Перетворення декартових прямокутних координат на площині. Перетворення прямокутної декартової системи координат на площині

Нехай на площині задані дві довільні прямокутні декартові системи координат. Перша визначається початком Про та базисними векторами i j , друга – центром О’та базисними векторами i ’ j ’ .

Поставимо за мету висловити координати x y деякої точки М щодо першої системи координат через x’ і y’ – координати тієї ж точки щодо другої системи.

Зауважимо, що

Позначимо координати точки О відносно першої системи через a і b:

Розкладемо вектори i ’ і j ’ по базису i j :

(*)

Крім того, маємо:
. Введемо сюди розкладання векторів за базисом i ’ j ’ :

звідси

Можна зробити висновок: які б не були дві довільні декартові системи на площині, координати будь-якої точки площини щодо першої системи є лінійними функціями координат тієї ж точки щодо другої системи.

Помножимо скалярно рівняння (*) спочатку на i , Потім на j :

Про позначимо через кут між векторами i і i ’ . Система координат i j може бути поєднана із системою i ’ j ’ шляхом паралельного перенесення та подальшого повороту на кут . Але тут можливий і дугий варіант: кут між базовими векторами i i ’ також , а кут між базисними векторами j ’ j ’ дорівнює  - . Ці системи не можна поєднати паралельним перенесенням та поворотом. Необхідно ще й змінити напрямок осі уна протилежне.

З формули (**) отримуємо у першому випадку:

У другому випадку

Формули перетворення мають вигляд:

Другий випадок ми не розглядатимемо. Умовимося вважати обидві системи правими.

Тобто. висновок: які б не були дві праві системи координат, перша з них може бути поєднана з другою шляхом паралельного перенесення та подальшого повороту навколо початку на деякий кут .

Формули паралельного перенесення:

Формули повороту осей:

Зворотні перетворення:

Перетворення декартових прямокутних координат у просторі.

У просторі, міркуючи аналогічним чином, можна записати:

(***)

І для координат отримати:

(****)

Отже, якими б не були дві довільні системи координат у просторі, координати x y z деякої точки щодо першої системи є лінійними функціями координат x’ y’ z’ цієї ж точки щодо другої системи координат.

Помножуючи кожну з рівностей (***) скалярно на i ’ j ’ k ’ отримуємо:

У ясним геометричний зміст формул перетворення (****). Для цього припустимо, що обидві системи мають загальний початок: a = b = c = 0 .

Введемо на розгляд три кути, що повністю характеризують розташування осей другої системи щодо першої.

Перший кут - утворений віссю х і віссю u, що є перетином площин xOy і x'Oy'. Напрямок кута – найкоротший поворот від осі x до y. Позначимо кут через . Другий кут  – це не переважаючий  кут між осями Oz та Oz'. Нарешті, третій кут  – це кут між віссю u та Ox', що відраховується від осі u у напрямку найкоротшого повороту від Ox' до Oy'. Ці кути називаються кутами Ейлера.

Перетворення першої системи на другу можна подати у вигляді послідовного проведення трьох поворотів: на кут  щодо осі Oz; на кут  щодо осі Ox'; і на кут  щодо осі Oz'.

Числа ij можна виразити через кути Ейлера. Ці формули ми записувати не будемо через громіздкість.

Саме перетворення являє собою суперпозицію паралельного переносу і трьох послідовних поворотів, що проводяться на кути Ейлера.

Всі ці міркування можна провести і для випадку, коли обидві системи ліві або різної орієнтації.

Якщо маємо дві довільні системи, то, взагалі кажучи, можна їх поєднати шляхом паралельного перенесення та одного повороту у просторі навколо деякої осі. Шукати її не будемо.

Тема 5. Лінійні перетворення.

Системою координатназивають спосіб, що дозволяє за допомогою чисел однозначно встановити положення точки щодо деякої геометричної фігури. Прикладами можуть бути система координат на прямий – координатна вісь і прямокутні декартові системи координат відповідно на площині та просторі.

Виконаємо перехід від однієї системи координат xy на площині до іншої системи, тобто. з'ясуємо, як пов'язані між собою декартові координати однієї й тієї точки в цих двох системах.

Розглянемо спочатку паралельне перенесенняпрямокутної декартової системи координат xy, тобто випадок, коли осі та нової системи паралельні відповідним осям x та y старої системи та мають з ними однакові напрямки.

Якщо відомі координати точок M (x; y) і (a; b) у системі xy, то (рис.15) у системі точка М має координати: .

Нехай відрізок ОМ довжини утворює кут з віссю і . Тоді (рис.16) з віссю х відрізок ОМ утворює кут і координати точки M у системі хy рівні , .

Враховуючи, що в системі координати точки М дорівнюють і , отримуємо

При повороті на кут «за годинниковою стрілкою» відповідно отримаємо:

Завдання 0.54. Визначити координати точки М(-3; 7) у новій системі координат x / y / , початок 0 / якої знаходиться у точці (3; -4), а осі паралельні осям старої системи координат і однаково з ними спрямовані.

Рішення. Підставимо відомі координати точок М і О/у формули: x/=x-a, y/=y-b.
Отримаємо: x/=-3-3=-6, y/=7-(-4)=11. Відповідь: М/(-6; 11).

§2. Поняття лінійного перетворення, його матриця.

Якщо кожному елементу х множини Х за деяким правилом f відповідає один і тільки один елемент y множини Y, то кажуть, що задано відображення f множини Х до множини Y, а множини Х називають областю визначеннявідображення f . Якщо, зокрема, елементу х 0 Х відповідає елемент у 0 Y Y, то пишуть у 0 = f (х 0). У цьому випадку елемент у 0 називають чиномелемента х 0 а елемент х 0 - прообразомелемента у 0 . Підмножина Y 0 множини Y, що складається з усіх образів, називають безліччю значеньвідображення f.

Якщо при відображенні f різним елементам множини Х відповідають різні елементи множини Y, відображення f називають оборотним.

Якщо У 0 =У, відображення f називають відображенням множини Х набезліч Y.

Оборотне відображення множини Х на множину Y називають взаємно однозначним.

Приватними випадками поняття відображення множини у множину є поняття числової функціїта поняття геометричне відображення.

Якщо відображення f кожному елементу множини Х зіставляє єдиний елемент цієї множини Х, то таке відображення називають перетворенняммножини Х.

Нехай задано безліч n-вимірних векторів лінійного простору L n .

Перетворення f n-вимірного лінійного простору L n називають лінійнимперетворенням, якщо

для будь-яких векторів з L n та будь-яких дійсних чиселα та β. Інакше висловлюючись, перетворення називається лінійним, якщо лінійна комбінація векторів перетворюється на лінійну комбінацію їх образів з тими жкоефіцієнтами.

Якщо деякому базисі заданий вектор і перетворення f лінійне, то за визначенням , де -образи базисних векторів.

Отже, лінійне перетворення цілком визначено, якщо задані образи базисних векторів лінійного простору, що розглядається:

(12)

Матрицю в якій k-тий стовпець є координатним стовпцем вектора в базисі , називають матрицеюлінійного перетворення f у цьому базисі.

Визначник det L називають визначником перетворення f та Rg L називають рангом лінійного перетворення f.

Якщо матриця лінійного перетворення невироджена, те й саме перетворення невироджене. Воно перетворює взаємно однозначно простір L n себе, тобто. кожен вектор L n є образом його деякого єдиного вектора.

Якщо матриця лінійного перетворення вироджена, те саме перетворення вироджене. Воно перетворює лінійне простір L n деяку його частину.

Теорема.Внаслідок застосування лінійного перетворення f з матрицею L до вектора виходить вектор такий, що .

Числа, записані в дужках, є координатами вектора за базисом:

(13)

За визначенням операції множення матриць систему (13) можна замінити матричним.

рівністю , що і потрібно було довести.

прикладилінійних перетворень.

1. Розтягнення вздовж осі х в до 1 раз, а вздовж осі у в до 2 разів на площині ху визначається матрицею і формули перетворення координат мають вигляд: х / = k 1 x; y/ = k 2 y.

2. Дзеркальне відображення щодо осі у на площині ху визначається матрицею і формули перетворення координат мають вигляд: x / = -x, y / = y.

1) Перехід від однієї декартової прямокутної системи координат на площині до іншої декартової прямокутної системи з тією ж орієнтацією та з тим самим початком координат.

Припустимо, що на площині введено дві декартові прямокутні системи координат хОута із загальним початком координат Про, Що мають однакову орієнтацію (рис. 145) Позначимо одиничні вектори осей Охі Оувідповідно через і, а поодинокі вектори осей і через і. Нарешті, нехай - кут від осі Охдо осі. Нехай хі у– координати довільної точки Мв системі хОу, а і - координати тієї ж точки Мв системі .

Так як кут від осі Охдо вектора дорівнює , то координати вектора

Кут від осі Охдо вектора дорівнює; тому координати вектора рівні.

Формули (3) § 97 набувають вигляду

Матриця переходу від однієї декартової хОупрямокутної системи координат до іншої прямокутної системи з тією ж орієнтацією має вигляд

Матриця називається ортогональною, якщо сума квадратів елементів, розташованих у кожному стовпці, дорівнює 1, а сума творів відповідних елементів різних стовпців дорівнює нулю, тобто. якщо

Таким чином, матриця (2) переходу від однієї прямокутної системи координат до іншої прямокутної системи з тією ж ортогональною орієнтацією. Зазначимо, що визначник цієї матриці дорівнює +1:

Назад, якщо задана ортогональна матриця (3) з визначником, що дорівнює +1, і на площині введена декартова прямокутна система координат хОу, то через співвідношення (4) вектори і одиничні і взаємно перпендикулярні, отже, координати вектора в системі хОурівні і , де - кут від вектора до вектора , бо вектор одиничний і отримаємо з вектора поворотом на , або , або .

Друга можливість виключається, оскільки якби ми мали , то нам дано, що .

Значить, і матриця Амає вигляд

тобто. є матрицею переходу від однієї прямокутної системи координат хОудо іншої прямокутної системи, що має ту ж орієнтацію, причому кут.

2. Перехід від однієї декартової прямокутної системи координат на площині до іншої декартової прямокутної системи з протилежною орієнтацією та з тим самим початком координат.

Нехай на площині введено дві декартові прямокутні системи координат хОута із загальним початок координат Проале мають протилежну орієнтацію позначимо кут від осі Охдо осі через (орієнтацію площини задамо системою хОу).

Так як кут від осі Охдо вектора дорівнює , то координати вектора дорівнюють:

Тепер кут від вектора до вектора дорівнює (рис. 146), тому кут від осі Охдо вектора дорівнює (за теоремою Шаля для кутів) і тому координати вектора рівні:

І формули (3) § 97 набувають вигляду

Матриця переходу

ортогональна, та її визначник дорівнює –1 . (7)

Назад, будь-яка ортогональна матриця з визначником, рівним -1, задає перетворення однієї прямокутної системи координат на площині в іншу прямокутну систему з тим самим початком, але протилежної орієнтації. Отже, якщо дві декартові прямокутні системи координат хОуі мають загальний початок, то

де х, у– координати будь-якої точки в системі хОу; і - координати тієї ж точки в системі

ортогональна матриця.

Назад, якщо

довільна ортогональна матриця, то співвідношеннями

виражається перетворення декартової прямокутної системи координат на декартову прямокутну систему з тим самим початком координат; - координати у системі хОуодиничного вектора, що дає позитивний напрямок осі; - координати у системі хОуодиничного вектора, що дає позитивний напрямок осі.

системи координат хОуі мають однакову орієнтацію, а разі - протилежну.

3. Загальне перетворення однієї декартової прямокутної системи координат на площині іншу прямокутну систему.

На підставі пунктів 1) та 2) цього параграфу, а також на підставі § 96 укладаємо, що якщо на площині введені прямокутні системи координат хОуі , то координати хі удовільної точки Мплощині у системі хОуз координатами і тієї ж точки Мв системі пов'язані співвідношеннями - координати початку системи координат у системі хОу.

Зауважимо, що старі та нові координати х, уі вектора при загальному перетворенні декартової прямокутної системи координат пов'язані співвідношеннями

у випадку, якщо системи хОуі мають однакову орієнтацію та співвідношеннями

у разі, якщо ці системи мають протилежну орієнтацію, або ж у вигляді

ортогональна матриця. Перетворення (10) та (11) називаються ортогональними.

Глава I. Вектори на площині та у просторі

§ 13. Перехід від однієї прямокутної декартової системи координат до іншої

Цю тему ми пропонуємо Вам розглянути у двох варіантах.

1) За підручником І.І.Привалов "Аналітична геометрія" (підручник для вищих технічних навчальних закладів 1966)

І.І.Привалов "Аналітична геометрія"

§ 1. Завдання перетворення координат.

Положення точки на площині визначається двома координатами щодо деякої системи координат. Координати точки зміняться, якщо ми виберемо іншу систему координат.

Завдання перетворення координат полягає в тому, щоб, знаючи координати точки в одній системі координат, знайти її координати в іншій системі.

Це завдання буде вирішена, якщо ми встановимо формули, що зв'язують координати довільної точки по двох системах, причому коефіцієнти цих формул увійдуть постійні величини, що визначають взаємне положення систем.

Нехай дані дві декартові системи координат хОуі XO 1 Y(Рис. 68).

Положення нової системи XO 1 Yщодо старої системи хОубуде визначено, якщо відомі координати а і b нового початку O 1за старою системою та кут α між осями Охі Про 1 Х. Позначимо через хі укоординати довільної точки М щодо старої системи, через X та Y-координати тієї ж точки щодо нової системи. Наше завдання полягає в тому, щоб старі координати хі увиразити через нові X і Y. В отримані формули перетворення повинні, очевидно, входити постійні a, b і α .

Вирішення цієї спільної задачі ми отримаємо з розгляду двох окремих випадків.

1. Змінюється початок координат, напрями осей залишаються незмінними ( α = 0).

2. Змінюються напрями осей, початок координат залишається незмінним ( а = b = 0).

§ 2. Перенесення початку координат.

Нехай дані дві системи декартових координат з різними початками Oі O 1та однаковими напрямками осей (рис. 69).

Позначимо через а і b координати нового початку Про 1у старій системі та через х, уі X, Y-координати довільної точки М відповідно у старій та новій системах. Проектуючи точку М на осі Про 1 Хі Ох, а також точку Про 1на вісь Ох, отримаємо на осі Охтри точки О, Аі Р. Величини відрізків ОА, АРі ВРпов'язані наступним співвідношенням:

| ОА| + | АР | = | ВР |. (1)

Помітивши, що | ОА| = а , | ВР | = х , | АР | = | О 1 Р 1 | = Х, перепишемо рівність (1) у вигляді:

а + X = x або x = X + а . (2)

Аналогічно, проектуючи М і Про 1на вісь ординат, отримаємо:

y = Y + b (3)

Отже, стара координата дорівнює новій плюс координата нового початку за старою системою.

З формул (2) та (3) нові координати можна виразити через старі:

Х = х - а , (2")

Y = y - b . (3")

§ 3. Поворот осей координат.

Нехай дані дві декартові системи координат з однаковим початком Прота різними напрямками осей (рис. 70).

Нехай α є кут між осями Охі ОХ. Позначимо через х, у і X, Yкоординати довільної точки М відповідно у старій та новій системах:

х = | ВР | , у = | РM | ,

X= | ОР 1 |, Y= | Р 1 M |.

Розглянемо ламану лінію ОР 1 MPі візьмемо її проекцію на вісь Ох. Помічаючи, що проекція ламаної лінії дорівнює проекції відрізка, що замикає (гл. I, § 8) маємо:

ОР 1 MP = | ВР |. (4)

З іншого боку, проекція ламаної лінії дорівнює сумі проекцій її ланок (гл. I, § 8); отже, рівність (4) запишеться так:

пр ОР 1+ ін Р 1 M+ пp MP= | ВР | (4")

Оскільки проекція спрямованого відрізка дорівнює його величині, помноженій на косинус кута між віссю проекцій і віссю, де лежить відрізок (гл. I, § 8), то

пр ОР 1 = X cos α

пр Р 1 M = Y cos (90° + α ) = - Y sin α ,

пp MP= 0.

Звідси рівність (4") нам дає:

x = X cos α - Y sin α . (5)

Аналогічно, проектуючи ту ж ламану на вісь Оу, отримаємо вираз для у. Насправді, маємо:

пр ОР 1+ ін Р 1 M+ пp MP= пp ВР = 0.

Помітивши, що

пр ОР 1 = X cos ( α - 90 °) = X sin α ,

пр Р 1 M = Y cos α ,

пp MP = - y ,

будемо мати:

X sin α + Y cos α - y = 0,

y = X sin α + Y cos α . (6)

З формул (5) та (6) ми отримаємо нові координати Xі Yвираженими через старі х і у , якщо розв'яжемо рівняння (5) та (6) щодо Xі Y.

Зауваження.Формули (5) та (6) можуть бути отримані інакше.

З рис. 71 маємо:

х = ВР = ОМ cos ( α + φ ) = ОМ cos α cos φ - ОМ sin α sin φ ,

у = РМ = ОМ sin ( α + φ ) = ОМ sin α cos φ + ОМ cos α sin φ .

Так як (гл. I, § 11) OM cos φ = X, ОМ sin φ =Y, то

x = X cos α - Y sin α , (5)

y = X sin α + Y cos α . (6)

§ 4. Загальний випадок.

Нехай дано дві декартові системи координат з різними початками та різними напрямками осей (рис. 72).

Позначимо через а і b координати нового початку Про, за старою системою, через α -кут повороту координатних осей і, нарешті, через х, у і X, Y- координати довільної точки М відповідно до старої та нової систем.

Щоб висловити х і у через Xі Y, введемо допоміжну систему координат x 1 O 1 y 1 , початок якої помістимо в новому початку Про 1, а напрями осей візьмемо збігаються з напрямками старих осей. Нехай x 1 та y 1 позначають координати точки М щодо цієї допоміжної системи. Переходячи від старої системи координат до допоміжної, маємо (§ 2):

х = х 1 + а , у = у 1 + b .

х 1 = X cos α - Y sin α , y 1 = X sin α + Y cos α .

Замінюючи х 1 та y 1 у попередніх формулах їх виразами з останніх формул, знайдемо остаточно:

x = X cos α - Y sin α + a

y = X sin α + Y cos α + b (I)

Формули (I) містять як окремий випадокформули §§ 2 і 3. Так, при α = 0 формули (I) звертаються до

x = X + а , y = Y + b ,

а при а = b = 0 маємо:

x = X cos α - Y sin α , y = X sin α + Y cos α .

З формул (I) ми отримаємо нові координати Xі Yвираженими через старі х і у , якщо рівняння (I) дозволимо щодо Xі Y.

Відзначимо дуже важливу властивість формул (I): вони лінійні щодо Xі Y, Т. е. виду:

x = AX+BY+C, y = A 1 X+B 1 Y + C 1 .

Легко перевірити, що нові координати Xі Yвисловляться через старі х і у теж формулами першого ступеня щодо х і у.

Г.Н.Яковлєв "Геометрія"

§ 13. Перехід від однієї прямокутної декартової системи координат до іншої

Вибір прямокутної декартової системи координат встановлює взаємно однозначну відповідність між точками площини і впорядкованими парами дійсних чисел. Це означає, що кожній точці площини відповідає єдина пара чисел і кожній упорядкованій парі дійсних чисел відповідає єдина точка.

Вибір тієї чи іншої системи координат нічим не обмежений і визначається у кожному конкретному випадку лише міркуваннями зручності. Часто одну й ту саму множину доводиться розглядати в різних координатних системах. Одна й та сама точка у різних системах має, очевидно, різні координати. Безліч точок (зокрема, коло, парабола, пряма) у різних системах координат задається різними рівняннями.

З'ясуємо, як перетворюються координати точок площини під час переходу від однієї координатної системи до іншої.

Нехай на площині задані дві прямокутні системи координат: i, j та О", i", j" (Рис. 41).

Першу систему з початком у точці Про та базовими векторами i і j умовимося називати старою, другу - з початком у точці О" та базисними векторами i" і j" - Нової.

Положення нової системи щодо старої вважатимемо відомим: нехай точка О" в старій системі має координати ( a;b ), a вектор i" утворює з вектором i кут α . Кут α відраховуємо у напрямку, протилежному руху годинникової стрілки.

Розглянемо довільну точку М. Позначимо її координати у старій системі через ( х;у ), у новій - через ( х "; у" ). Наше завдання – встановити залежність між старими та новими координатами точки М.

З'єднаємо попарно точки О і О, О і М, О і М. За правилом трикутника отримуємо

OM > = OO" > + O"M > . (1)

Розкладемо вектори OM> і OO"> за базовими векторами i і j , а вектор O"M> за базовими векторами i" і j" :

OM > = x i+ y j , OO" > = a i+ b j , O"M > = x" i"+ y" j "

Тепер рівність (1) можна записати так:

x i+ y j = (a i+ b j ) + (x" i"+ y" j "). (2)

Нові базисні вектори i" і j" розкладаються за старими базисними векторами i і j наступним чином:

i" = cos α i + sin α j ,

j" = cos ( π / 2 + α ) i + sin ( π / 2 + α ) j = - sin α i + cos α j .

Підставивши знайдені вирази для i" і j" у формулу (2), отримаємо векторну рівність

x i+ y j = a i+ b j + х"(cos α i + sin α j ) + у"(- sin α i + cos α j )

рівносильне двом числовим рівностям:

х = а + х" cos α - у" sin α , у = b+ х" sin α + у" cos α

Формули (3) дають вирази для старих координат. хі уточки через її нові координати х"і у". Для того щоб знайти вирази для нових координат через старі, достатньо вирішити систему рівняння (3) щодо невідомих х"і у".

Отже, координати точок при перенесенні початку координат в точку ( а; b ) та повороті осей на кут α перетворюються за формулами (3).

Якщо змінюється лише початок координат, а напрями осей залишаються колишніми, то вважаючи у формулах (3) α = 0, отримуємо

Формули (5) називають формулами повороту.

Завдання 1.Нехай координати нового початку у старій системі (2; 3), а координати точки А у старій системі (4; -1). Знайти координати точки А в новій системі, якщо напрями осей залишаються незмінними.

За формулами (4) маємо

Відповідь. A (2; -4)

Завдання 2.Нехай координати точки Р у старій системі (-2; 1), а в новій системі, напрями осей якої ті самі, координати цієї точки (5; 3). Знайти координати нового початку у старій системі.

А За формулами (4) отримуємо

- 2= а + 5 1 = b + 3

звідки а = - 7, b = - 2.

Відповідь. (-7; -2).

Завдання 3.Координати точки А у новій системі (4; 2). Знайти координати цієї точки у старій системі, якщо початок координат залишився колишнім, а осі координат старої системи повернені на кут α = 45 °.

За формулами (5) знаходимо

Завдання 4.Координати точки A у старій системі (2 √3 ; - √3 ). Знайти координати цієї точки у новій системі, якщо початок координат старої системи перенесено в точку (-1;-2), а осі повернені на кут α = 30 °.

За формулами (3) маємо

Вирішивши цю систему рівнянь щодо х"і у", знайдемо: х" = 4, у" = -2.

Відповідь. A (4; -2).

Завдання 5.Дано рівняння прямої у = 2х - 6. Знайти рівняння тієї ж прямої у новій системі координат, яка отримана зі старої системи поворотом осей на кут α = 45 °.

Формули повороту в даному випадку мають вигляд

Замінивши в рівнянні прямий у = 2х - 6 старі змінні х і у новими, отримаємо рівняння

√ 2 / 2 (x"+y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,

яке після спрощень набуває вигляду y" = x" / 3 - 2√2