити всі нові закономірності в розподілі простих чисел. Прості числа і криптографія - це моя подальша тема з вивчення теорії простих чисел.

Вважаю, що роботаможе бути використана на у позаурочній діяльності, на факультативних заняттях учнів 6-7 класів, як додатковий матеріал до уроків математики в 6 класі при підготовці повідомлень по темі. Тема дослідження дуже цікава, актуальна, не має меж вивчення, повинна викликати широкий інтерес в учнів.

бібліографічний список

//. - 1975. - № 5. - С. 5-13.

Н. Карпушина. //. - 2010. - № 5.

Енріке Грасіан - "Прості числа. Довга дорога до нескінченності" серія "Світ математики" том.3 Де Агостіні 148с, 2014

Властивості простих чисел вперше почали вивчати математики Стародавньої Греції. Математики піфагорейської школи (500 - 300 до н.е.) в першу чергу цікавилися містичними і нумерологічних властивостями простих чисел. Вони першими прийшли до ідей про вчинені і дружніх числах.

У досконалого числа сума його власних дільників дорівнює йому самому. Наприклад, власні дільники числа 6: 1, 2 і 3. 1 + 2 + 3 = 6. У числа 28 подільники - це 1, 2, 4, 7 і 14. При цьому, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Числа називаються дружніми, якщо сума власних дільників одного числа дорівнює іншому, і навпаки - наприклад, 220 і 284. Можна сказати, що досконале число є дружнім для самого себе.

На час появи роботи Евкліда «Начала» в 300 році до н.е. вже було доведено кілька важливих фактів щодо простих чисел. У книзі IX «Начал» Евклід довів, що простих чисел нескінченна кількість. Це, до речі, один з перших прикладів використання докази від протилежного. Також він доводить Основну теорему арифметики - кожне ціле число можна представити єдиним чином у вигляді добутку простих чисел.

Також він показав, що якщо число 2 n -1 є простим, то число 2 n-1 * (2 n -1) буде досконалим. Інший математик, Ейлер, в 1747 році зумів показати, що все парні досконалі числа можна записати в такому вигляді. До цього дня невідомо, чи існують непарні досконалі числа.

У році 200 році до н.е. грек Ератосфен придумав алгоритм для пошуку простих чисел під назвою «Решето Ератосфена».

А потім сталася велика перерва в історії дослідження простих чисел, пов'язаний зі Середніми століттями.

Наступні відкриття були зроблені вже на початку 17-го століття математиком Ферма. Він довів гіпотезу Альбера Жирара, що будь-яке просте число виду 4n + 1 можна записати унікальним чином у вигляді суми двох квадратів, і також сформулював теорему про те, що будь-яке число можна представити у вигляді суми чотирьох квадратів.

Він розробив новий метод факторизації великих чисел, і продемонстрував його на числі 2027651281 = 44021? 46061. Також він довів Малу теорему Ферма: якщо p - просте число, то для будь-якого цілого a буде вірно a p = a modulo p.

Це твердження доводить половину того, що було відомо як «китайська гіпотеза», і датується 2000 роками раніше: ціле n є простим тоді і тільки тоді, якщо 2 n -2 ділиться на n. Друга частина гіпотези виявилася помилковою - наприклад, 2 341 - 2 ділиться на 341, хоча число 341 складене: 341 = 31? 11.

Мала теорема Ферма послужила основою безлічі інших результатів в теорії чисел і методів перевірки чисел на приналежність до простих - багато з яких використовуються і до цього дня.

Ферма багато листувався зі своїми сучасниками, особливо з монахом на ім'я Марен Мерсенн. В одному з листів він висловив гіпотезу про те, що числа виду 2 n +1 завжди будуть простими, якщо n є ступенем двійки. Він перевірив це для n = 1, 2, 4, 8 і 16, і був упевнений, що в разі, коли n не є ступенем двійки, число не обов'язково виходило простим. Ці числа називаються числами Ферма, і лише через 100 років Ейлер показав, що наступне число, 2 32 + 1 = 4294967297 ділиться на 641, і отже, не є простим.

Числа виду 2 n - 1 також служили предметом досліджень, оскільки легко показати, що якщо n - складене, то і саме число теж складене. Ці числа називають числами Мерсенна, оскільки він активно їх вивчав.

Але не всі числа виду 2 n - 1, де n - просте, є простими. Наприклад 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Вперше це виявили в 1536 році.

Багато років числа такого виду давали математикам найбільші відомі прості числа. Що число M 19, було доведено Катальді в 1588 році, і протягом 200 років було найбільшим відомим простим числом, поки Ейлер не довів, що M 31 також просте. Цей рекорд протримався ще сто років, а потім Люкас показав, що M 127 - просте (а це вже число з 39 цифр), і після нього дослідження продовжилися вже з появою комп'ютерів.

У 1952 була доведена простота чисел M 521, M 607, M одна тисяча двісті сімдесят дев'ять, M 2203 та M 2281.

До 2005 року знайдено 42 простих чисел Мерсенна. Найбільше з них, M 25964951, складається з 7816230 цифр.

Робота Ейлера справила величезний вплив на теорію чисел, в тому числі і простих. Він розширив Малу теорему Ферма і ввів? -Функцію. Факторізовано 5-е число Ферма 2 32 +1, знайшов 60 пар дружніх чисел, і сформулював (але не зміг довести) квадратичний закон взаємності.

Він першим ввів методи математичного аналізу і розробив аналітичну теорію чисел. Він довів, що не тільки гармонійний ряд? (1 / n), але і ряд виду

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Одержуваний сумою величин, зворотних до простих чисел, також розходиться. Сума n членів гармонійного ряду зростає приблизно як log (n), а другий ряд розходиться повільніше, як log [log (n)]. Це означає, що, наприклад, сума зворотних величин до всіх знайденим на сьогоднішній день простих чисел дасть всього 4, хоча ряд все одно розходиться.

На перший погляд здається, що прості числа розподілені серед цілих досить випадково. Наприклад, серед 100 чисел, що йдуть прямо перед 10000000, зустрічається 9 простих, а серед 100 чисел, що йдуть відразу після цього значення - всього 2. Але на великих відрізках прості числа розподілені досить рівномірно. Лежандр і Гаус займалися питаннями їх розподілу. Гаусс якось розповідав одному, що в будь-які вільні 15 хвилин він завжди підраховує кількість простих в черговий 1000 чисел. До кінця життя він порахував всі прості числа в проміжку до 3 мільйонів. Лежандр і Гаус однаково вирахували, що для великих n щільність простих чисел становить 1 / log (n). Лежандр оцінив кількість простих чисел в проміжку від 1 до n, як

? (N) = n / (log (n) - 1.08366)

А Гаусс - як логарифмический інтеграл

? (N) =? 1 / log (t) dt

З проміжком інтегрування від 2 до n.

Твердження про щільності простих чисел 1 / log (n) відомо як Теорема про розподіл простих чисел. Її намагалися довести протягом всього 19 століття, а прогресу досягли Чебишев і Ріман. Вони зв'язали її з гіпотезою Рімана - по цю пору не доведеною гіпотезою про розподіл нулів дзета-функції Рімана. Щільність простих чисел була одночасно доведена Адамаром і Валле-Пуссена в 1896 році.

В теорії простих чисел є ще безліч невирішених питань, деяким з яких вже багато сотень років:

гіпотеза про прості числа-близнята - про нескінченну кількість пар простих чисел, що відрізняються один від одного на 2
гіпотеза Гольдбаха: будь-парне число, починаючи з 4, можна представити у вигляді суми двох простих чисел
нескінченно чи кількість простих чисел виду n 2 + 1?
чи завжди можна знайти просте число між n 2 and (n + 1) 2? (Факт, що між n і 2n завжди є просте число, було доведено Чебишева)
нескінченно число простих чисел Ферма? чи є взагалі прості числа Ферма після 4-го?
чи існує арифметична прогресія з послідовних простих чисел для будь-якої заданої довжини? наприклад, для довжини 4: 251, 257, 263, 269. Максимальна зі знайдених довжина дорівнює 26.
нескінченно число наборів з трьох послідовних простих чисел в арифметичній прогресії?
n 2 - n + 41 - просте число для 0? n? 40. Нескінченно чи кількість таких простих чисел? Те ж питання для формули n 2 - 79 n + 1601. Ці числа прості для 0? n? 79.
нескінченно чи кількість простих чисел виду n # + 1? (N # - результат перемноження всіх простих чисел, менших n)
нескінченно чи кількість простих чисел виду n # -1?
нескінченно чи кількість простих чисел виду n! + 1?
нескінченно чи кількість простих чисел виду n! - 1?
якщо p - просте, чи завжди 2 p -1 не містить серед множників квадратів простих чисел
чи містить послідовність Фібоначчі нескінченну кількість простих чисел?

Найбільші близнюки серед простих чисел - це 2003663613? 2 195000 ± 1. Вони складаються з 58711 цифр, і були знайдені в 2007 році.

Найбільше факторіальною просте число (виду n! ± 1) - це 147 855! - 1. Воно складається з 142 891 цифр і було знайдено в 2002.

Найбільше прайморіальное просте число (число виду n # ± 1) - це 1098133 # + 1.

Ви можете допомогти і перевести трохи коштів на розвиток сайту

Прості числа - це цілі числа більше одиниці, які не можуть бути представлені як твір двох менших чисел. Таким чином, 6 - це не просте число, тому що воно може бути представлено як твір 2 × 3, а 5 - це просте число, тому що єдиний спосіб представити його як твір двох чисел - це 1 × 5 або 5 × 1. Якщо у вас є кілька монет, але ви не можете розташувати їх все в формі прямокутника, а можете тільки вибудувати їх у пряму лінію, ваше число монет - це просте число.

Нескінченне число простих чисел

Деякі вважають, що прості числа не варті глибокого вивчення, але вони мають фундаментальне значення для математики. Кожне число може бути представлено унікальним способом у вигляді простих чисел, помножених один на одного. Це означає, що прості числа - це «атоми множення», маленькі частинки, з яких може бути побудовано щось велике.

Так як прості числа - це будівельні елементи цілих чисел, які виходять за допомогою множення, багато проблем цілих чисел можуть бути зведені до проблем простих чисел. Подібним чином деякі завдання в хімії можуть бути вирішені за допомогою атомного складу хімічних елементів, залучених в систему. Таким чином, якби існувало кінцеве число простих чисел, можна було б просто перевірити одне за іншим на комп'ютері. Однак виявляється, що існує безліч простих чисел, які на даний момент погано розуміють математики.

Грецький математик Евклід довів, що існує безліч простих чисел. Якщо у вас є певна кількість простих чисел, наприклад p1, ... pn, ви можете розглянути число p1 × ... × pn + 1, яке на одиницю більше, ніж всі прості числа, помножені друг на друга. Це число не може бути твором будь-яких чисел p1, ... pn з вашого списку, але воно точно більше, ніж 1. Так що все прості множники повинні бути простими числами, яких немає у вашому списку. Додаючи нові прості числа в ваш список і повторюючи ті ж дії, ви завжди можете знайти принаймні одне нове просте число. Тому має існувати безліч простих чисел.

Історія вивчень

Ніхто точно не знає, в якому суспільстві стали вперше розглядати прості числа. Їх вивчають так давно, що у вчених немає записів тих часів. Є припущення, що деякі ранні цивілізації мали якесь розуміння простих чисел, але першим реальним доказом цього є єгипетські записи на папірусах, зроблені більше 3500 років тому.

Стародавні греки, швидше за все, були першими, хто вивчав прості числа як предмет наукового інтересу, і вони вважали, що прості числа важливі для чисто абстрактною математики. Теорему Евкліда як і раніше вивчають у школах, незважаючи на те що їй вже більше 2000 років.

Після греків серйозну увагу простих чисел знову приділили в XVII столітті. З тих пір багато відомих математики внесли важливий внесок в наше розуміння простих чисел. П'єр де Ферма зробив безліч відкриттів і відомий завдяки Великої теореми Ферма, 350-річної проблеми, пов'язаної з простими числами і вирішеною Ендрю Уайлсом в 1994 році. Леонард Ейлер довів багато теорем в XVIII столітті, а в XIX столітті великий прорив був зроблений завдяки Карлу Фрідріху Гаусу, Пафнутія Чебишева і Бернхарду Ріманом, особливо щодо розподілу простих чисел. Кульмінацією всього цього стала досі не вирішена гіпотеза Рімана, яку часто називають найважливішою невирішеною завданням всієї математики. Гіпотеза Рімана дозволяє дуже точно передбачити появу простих чисел, а також частково пояснює, чому вони так важко даються математикам.

практичні застосування

У простих чисел існує величезна кількість застосувань як в області математики, так і за її межами. Прості числа в наші дні використовуються практично щодня, хоча найчастіше люди про це не підозрюють. Прості числа представляють таке значення для вчених, оскільки вони є атомами множення. Безліч абстрактних проблем, що стосуються множення, можна було б вирішити, якби люди знали більше про прості числа. Математики часто розбивають одну проблему на кілька маленьких, і прості числа могли б допомогти в цьому, якби розуміли їх краще.

Поза математики основні способи застосування простих чисел пов'язані з комп'ютерами. Комп'ютери зберігають всі дані у вигляді послідовності нулів та одиниць, яка може бути виражена цілим числом. Багато комп'ютерні програми перемножують числа, прив'язані до даних. Це означає, що під самою поверхнею лежать прості числа. Коли людина робить будь-які онлайн-покупки, він користується тим, що є способи множення чисел, які складно розшифрувати хакеру, але легко покупцеві. Це працює за рахунок того, що прості числа не мають особливих характеристик - в іншому випадку зловмисник міг би отримати дані банківської картки.

Пошук нових простих чисел

Один із способів знаходження простих чисел - це комп'ютерний пошук. Шляхом багаторазового перевірки того, чи є число множником 2, 3, 4 і так далі, можна легко визначити, просте воно. Якщо воно не є множником будь-якого меншого числа, воно просте. Насправді це дуже трудомісткий спосіб з'ясування того, чи є число простим. Однак існують більш ефективні шляхи це визначити. Ефективність цих алгоритмів для кожного числа є результатом теоретичного прориву 2002 року.

Простих чисел досить багато, тому якщо взяти велику кількість і додати до нього одиницю, то можна наштовхнутися на просте число. Насправді багато комп'ютерні програми покладаються на те, що прості числа не надто важко знайти. Це означає, що, якщо ви навмання виберете число з 100 знаків, ваш комп'ютер знайде більше просте число за кілька секунд. Оскільки 100-значних простих чисел більше, ніж атомів у Всесвіті, то цілком ймовірно, що ніхто не буде знати напевно, що це число просте.

Як правило, математики не шукають окремих простих чисел на комп'ютері, проте вони дуже зацікавлені в простих числах з особливими властивостями. Є дві відомі проблеми: чи існує нескінченна кількість простих чисел, які на один більше, ніж квадрат (наприклад, це має значення в теорії груп), і чи існує нескінченна кількість пар простих чисел, що відрізняються один від одного на 2.

Таємниці простих чисел

Незважаючи на те, що прості числа вивчаються вже понад три тисячоліття і мають простий опис, про прості числа до сих пір відомо на подив мало. Наприклад, математики знають, що єдиною парою простих чисел, що відрізняються на одиницю, є 2 і 3. Однак невідомо, чи існує нескінченна кількість пар простих чисел, що відрізняються на 2. Передбачається, що існує, але це поки не доведено. Це проблема, яку можна пояснити дитині шкільного віку, проте найбільші математичні уми ламають над нею голову вже більше 100 років.

Багато з найбільш цікавих питань про прості числа як з практичної, так і з теоретичної точки зору полягають в тому, яка кількість простих чисел має ту чи іншу властивість. Відповідь на найпростіше запитання - скільки є простих чисел певного розміру - теоретично можна отримати, вирішивши гіпотезу Рімана. Додатковий стимул довести гіпотезу Рімана - приз розміром в один мільйон доларів, запропонований математичним інститутом Клея, так само як і почесне місце серед найвидатніших математиків всіх часів.

Зараз існують непогані способи припустити, яким буде правильна відповідь на багато з цих питань. На даний момент здогадки математиків проходять всі чисельні експерименти, і є теоретичні підстави, щоб на них покладатися. Однак для чистої математики і роботи комп'ютерних алгоритмів надзвичайно важливо, щоб ці здогадки дійсно були вірними. Математики можуть бути повністю задоволені, тільки маючи незаперечний доказ.

Найсерйознішим викликом для практичного застосування є складність знаходження всіх простих множників числа. Якщо взяти число 15, можна швидко визначити, що 15 = 5 × 3. Але якщо взяти 1000-значний номер, обчислення всіх його простих множників займе більше мільярда років навіть у самого потужного суперкомп'ютера в світі. Інтернет-безпека багато в чому залежить від складності таких обчислень, тому для безпеки комунікації важливо знати, що хтось не може просто взяти і придумати швидкий спосіб знайти прості множники.

сучасні дослідження

Незважаючи на те, що ця тема стара і торкалася багатьох відомих математиків протягом всієї історії, вона як і раніше актуальна. Вчені не знають, чи існує нескінченна кількість пар таких простих чисел, як 3 і 5, що відрізняються на 2. Це відома невирішена проблема. Математик Ітан Чжан зробив великий прорив щодо цієї проблеми. У початку 2013 року вчені не знали, чи існує нескінченна кількість пар простих чисел в межах 1 квінтильйони один від одного або для будь-якого числа, крім 1 квінтильйони, незалежно від його величини. Завдяки теоретичних напрацювань, заснованим на роботі Чжана, математики знають, що існує нескінченна кількість простих чисел, що відрізняються один від одного не більше ніж на 246. Число 246 набагато більше двох, проте воно помітно менше нескінченності.

Замість того щоб шукати прості числа, що знаходяться поруч, можна шукати ті з них, що знаходяться далеко один від одного на числової осі. Помітний теоретичний прорив в цій проблемі був зроблений уперше за більш ніж 75 років на початку 2014 року, коли дослідники з Математичного інституту Оксфорда вирішили одну з проблем Ердеша. Інші два цікавих рішення проблем Ердеша, пов'язаних з простими числами, були зроблені Бобом Хафом і Теренсом Тао, чия робота була заснована на ще одному прориві, зробленому КАІСА Матомакі і Максимом Раджвіллом в 2014 році. Харальд Гельфготт з Девідом Платтом нарешті довели слабку гіпотезу Гольдбаха, довівши до кульмінації сто років різних знахідок. Математики звикли до того, що потрібно чекати десять років до досягнення серйозного результату в області простих чисел, однак на цей раз отримали півдюжини таких результатів за останні три роки.

Прості числа в майбутньому

Зараз неможливо сказати, як прості числа будуть використовуватися в майбутньому. Чистий математика (наприклад, вивчення простих чисел) неодноразово знаходила способи застосування, які могли здатися зовсім неймовірними, коли теорія вперше розроблялася. Знову і знову ідеї, що сприймалися як чудний академічний інтерес, який непридатний реальному світі, виявлялися напрочуд корисними для науки і техніки. Годфрі Харольд Харді, відомий математик початку XX століття, стверджував, що прості числа не мають реального застосування. Сорок років тому був відкритий потенціал простих чисел для комп'ютерної комунікації, і зараз вони життєво необхідні для повсякденного використання інтернету.

Оскільки прості числа лежать в основі проблем, що стосуються цілих чисел, а цілі числа постійно зустрічаються в реальному житті, простим числам знайдеться повсюдне застосування в світі майбутнього. Це особливо актуально, враховуючи, як інтернет проникає в життя, а технології і комп'ютери відіграють велику роль, ніж будь-коли раніше.

Існує думка, що певні аспекти теорії чисел і простих чисел виходять далеко за рамки науки і комп'ютерів. У музиці прості числа пояснюють, чому деякі складні ритмічні малюнки довго повторюються. Це часом використовується в сучасній класичній музиці для досягнення специфічного звукового ефекту. Послідовність Фібоначчі постійно зустрічається в природі, і є гіпотеза про те, що цикади еволюціонували таким чином, щоб перебувати в сплячці протягом простого числа років для отримання еволюційної переваги. Також передбачається, що передача простих чисел по радіохвилях була б найкращим способом для спроби встановлення зв'язку з інопланетними формами життя, оскільки прості числа абсолютно незалежні від будь-якого уявлення про мову, але при цьому досить складні, щоб їх не можна було сплутати з результатом якогось в чистому вигляді фізичного природного процесу.

Факти про числах. Це і прості числа і багато інших. Деякі числа, такі як число Пі і ряд інших ми винесли в окремі матеріали. Так що радимо почитати і їх. Наведемо тут кілька цікавих фактів про числа, Які, напевно, будуть вам цікаві.

Факти про негативні числа

У наш час негативні числа відомі багатьом, але так було далеко не завжди. Вперше негативні числа стали застосовувати в Китаї в III столітті, але дозволено було їх використовувати лише у виняткових випадках, так як їх вважали безглуздям. Дещо пізніше негативні числа стали застосовувати в Індії для позначення боргів.

Так, у праці «Математика» в дев'яти книгах, виданому в 179 р. Н.е. е., за часів династії Хань і прокоментованому в 263 р Лю Хуей, в китайській системі рахункових паличок для негативних чисел застосовувалися чорні палички, а для позитивних - червоні. Також, для позначення негативних чисел, Лю Хуей використовував похилі лічильні палички.

Знак «-», який зараз використовується для позначення негативних чисел вперше був помічений в стародавньому манускрипті Бахшалі в Індії, але серед вчених немає єдиної думки щодо того, коли він був складений, діапазон розбіжностей становить від 200 м до 600 м н. е.

Негативні числа вже були відомі в Індії в 630 р. Н.е. е .. Вони були використані математиком Брахмагупта (598-668 рр).

Вперше в Європі негативні числа почали використовувати приблизно в 275 р. Н.е. е .. Їх ввів в ужиток грецький математик Діофант Олександрійський, але на Заході їх вважали абсурдними аж до появи книги «Ars Magna» ( «Велике мистецтво»), написаної 1545 р італійським математиком Джироламо Кардано (1501-1576).

Факти про прості числа

Числа 2 і 5 є єдиними з ряду простих чисел, які закінчуються на 2 і 5.

Інші факти про числах

Число 18, є єдиним (крім 0) числом, сума цифр якого в 2 рази менше нього самого.

2520 є найменшим числом, яке можна без залишку поділити на все числа починаючи з 1 і закінчуючи 10.

Число «п'ять» на тайському мовою вимовляється як «ха». Тому число складене з трьох п'ятірок - 555, буде вимовляється як сленг-фраза, що позначає людський сміх - "Ха, ха, ха".

Всі ми знаємо, що існую слова паліндроми. Тобто ті, які можна читати зліва направо і справа наліво і значення їх не змінюється. Однак, існують і числа-паліндроми (паліндромони). Вони являють собою дзеркальні числа, яке буде читається і мати однакове значення в обох напрямках, наприклад, 1234321.

Слово Googol (походження бренду Google) позначає число 1 з 100 нулями.

Єдиним числом, яке не можна написати римськими цифрами є "Нуль". Також, в сучасній математиці нуль має деякі особливості свого трактування. Так, в російській математики його не зараховує до ряду натуральних чисел, а зарубіжна наука відносить.

МОУ «Частоозерская середня загальноосвітня школа»

Дослідницька робота по темі:

«Числа правлять світом!»

Роботу виконала:

учениця 6а класу.

Керівник:,

учитель математики.

с. Частоозерье.

I. Вступ. -3стр.

II. Основна частина. -4стр.

· Математика у стародавніх греків. - 4стор.

· Піфагор Самоський. -6стр.

· Піфагор і числа. -8стр.

2. Числа прості і складові. -10стр.

3. Проблема Гольдбаха. -12стр.

4. Ознаки подільності. -13стр.

5. Цікаві властивості натуральних чісел.-15стор.

6. Числові фокуси. -18стр.

III. Висновок. -22стр.

IV. Список літератури. -23стр.

I. Вступ.

актуальність:

Вивчаючи на уроках математики тему «Подільність чисел», вчитель запропонував підготувати повідомлення про історію відкриття простих і складених чисел. При підготовці повідомлення, мене зацікавили слова Піфагора «Числа правлять світом!»

Виникли питання:

· Коли виникла наука про числах?

· Хто вніс вклад в розвиток науки про числа?

· Значення чисел в математиці?

Вирішила детально вивчити і узагальнити матеріал про числах і їх властивості.

Мета дослідження:вивчити прості і складені числа і показати їх роль в математиці.

Об'єкт дослідження:прості і складені числа.

гіпотеза:Якщо, за словами Піфагора «Числа правлять світом,

то яка їхня роль в математиці.

Завдання дослідження:

I. Зібрати і узагальнити всіляку інформацію про простих і складових числах.

II. Показати значення чисел в математиці.

III. Показати цікаві властивості натуральних чисел.

Методи дослідження:

· Теоретичний аналіз літератури.

· Метод систематизації та обробки даних.

II. Основна частина.

1. Історія виникнення науки про числа.

· Математика у стародавніх греків.

І в Єгипті, і в Вавилоні числами користувалися в основному для вирішення практичних завдань.

Положення змінилося, коли математикою зайнялися греки. В їх руках математика з ремесла стала наукою.

Грецькі племена стали селитися на північних і східних берегах Середземного моря близько чотирьох тисяч років тому.

Велика частина греків осіла на балканському півострові - там, де зараз держава Греція. Решта розселилися по островам Середземного моря і по березі Малої Азії.

Греки були відмінними моряками. Їх легкі гостроносі кораблі у всіх напрямках борознили Середземне море. Вони везли посуд і прикраси з Вавилона, бронзова зброя з Єгипту, шкури звірів і хліб з берегів Чорного моря. І звичайно, як і в інших народів, разом з товарами кораблі привозили в Грецію знання. Але греки не просто

вчилися у інших народів. Дуже скоро вони обігнали своїх вчителів.

Грецькі майстри будували дивовижної краси палаци і храми, які потім тисячі років служили зразком для архітекторів усіх країн.

Грецькі скульптори створювали з мармуру чудові статуї. А з грецьких вчених почалася не тільки «справжня» математика, але і дуже багато інших наук, які ми вивчаємо в школі.

А знаєте, чому греки обігнали в математиці всі інші народи? Тому, що вони добре вміли сперечатися.

Чим же суперечки можуть допомогти науці?

У стародавні часи Греція складалася з багатьох маленьких держав. Мало не кожне місто з навколишніми селами був окремою державою. Кожен раз, коли доводилося вирішувати який-небудь важливий державний питання, городяни збиралися на площу, обговорювали його. Сперечалися про те, як зробити краще, а потім голосували. Зрозуміло, що вони були хорошими сперечальниками: на таких зборах доводилося спростовувати супротивників, міркувати, доводити свою правоту. Стародавні греки вважали, що суперечка допомагає знайти саме кращі. Саме правильне рішення. Вони навіть придумували такий вислів: «У суперечці народжується істина».

І в науці греки стали чинити так само. Як на народних зборах. Вони не просто заучували правила, а дошукувались причини: чому правильно робити так, а не інакше. Кожне правило грецькі математики намагалися пояснити, довести, що воно не вірне. Вони сперечалися один з одним. Міркували, намагалися знайти в міркуваннях помилки.

Доведуть одне правило - міркування ведуть до іншого, більш складного, потім - до третього, до четвертого. З правил складалися закони. А з законів - наука математика.

Ледве народившись, грецька математика відразу семимильними кроками пішла вперед. Їй допомагали чудові чоботи скороходи, яких раніше у інших народів не було. Вони називалися «міркування» і «доказ».

· Піфагор Самоський.

Про числах першим почав міркувати грек Піфагор, який народився на острові Самос в VI столітті та нашої ери.

Тому його часто називають Піфагором Самосским. Багато легенд розповідали греки про це мислителя.

Піфагор рано виявив здібності до наук, і батько Мнесарх відвіз його до Сирії, в Тир, щоб там його навчали халдейські мудреці. Вона дізнається про таїнства єгипетських жерців. Захопившись бажанням увійти в їхнє коло і стати присвяченим, Піфагор починає готуватися до подорожі до Єгипту. Рік він проводить в Фінікії, в школі жерців. Потім побуває в Єгипет, в Гелиополис. Але місцеві жерці були непривітні.

проявивши наполегливість і витримавши виключно важкі вступні випробування, Піфагор домагається свого - його приймають в касту.21 рік пробув він в Єгипті, досконало вивчив усі види єгипетського листа, прочитав безліч папірусів. Факти, відомі єгиптянам в математиці, наштовхують його на власні математичні відкриття.

Мудрець говорив: «У світі є при речі, до яких потрібно прагнути. Це, по-перше, прекрасне і славне, по-друге, корисне для життя, по-третє, що доставляє задоволення. Однак насолоду буває двоякого роду: одне, що вгамовує розкошами наше обжерливість, згубно; інше - праведне і необхідне для життя ».

Центральне місце в філософії вихованців і прихильників Піфагора займали числа:

« Де немає числа і заходи - там хаос і химери »,

«Саме мудре - це число»,

«Числа правлять світом».

Тому багато хто вважає Піфагора батьком нумерації - складної, оповитою таємницею науки, що описують в ньому події, яка розкриває минуле і майбутнє, пророкує долі людей.

· Піфагор і числа.

Числа Древніми греками, а разом з ними Пифагором і піфагорійцями, мислилися зримо у вигляді камінчиків, розкладених на піску або на лічильної дошці - абаці.

Числа камінчики розкладалися в вигляді правильних геометричних фігур, ці фігури класифікувалися, так виникли числа, сьогодні іменовані фігурними: лінійні числа (т. Е. Прості числа) - числа, які діляться на одиницю і на саме себе і, отже, представимо у вигляді послідовності точок, збудованих в лінію

https://pandia.ru/text/79/542/images/image006_30.jpg "width =" 312 "height =" 85 src = ">

тілесні числа, що виражаються твором трьох співмножників

https://pandia.ru/text/79/542/images/image008_20.jpg "width =" 446 "height =" 164 src = ">

квадратні числа:

https://pandia.ru/text/79/542/images/image010_15.jpg "width =" 323 "height =" 150 src = ">

і. т.д. саме від фігурних чисел пішов вислів « Звести число в квадрат або куб».

Піфагор не обмежився плоскими фігурами. З точок він став складати піраміди, куби та інші тіла і вивчати пірамідальні, кубічні і інші числа (див. Рис.1). До слова сказати, назвою куб числами теж користуємося і сьогодні.

Але числами, отримують з різних фігур, Піфагор не задовольнився. Адже він проголосив, що числа правлять світом. Тому йому довелося придумувати, як за допомогою чисел зображати такі поняття, як справедливість, досконалість, дружба.

Щоб зобразити досконалість, Піфагор взявся за подільники чисел (при цьому дільник 1 він брав, а саме число не брав). Всі подільники числа він складав, і якщо сума виявлялася менше числа, воно оголошувалося недостатнім, а якщо більше - надмірною. І тільки в разі, коли сума в точності дорівнювала числу, його оголошували досконалим. Схожим чином зображували числа дружби - два числа називали дружніми, якщо кожне з них дорівнювало сумі дільників іншого числа. Наприклад, число 6 (6 = 1 + 2 + 3)-абсолютно, число 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 17) - абсолютно. Наступні вчинені числа - 496, 8128,.

2.Число прості і складові.

Про дружніх або досконалі числа сучасна математика згадує з посмішкою як про дитяче захоплення.

А введені Пифагором поняття простого і складеного чисел є досі предметом серйозних досліджень, за які математики отримують високі наукові нагороди.

З досвіду обчислень люди знали, що кожне число є або простим, або твором кількох простих чисел. Але вони не вміли цього доводити. Піфагор або хтось із його послідовників знайшов доказ цього твердження.

Тепер легко пояснити роль простих чисел в математиці: вони є тими цеглинками, з яких за допомогою множення будують інші числа.

Відкриття закономірностей в ряду чисел - дуже приємна подія для математиків: адже ці закономірності можна використовувати для побудови гіпотез, для перевірки доказів і формул. Одне з займають математиків властивостей простих чисел полягає в тому, що вони відмовляються підкорятися хоч який-небудь закономірності.

Єдиний спосіб визначити, просте чи числа 100 895 598 169, - скористатися досить трудомістким «решетом Ератосфена».

На таблиці представлений один з варіантів цього решета.

У цій таблиці всі прості числа, менші 48, обведені кружками. Знайдені вони так: 1 має єдиний дільник - себе, тому 1 цієї статті не вважається простим числом. 2 - найменше (і єдине парне) просте число. Всі інші парні числа діляться на 2, а значить мають, принаймні три дільника; тому вони не прості і можуть бути викреслені. Наступне невикреслене число - 3; воно має рівно два подільника, тому вона просте. Всі інші числа, кратні трьом (т. Е. Такі, які можна розділити на 3 без залишку), викреслюються. Тепер першою невикреслене число - 5; воно просте, а все його кратні можна викреслити.

Продовжуючи викреслювати кратні, можна відсіяти все прості числа, менше 48.

3. Проблема Гольдбаха.

З простих чисел можна отримати будь-яке число з допомогою множення. А що буде, якщо складати прості числа?

Що жив в Росії в XVIII столітті математик Гольдбах вирішив складати непарні прості числа лише попарно. Він виявив дивовижну річ: кожен раз йому вдавалося уявити парне число у вигляді суми двох простих чисел. (Як це було за часів Гольдбаха, ми вважаємо 1 простим числом).

4 = 1 +3, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5. і т. Д.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image016_5.jpg "width =" 156 "height =" 191 src = ">

Про своє спостереження Гольдбах написав великому математику

XVIII століття Леонарда Ейлера, який був членом Петербурзької Академії наук. Перевіривши ще багато парних чисел, Ейлер переконався, що всі вони є сумами двох простих чисел. Але парних чисел нескінченно багато. Тому обчислення Ейлера давали лише надію на те, що властивістю, яке помітив Гольдбах, мають всі числа. Однак спроби довести, що це завжди буде так, ні до чого не привели.

Двісті років міркували математики над проблемою Гольдбаха. І тільки російському вченому Івану Матвійовичу Виноградову вдалося зробити вирішальний крок. Він встановив, що будь-який досить велике натуральне число є

сумою трьох простих чисел. Але число, починаючи з якого вірне твердження Виноградова, неймовірно велике.

4. Ознаки подільності.

489566: 11 = ?

Щоб дізнатися, яке дане число - просте або складене, не завжди потрібно заглядати в таблицю простих чисел. Часто для цього достатньо скористатися ознаками подільності.

· Ознака подільності на 2.

Якщо запис натурального числа закінчується парної цифрою, то це число парне і ділиться на 2 без залишку.

· Ознака подільності на 3.

Якщо сума цифр числа ділиться на 3, то і число ділиться на 3.

· Ознака подільності на 4.

Натуральне число, що містить не менше трьох цифр, ділиться на 4, якщо ділиться на 4 число, утворене двома останніми цифрами цього числа.

· Ознака подільності на 5.

Якщо запис натурального числа закінчується цифрою 0 або 5, то це число ділиться на 5 без залишку.

· Ознака подільності на 7 (на13).

Натуральне число ділиться на 7 (на 13), якщо алгебраїчна сума чисел, що утворюють межі по три цифри (починаючи з цифри одиниць), взятих зі знаком «+» для непарних граней і зі знаком «мінус» для парних граней, ділилася на, складемо алгебраїчну суму граней, починаючи з останньої межі і чергуючи знаки + і -: + 254 = 679. число 679 ділиться на 7, значить і дане число ділиться на 7.

· Ознака подільності на 8.

Натуральне число, що містить не менше чотирьох цифр, ділиться на 8, якщо ділиться на 8 число, утворене трьома останніми цифрами.

· Ознака подільності на 9.

Якщо сума цифр числа ділиться на 9, то й саме число ділиться на 9.

· Ознака подільності на 10.

Якщо натуральне число закінчується 0, то воно ділиться на 10.

· Ознака подільності 11.

Натуральне число ділиться на 11, якщо алгебраїчна сума його цифр, взятих зі знаком «плюс», якщо цифри знаходяться на непарних місцях (починаючи з цифри одиниць), і взятих зі знаком «мінус», якщо цифри знаходяться на парних місцях, ділиться на, 7 - 1 + 5 = 11, ділиться на 11).

· Ознака подільності на 25.

Натуральне число, що містить не менше трьох цифр, ділиться на 25, якщо ділиться на 25 число, утворене двома останніми цифрами цього числа.

· Ознака подільності на 125.

Натуральне число, що містить не менше чотирьох чисел, ділиться на 125, якщо на 125 ділиться число, утворене трьома останніми цифрами цього числа.

5. Цікаві властивості натуральних чисел.

У натуральних чисел є багато цікавих властивостей, які виявляються при виконанні над ними арифметичних дій. Але помітити ці властивості все ж буває легше, ніж довести їх. Наведемо кілька таких властивостей.

1) .Возьмём навмання якусь натуральне число, наприклад 6, і запишемо все його подільники: 1, 2, 3,6. Для кожного з цих чисел запишемо, скільки у нього подільників. Так як у 1 тільки один дільник (саме це число), у 2 і 3 по два подільника, а у 6 маємо 4 дільника, то отримуємо числа 1, 2, 2, 4. У них є чудова особливість: якщо звести ці числа в куб і скласти відповіді, вийде в точності така ж сума яку ми отримали б, спочатку служив ці числа, а потім звівши суму в квадрат, іншими словами,

https://pandia.ru/text/79/542/images/image019_3.jpg "width =" 554 "height =" 140 src = ">

Підрахунки показують, що і зліва і справа відповідь один і той же, а іменно324.

Яке б число ми не взяли, помічена нами властивість буде виконуватися. Ось тільки довести це досить складно.

2) . Візьмемо будь-чотиризначне число, наприклад 2519, і розставимо його цифри спочатку в порядку убування, а потім в порядку зростання: і З більшого числа віднімемо менше: = 8262. З отриманим числом виконаємо те ж саме: 86 = 6354. І ще один такий же крок: 65 = 3087. Далі, = 8352, = 6174. Ви не набридло вичитати? Зробимо все ж ще один крок: = 6174. Знову вийшло 6174.

Ось тепер ми, як кажуть програмісти, «зациклилися»: скільки б раз ми тепер не вичитали, нічого крім 6174, не отримаємо. Може бути, справа в тому, що так було підібрано вихідне число 2519? виявляється, воно тут ні до чого: яке б чотиризначне число ми не взяли, після не більше ніж семи кроків обов'язково вийде це ж число 6174.

3) . Намалюємо кілька кіл із загальним центром і на внутрішньому колу запишемо будь-які чотири натуральних числа. Для кожної пари сусідніх чисел віднімемо з більшого менший і результат запишемо наступного кола. Виявляється, якщо повторити це досить багато раз, на одній із околиць все числа виявляться рівними нулю, а тому і далі нічого, крім нулів, виходити не буде. На малюнку показано це для випадку, коли на внутрішньому колу написані числа 25, 17, 55, 47.

4) . Візьмемо будь-яке число (хоч тисячезначное), записане в десятковій системі числення. Зведено всі його цифри в квадрат і складемо. З сумою виконаємо те ж саме. Виявляється, після декількох кроків ми отримаємо або число 1, після чого інших чисел не буде, або 4, після чого ми маємо числа 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 і знову отримаємо 4. Значить, циклу не уникнути і тут.

5. Складемо таку нескінченну таблицю. У першому стовпці напишемо числа 4, 7, 10, 13, 16, ... (кожне наступне на 3 більше попереднього). Від числа 4 проведемо вправо рядок, збільшуючи на кожному кроці числа на 3. Від числа 7 поведемо рядок, збільшуючи числа на 5, від числа 10 на 7 і т. Д. Виходить така таблиця:

Якщо взяти будь-яке число з цієї таблиці, помножити його на 2 і до твору додати 1, то завжди вийде складене число. Якщо виконати те ж саме з числом, що не входять в цю таблицю, то отримуємо просте число. Наприклад, візьмемо з таблиці число 45. Число 2 * 45 + 1 = 91 складене, воно дорівнює 7 * 13. А числа 14 в таблиці немає, і число 2 * 14 + 1 = 29 просте.

Цей чудовий спосіб відрізняти прості числа від складових придумав в 1934 році індійський студент Сундар. Спостереження за числами дозволяють відкривати і інші чудові затвердження. Властивості світу чисел воістину невичерпні.

Числові фокуси.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image022_2.jpg "width =" 226 "height =" 71 ">

Адже якщо поруч з тризначним числом ще раз написати це ж число, то початкове число збільшиться на тисячу один (наприклад, 289 289 = 289https: //pandia.ru/text/79/542/images/image024_3.jpg "width =" 304 " height = "74">

А чотиризначні числа повторюють один раз і ділять на 73 137. Розгадка в рівність

https://pandia.ru/text/79/542/images/image026_6.jpg "width =" 615 "height =" 40 src = ">

Зауважимо, що куби чисел 0, 1, 4, 5, 6 і 9 закінчуються тією ж цифрою (наприклад, https://pandia.ru/text/79/542/images/image028_4.jpg "width =" 24 "height = "24 src =">. jpg "width =" 389 "height =" 33 ">

Крім цього, треба запам'ятати наступну таблицю, яка показує, з чого починаються п'яті ступеня наступних чисел:

https://pandia.ru/text/79/542/images/image032_2.jpg "width =" 200 height = 28 "height =" 28 "> Значить, треба приписати до спочатку написаному на дошці п'ятизначний числу попереду цифру 3, а з отриманого числа відняти 3.

Щоб глядачі не розгадали фокуса, можна зменшити першу цифру якогось із чисел на кілька одиниць і на стільки ж одиниць зменшити відповідну цифру в сумі. Наприклад, на малюнку зменшена, на 2 перша цифра в третьому доданку і на стільки ж відповідна цифра в сумі.

Висновок.

Зібравши і узагальнивши матеріал про простих і складових числах, прийшла до висновку:

1. Вчення про числа йде в стародавні часи і має багату історію.

2. Велика роль простих чисел в математиці: вони є тими цеглинками, з яких за допомогою множення будуються всі інші числа.

3. Натуральні числа мають багато цікавих властивостей. Властивості світу чисел воістину невичерпні.

4. Підготовлений мною матеріал можна сміливо використовувати на уроках математики та заняттях математичного гуртка. Цей матеріал допоможе більш глибше підготуватися до різних видів олімпіад.