§ 4. Властивості степеня з натуральним показником

Розглянемо властивості степеня з натуральним показником. Вираз а 3 а 2 є твором двох ступенів з підставами. Застосувавши визначення ступеня, цей твір можна переписати так:

а 3 а 2 \u003d (ааа) ∙ (аа) \u003d ааааа \u003d а 5.

Отже, а 3 а 2 \u003d а 5, тобто a 5 \u003d а 2 + 3. В той же неважко перевірити, що х 5 х 4 х 2 \u003d х 5 + 4 + 2 \u003d х 11. Тому твір ступенів з підставами одно ступеня з тим же підставою і показником, що дорівнює сумі показників множників. Це властивість виконується для кожного твору ступенів з підставами.

Доведення.

Рівність аm аn \u003d а m + n називають основною властивістю ступеня. Вона поширюється на твір трьох і більше ступенів. наприклад:

а m а n а k \u003d a m + n + k.

З основного властивості ступеня випливає правило множення ступенів з підставами:

Наприклад, 3 7 ∙ 3 5 \u003d 3 7 + 5 \u003d 3 12; 7 3 ∙ 7 \u003d 7 3 ∙ 7 1 \u003d 7 3 +1 \u003d 7 4, a 7 a 2 а 3 \u003d a 7 + 2 + 3 \u003d a 12.

Оскільки а 3 а 2 \u003d а 5, то за визначенням частки а 5: а 3 \u003d а 2, т. Е. А 2 \u003d а 5-3. В той же неважко переконатися, що х 15: х 4 \u003d х 11. Тому частка ступенів з підставами одно ступеня з тим же підставою і показником, що дорівнює різниці показників діленого і дільника. Це властивість виконується для кожної частіше ступенів з однаковими, відмінними від нуля, основами за умови, що показник ступеня діленого більше показник ступеня дільника.

Доведення. Так а m - n ∙ а n \u003d а m - n + n \u003d а m, т. Е. А m - n а n \u003d а m, то за визначенням частки маємо а m: а n \u003d а m - n.

З доведеного властивості випливає правило ділення ступенів.

Наприклад, 3 18: 3 5 \u003d 3 18 - 5 \u003d 3 13; m 9: m \u003d m 9: m 1 \u003d m 9 -1 \u003d m 8.

Вираз (а 7) 3 - ступінь, основа якої є ступенем. Цей вислів можна представити у вигляді ступеня з основою а:

(А 7) 3 \u003d а 7 ∙ а 7 ∙ а 7 \u003d а 7 + 7 + 7 \u003d а 7 ∙ 3 \u003d а 21.

В той же спосіб можна переконатися, що ((х 7) 3) 2 \u003d х 42. Тобто ступінь при підвищенні в ступінь дорівнює ступеню з тим же підставою і показником, який дорівнює добутку показників даних ступенів.

Доведення.

З доведеного властивості випливає правило піднесення ступеня в ступінь.

Наприклад, (4 5) 4 \u003d 4 5 ∙ 4 \u003d 4 20; (А 8) 11 \u003d а 8 ∙ 11 \u003d а 88; ((Г 3) 2) 6 \u003d (p 3 ∙ 2) 5 \u003d (p 6) 5 \u003d p 6 ∙ 5 \u003d p 30.

Вираз (аb) 3 з ступенем твору множників а й b. Цей вислів можна представити у вигляді добутку ступенів а й b:

(Ab) 3 \u003d аb ∙ ab ∙ ab \u003d (ааа) ∙ (bbb) \u003d a 2 b 3.

Отже, (аb) 3 \u003d а 3 b 3.

Таке ж властивість при підвищенні в ступінь має будь-який твір.

Доведення.

Це властивість мірою поширюється на ступінь твори трьох і більше множників. наприклад,

(Mpk) n \u003d m n p n k n; (Abcd) n \u003d а n b n c n d n тощо.

Маємо правило підйому твори в ступінь.

наприклад,

(7 ab) 2 \u003d 7 2 а 2 b 2 \u003d 49 а 2 b 2; (-2хy) 3 \u003d (-2) 3 х 3 y 3 \u003d -8 х 3 в 3.

Ліву та праву частини розглянутих тотожностей можна міняти місцями:

Розглянемо, як спростити вирази, що містять ступеня, і обчислити їх значення.

Спростити (а 2) 3 ∙ (а 4 а) 6.

Р о з в 'я з а н н я.

(А 2) 3 ∙ (а 4 а) 6 \u003d а 6 ∙ (а 5) 6 \u003d а 6 а 30 \u003d а 36.

обчислити:

1) 0,7 13: 0,7 11 ;

2) 3 5 ∙ 9 2: 27 2 ;

3) 2 7 ∙ 0,58.

Р о з в 'я з а н н я.

1) 0,7 13: 0,7 11 = 0,7 2 = 0,49.

2) Уявімо 9 2 27 2 у вигляді ступеня з основою 3, тобто 92 \u003d (3 2) 2, 27 2 \u003d (3 3) 2.

Отже, маємо:

3 5 ∙ 9 2: 27 2 = 3 5 ∙ (3 2) 2: (3 3) 2 = 5 ∙ 3 4: 3 6 = 3 9: 3 6 = 3 3 = 27.

3) Оскільки 0,5 8 \u003d 0,5 7 ∙ 0,5, маємо:

2 7 ∙ 0,5 8 = 2 7 ∙ 0,5 7 ∙ 0,5 = (2 ∙ 0,5) 7 ∙ 0,5 = 1 7 ∙ 0,5 = 1 ∙ 0,5 = 0,5.

Сформулюйте основну властивість ступеня. Сформулюйте правила множення ступенів, розподіл ступенів, зведення ступеня в ступінь і зведення твори в ступінь.

95. (Усно) Які з рівностей є вірними:

1) а 6 ∙ а 2 \u003d а 12;

2) а 7 а 3 \u003d а 10;

3) b 10: b 5 \u003d b 2;

4) b 8: b 2 \u003d b 6

5) (а 7) 3 \u003d a 21;

6) (а 4) 5 \u003d а 9?

96. (Усно)

1) m 7 m 4;

97.

1) a 4 а 9;

2) c 3 з 10;

3) в 5 y;

4) 2 8 ∙ 2 23 .

98. Уявіть твір у вигляді ступеня:

1) m 3 m 2;

4) a 5 а 2.

99. (Усно) Уявіть у вигляді ступеня:

3) b 9: b;

100. Запишіть частку у вигляді ступеня:

2) х 10: х 5;

101. Подайте частку у вигляді ступеня:

2) х 12: х 3;

4) t 12: t 11.

102. (Усно) Запишіть у вигляді ступеня:

103. Уявіть у вигляді ступеня:

104. Уявіть у вигляді ступеня:

1) (m 3) 4;

105. Запишіть вираз x 12 у вигляді добутку двох ступенів, один з яких дорівнює:

1) х 3; 2) х 6; 3) х 9; 4) х 11.

106. Запишіть ступінь у вигляді добутку двох ступенів з підставами:

1) m 7; 2) з 12; 3) 5 17; 4) г 8.

107. Уявіть твір у вигляді ступеня:

1) (-7) 3 ∙ (-7) 4 ∙ (-7);

2) aa 5 a 11;

3) bbbb 9;

4) (х - у) 3 (х - в) 12;

5) 14 7 ∙ 14 5 ∙ 14 9 ;

108. Запишіть у вигляді ступеня вираження:

1) 12 3 ∙ 12 9 ∙ 12;

3) (а + b) 3 (а + b) 5;

109. Обчисліть значення виразу, використовуючи властивості ступенів і таблицю ступенів з підставами 2 і 3 (див. Вправу 71 сек. 20).

1) 2 3 ∙ 2 4 ;

3) 3 ∙ 3 3 ∙ 3 4 ;

110. Виконайте зведення в ступінь:

2) (аb с) 7;

4) (2x) 4;

6) (- 0,3 а) 2;

7) (4аb) 3;

111. Запишіть ступінь у вигляді твору ступенів або числа і ступенів:

1) (аb) 5;

3) (-5аx) 3;

5) (-0,1m) 3;

6) (-0,07 mx) 2.

112. Знайдіть значення виразу:

2) 0,3 8: 0,3 5 ;

4) ;

113. Обчисліть:

114. Знайдіть значення виразу:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

115. Обчисліть:

1) 5 4 ∙ 5 12: 5 13 ;

116. Спростіть вираз, використовуючи правила множення і ділення ступенів:

1) а 7 ∙ а 9: а 3;

2) b 9: b 5: b 3;

3) m 12: m 7 ∙ m;

4) р 10 р 9 ∙ г 3.

117. Запишіть вираз у вигляді ступеня:

1) (a 3) 4 ∙ а 8;

2) ((а 7) 2) 3;

3) (b 3) 2: b 4;

4) (а 4) 5 ∙ (а 7) 2.

118. Уявіть вираз у вигляді ступеня:

1) (b 3) 4 ∙ b 7;

2) ((х 4) 5) 6;

3) (з 3) 8: 10;

4) (m 3) 6 ∙ (m 2) 7.

119. Запишіть у вигляді ступеня з основою mn:

1) m 9 n 9;

2) m 7 n 7;

3) m 2 n 2;

4) m 2015 n 2015.

120. Уявіть у вигляді ступеня з основою ab:

1) а 5 b 5;

2) а 3 b 3;

3) а 18 b 18;

4) а 2016 b 2016.

121. Запишіть твір у вигляді ступеня:

1) а 4 b 4;

2) 49a 2 x 2;

3) 0,001a 3 b 3;

4) - 8р 3;

5) -32а 5 b 5;

6) -а 7 b 7 з 7;

8) p 3 q 3.

122. Знайдіть таке значення х, при якому рівність є правильною:

1) 3 5 ∙ 3 2 \u003d 3 5 + x;

2) 2 7 ∙ 2 8 \u003d 2 1 + х;

3) 4 х ∙ 4 +5 \u003d 4 8;

4) 9 8: 9 х \u003d 9 5.

123. Замініть зірочку ступенем з підставою а так, щоб рівність стало тотожністю:

1) а 2 ∙ * \u003d а 7; 2) 8 ∙ * \u003d а 9; 3) а 4 ∙ * ∙ а 7 \u003d а 19.

124. Замініть зірочку ступенем з підставою b (b ≠ 0) так, щоб рівність стало тотожністю:

1) b 7: * \u003d b 3;

2) *: b 5 \u003d b 9;

3) b 9: * ∙ b 3 \u003d b 7;

4) *: b 9 ∙ b 4 \u003d b 10.

125. Знайдіть таке значення х, при якому вірна рівність:

1) 1,8 9: 1,8 \u003d 1,8 9 - х;

2) 19 х: 19 +7 \u003d 19 9;

3) 4 12: 4 х \u003d 4 7.

126. Подайте вираз:

1) 8 7, (16 3) 5 у вигляді ступеня з основою 2;

2) 25 3, 625 7 в вигляді ступеня з основою 5.

127. Подайте вираз.

основна ціль

Ознайомити учнів з властивостями ступенів з натуральними показниками і навчити виконувати дії зі ступенями.

Тема "Ступінь і її властивості"включає три питання:

Визначення ступеня з натуральним показником.
Множення і ділення ступенів.
Піднесення до степеня твори і ступеня.

Контрольні питання

Сформулюйте визначення ступеня з натуральним показником, більшим 1. Наведіть приклад.
Сформулюйте визначення ступеня з показником 1. Наведіть приклад.
Який порядок виконання дій при обчисленні значення виразу, що містить ступеня?
Сформулюйте основну властивість ступеня. Наведіть приклад.
Сформулюйте правило множення ступенів з підставами. Наведіть приклад.
Сформулюйте правило ділення ступенів з однаковими підставами. Наведіть приклад.
Сформулюйте правило піднесення до степеня твори. Наведіть приклад. Доведіть тотожність (ab) n \u003d a n b n.
Сформулюйте правило зведення ступеня в ступінь. Наведіть приклад. Доведіть тотожність (а m) n \u003d а m n.

Визначення ступеня.

ступенем числа a з натуральним показником n, Великим 1, називається твір n множників, кожний з яких дорівнює а. ступенем числа а з показником 1 називається саме число а.

Ступінь з підставою а і показником n записується так: а n . читається " а у ступені n "; "N- я ступінь числа а ”.

За визначенням ступеня:

а 4 \u003d а а а а

. . . . . . . . . . . .

Знаходження значення ступеня називають зведенням до степеня .

1. Приклади зведення в ступінь:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Знайти значення виразів:

а) 3 10 3 \u003d 3 10 10 10 \u003d 3 1000 \u003d 3000

б) -2 4 + (-3) 2 \u003d 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Варіант 1

а) 0,3 0,3 0,3

в) b b b b b b b

г) (-х) (-х) (-х) (-х)

д) (ab) (ab) (ab)

2. Уявіть у вигляді квадрата числа:

3. Уявіть у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 4 + (-2) 3

г) -4 3 + (-3) 2

д) 100 - 5 2 4

Множення ступенів.

Для будь-якого числа а і довільних чисел m і n виконується:

a m a n \u003d a m + n.

Доказ:

правило : При множенні ступенів з підставами підстави залишають колишнім, а показники ступенів складають.

a m a n a k \u003d a m + n a k \u003d a (m + n) + k \u003d a m + n + k

а) х 5 х 4 \u003d х 5 + 4 \u003d х 9

б) y y 6 \u003d y 1 y 6 \u003d y 1 + 6 \u003d y 7

в) b 2 b 5 b 4 \u003d b 2 + 5 + 4 \u003d b 11

г) 3 4 9 \u003d 3 4 3 2 \u003d 3 6

д) 0,01 0,1 3 \u003d 0,1 2 0,1 3 \u003d 0,1 5

а) 2 3 2 \u003d 2 4 \u003d 16

б) 3 2 3 5 \u003d 3 7 \u003d 2187

Варіант 1

1. Уявити у вигляді ступеня:

а) х 3 х 4 е) х 2 х 3 х 4

б) а 6 а 2 ж) 3. 3 9

в) у 4 у з) 7 4 49

г) а а 8 і) 16 2 7

д) 2. 3 2 4 к) 0,3 3 0,09

2. Уявити у вигляді ступеня і знайти значення по таблиці:

а) 2 2 2 3 в) 8 2 5

б) 3. 4 3 2 г) 27 243

Розподіл ступенів.

Для будь-якого числа а 0 і довільних натуральних чисел m і n, таких, що m\u003e n виконується:

a m: a n \u003d a m - n

Доказ:

a m - n a n \u003d a (m - n) + n \u003d a m - n + n \u003d a m

з визначення приватного:

a m: a n \u003d a m - n.

правило: При розподілі ступенів з підставами підставу залишають колишнім, а з показника ступеня діленого віднімають показник ступеня дільника.

визначення: Ступінь числа а, чи не рівного нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці:

тому а n: a n \u003d 1 при а0.

а) х 4: х 2 \u003d х 4 - 2 \u003d х 2

б) у 8: у 3 \u003d у 8 - 3 \u003d у 5

в) а 7: а \u003d а 7: а 1 \u003d а 7 - 1 \u003d а 6

г) з 5: з 0 \u003d з 5: 1 \u003d з 5

а) 5 7: 5 5 \u003d 5 2 \u003d 25

б) 10 20:10 17 \u003d 10 3 \u003d 1000

в)

г)

д)

Варіант 1

1. Уявіть у вигляді ступеня приватне:

2. Знайдіть значення виразів:

Піднесення до степеня твори.

Для будь-яких а і b і довільного натурального числа n:

(Ab) n \u003d a n b n

Доказ:

За визначенням ступеня

(Ab) n \u003d

Згрупувавши окремо множники а й множники b, отримаємо:

Доведене властивість ступеня твори поширюється на ступінь твори трьох і більше множників.

наприклад:

(A b c) n \u003d a n b n c n;

(A b c d) n \u003d a n b n c n d n.

правило: При зведенні в ступінь твори зводять до цього степеня кожен множник і результат перемножують.

1. Звести в ступінь:

а) (a b) 4 \u003d a 4 b 4

б) (2 х у) 3 \u003d 2 3 х 3 у 3 \u003d 8 х 3 у 3

в) (3 а) 4 \u003d 3 4 а 4 \u003d 81 а 4

г) (-5 у) 3 \u003d (-5) 3 у 3 \u003d -125 у 3

д) (-0,2 х у) 2 \u003d (-0,2) 2 х 2 у 2 \u003d 0,04 х 2 у 2

е) (-3 a b c) 4 \u003d (-3) 4 a 4 b 4 c 4 \u003d 81 a 4 b 4 c 4

2. Знайти значення виразу:

а) (2 10) 4 \u003d 2 4 10 4 \u003d 16 1000 \u003d 16000

б) (3 5 20) 2 \u003d 3 2 100 2 \u003d 9 10000 \u003d 90000

в) 2 4 5 4 \u003d (2 5) 4 \u003d 10 4 \u003d 10000

г) 0,25 11 4 11 \u003d (0,25 4) 11 \u003d 1 11 \u003d 1

д)

Варіант 1

1. Звести в ступінь:

б) (2 а с) 4

д) (-0,1 х у) 3

2. Знайти значення виразу:

б) (5 7 20) 2

Піднесення до степеня ступеня.

Для будь-якого числа а і довільних натуральних чисел m і n:

(А m) n \u003d а m n

Доказ:

За визначенням ступеня

(А m) n \u003d

правило: При зведенні ступеня в ступінь підставу залишають тим же, а показники перемножують.

1. Звести в ступінь:

(А 3) 2 \u003d а 6 (х 5) 4 \u003d х 20

(У 5) 2 \u003d у 10 (b 3) 3 \u003d b 9

2. Спростіть вирази:

а) а 3 (а 2) 5 \u003d а 3 а 10 \u003d а 13

б) (b 3) 2 b 7 \u003d b 6 b 7 \u003d b 13

в) (х 3) 2 (х 2) 4 \u003d х 6 х 8 \u003d х 14

г) (у у 7) 3 \u003d (у 8) 3 \u003d у 24

а)

б)

Варіант 1

1. Звести в ступінь:

а) (а 4) 2 б) (х 4) 5

в) (у 3) 2 г) (b 4) 4

2. Спростіть вирази:

а) а 4 (а 3) 2

б) (b 4) 3 b 5+

в) (х 2) 4 (х 4) 3

г) (у у 9) 2

3. Знайдіть значення виразів:

додаток

Визначення ступеня.

Варіант 2

1ю Запишіть твір у вигляді ступеня:

а) 0,4 0,4 \u200b\u200b0,4

в) а а а а а а а а

г) (-у) (-у) (-у) (-у)

д) (bс) (bс) (bс)

2. Уявіть у вигляді квадрата числа:

3. Уявіть у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 3 + (-2) 4

г) -6 2 + (-3) 2

д) 4. 5 2 - 100

варіант 3

1. Запишіть твір у вигляді ступеня:

а) 0,5 0,5 0,5

в) з з з з з з з з з

г) (-х) (-х) (-х) (-х)

д) (ab) (ab) (ab)

2. Уявіть у вигляді квадрата числа: 100; 0,49; .

3. Уявіть у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 5 + (-3) 2

г) -5 3 + (-4) 2

д) 5 4 2 - 100

варіант 4

1. Запишіть твір у вигляді ступеня:

а) 0,7 0,7 0,7

в) х х х х х х

г) (-а) (-а) (-а)

д) (bс) (bс) (bс) (bc)

2. Уявіть у вигляді квадрата числа:

3. Уявіть у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 4 + (-3) 3

г) -3 4 + (-5) 2

д) 100 - 3 2 5

Множення ступенів.

Варіант 2

1. Уявити у вигляді ступеня:

а) х 4 x 5 е) х 3 х 4 х 5

б) а 7 а 3 ж) 2 3 4

в) у 5 у з) 4. 3 16

г) а а 7 і) 4 2 5

д) 2 2 2 5 к) 0,2 3 0,04

2. Уявити у вигляді ступеня і знайти значення по таблиці:

а) 3. 2 3 3 в) 16 2 3

б) 2. 4 2 5 г) 9 81

варіант 3

1. Уявити у вигляді ступеня:

а) а 3 а 5 е) у 2 у 4 у 6

б) х 4 х 7 ж) 3. 5 9

в) b 6 b з) 5 3 25

г) у у 8 і) 49 7 4

д) 2. 3 2 6 к) 0,3 4 0,27

2. Уявити у вигляді ступеня і знайти значення по таблиці:

а) 3 3 3 4 ст) 27 3 4

б) 2 4 2 6 г) 16 64

варіант 4

1. Уявити у вигляді ступеня:

а) а 6 а 2 е) х 4 х х 6

б) х 7 х 8 ж) 3 4 27

в) у 6 у з) 4. 3 16

г) х х 10 і) 36 6 3

д) 2 4 2 5 к) 0,2 2 0,008

2. Уявити у вигляді ступеня і знайти значення по таблиці:

а) 2. 6 Перша 2 3 в) 64 2 4

б) 3 5 3 2 г) 81 27

Розподіл ступенів.

Варіант 2

1. Уявіть у вигляді ступеня приватне:

2. Знайдіть значення виразів:

Вирази, перетворення виразів

Статечні вираження (вирази зі ступенями) і їх перетворення

У цій статті ми поговоримо про перетворення виразів зі ступенями. Спочатку ми зупинимося на перетвореннях, які виконуються з виразами будь-яких видів, у тому числі і з статечними виразами, таких як розкриття дужок, зведення подібних доданків. А далі розберемо перетворення, властиві саме виразами зі ступенями: робота з підставою і показником ступеня, використання властивостей ступенів і т.д.

Навігація по сторінці.

Що таке статечні вираження?

Термін «статечні вираження» практично не зустрічається шкільних підручниках математики, але він досить часто фігурує в збірниках завдань, особливо призначених для підготовки до ЄДІ і ОГЕ, наприклад,. Після аналізу завдань, в яких потрібно виконати будь-які дії зі статечними виразами, стає зрозуміло, що під статечними виразами розуміють вирази, що містять в своїх записах ступеня. Тому, для себе можна прийняти таке визначення:

Визначення.

статечні вираження - це вирази, що містять ступеня.

Наведемо приклади статечних виразів. Причому будемо їх представляти згідно з тим, як відбувається розвиток поглядів на від ступеня з натуральним показником до ступеня з дійсним показником.

Як відомо, спочатку відбувається знайомство зі ступенем числа з натуральним показником, на цьому етапі з'являються перші найпростіші статечні висловлювання на кшталт 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (-0,1) 4, 3 · a 2 -a + a 2, x 3-1, (a 2) 3 і т.п.

Трохи пізніше вивчається ступінь числа з цілим показником, що призводить до появи статечних виразів з цілими негативними ступенями, на зразок таких: 3 -2, , A -2 + 2 · b -3 + c 2.

У старших класах знову повертаються до ступенями. Там вводиться ступінь з раціональним показником, що спричиняє появу відповідних статечних виразів: , , і т.п. Нарешті, розглядаються ступеня з ірраціональними показниками і містять їх вираження:,.

Перерахованими статечними виразами справа не обмежується: далі в показник ступеня проникає змінна, і виникають, наприклад, такі вирази 2 x 2 +1 або . А після знайомства з, починають зустрічатися вирази зі ступенями і логарифмами, наприклад, x 2 · lgx -5 · x lgx.

Отже, ми розібралися з питанням, що представляють собою статечні вираження. Далі будемо вчитися перетворювати їх.

Основні види перетворень статечних виразів

З статечними виразами можна виконувати будь-які з основних тотожних перетворень виразів. Наприклад, можна розкривати дужки, замінювати числові вирази їх значеннями, приводити подібні доданки і т.д. Природно, при цьому варто треба дотримуватися прийнятого порядку виконання дій. Наведемо приклади.

Приклад.

Розрахуйте значення статечного вираження 2 3 · (4 2 -12).

Рішення.

Згідно з порядком виконання дій спочатку виконуємо дії в дужках. Там, по-перше, замінюємо ступінь 4 2 її значенням 16 (при необхідності дивіться), і по-друге, обчислюємо різницю 16-12 \u003d 4. маємо 2 3 · (4 2 -12) \u003d 2 3 · (16-12) \u003d 2 3 · 4.

В отриманому виразі замінюємо ступінь 2 3 її значенням 8, після чого обчислюємо твір 8 · 4 \u003d 32. Це і є шукане значення.

Отже, 2 3 · (4 2 -12) \u003d 2 3 · (16-12) \u003d 2 3 · 4 \u003d 8 · 4 \u003d 32.

відповідь:

2 3 · (4 2 -12) \u003d 32.

Приклад.

Спростити вирази зі ступенями 3 · a 4 · b -7 -1 + 2 · a 4 · b -7.

Рішення.

Очевидно, що цей вислів містить подібні доданки 3 · a 4 · b -7 і 2 · a 4 · b -7, і ми можемо привести їх:.

відповідь:

3 · a 4 · b -7 -1 + 2 · a 4 · b -7 \u003d 5 · a 4 · b -7 -1.

Приклад.

Уявіть вираз зі ступенями у вигляді твору.

Рішення.

Впоратися з поставленим завданням дозволяє подання числа 9 у вигляді ступеня 3 2 і подальше використання формули скороченого множення різницю квадратів:

відповідь:

Також існує ряд тотожних перетворень, притаманних саме статечним виразами. Далі ми їх і розберемо.

Робота з основою і показником ступеня

Зустрічаються ступеня, в підставі і / або показнику яких знаходяться не просто числа або змінні, а деякі вирази. Як приклад наведемо записи (2 + 0,3 · 7) 5-3,7 і (a · (a + 1) -a 2) 2 · (x + 1).

При роботі з подібними виразами можна як вираз в підставі ступеня, так і вираження в показнику замінити тотожне рівним виразом на ОДЗ його змінних. Іншими словами, ми можемо по відомим нам правилам окремо перетворювати підставу ступеня, і окремо - показник. Зрозуміло, що в результаті цього перетворення вийде вираз, тотожно рівний вихідному.

Такі перетворення дозволяють спрощувати вирази зі ступенями або досягати інших потрібних нам цілей. Наприклад, у згаданому вище статечному вираженні (2 + 0,3 · 7) 5-3,7 можна виконати дії з числами в підставі і показнику, що дозволить перейти до ступеня 4,1 1,3. А після розкриття дужок і приведення подібних доданків в підставі ступеня (a · (a + 1) -a 2) 2 · (x + 1) ми отримаємо статечне вираз більш простого виду a 2 · (x + 1).

Використання властивостей ступенів

Один з головних інструментів перетворення виразів зі ступенями - це рівності, що відображають. Нагадаємо основні з них. Для будь-яких позитивних чисел a і b і довільних дійсних чисел r і s справедливі такі властивості ступенів:

a r · a s \u003d a r + s;
a r: a s \u003d a r-s;
(A · b) r \u003d a r · b r;
(A: b) r \u003d a r: b r;
(A r) s \u003d a r · s.

Зауважимо, що при натуральних, цілих, а також позитивні показники ступеня обмеження на числа a і b можуть бути не настільки суворими. Наприклад, для натуральних чисел m і n рівність a m · a n \u003d a m + n вірно не тільки для позитивних a, але і для негативних, і для a \u003d 0.

У школі основна увага при перетворенні статечних виразів зосереджено саме на вмінні вибрати відповідне властивість і правильно його застосувати. При цьому підстави ступенів зазвичай позитивні, що дозволяє використовувати властивості ступенів без обмежень. Це ж стосується і перетворення виразів, що містять в підставах ступенів змінні - область допустимих значень змінних зазвичай така, що на ній підстави приймають лише позитивні значення, що дозволяє вільно використовувати властивості ступенів. Взагалі, потрібно постійно шукати відповіді на запитання, а чи можна в даному випадку застосовувати будь-який властивість ступенів, адже неакуратне використання властивостей може призводити до звуження ОДЗ і інших неприємностей. Детально і на прикладах ці моменти розібрані в статті перетворення виразів з використанням властивостей ступенів. Тут же ми обмежимося розглядом кількох простих прикладів.

Приклад.

Уявіть вираз a 2,5 · (a 2) -3: a -5,5 у вигляді ступеня з основою a.

Рішення.

Спочатку другий множник (a 2) -3 перетворимо по властивості зведення ступеня в ступінь: (A 2) -3 \u003d a 2 · (-3) \u003d a -6. Початкове статечне вираз при цьому прийме вид a 2,5 · a -6: a -5,5. Очевидно, залишається скористатися властивостями множення і ділення ступенів з однаковим підставою, маємо
a 2,5 · a -6: a -5,5 \u003d
a 2,5-6: a -5,5 \u003d a -3,5: a -5,5 \u003d
a -3,5 - (- 5,5) \u003d a 2.

відповідь:

a 2,5 · (a 2) -3: a -5,5 \u003d a 2.

Властивості ступенів при перетворенні статечних виразів використовуються як зліва направо, так і справа наліво.

Приклад.

Знайти значення статечного вираження.

Рішення.

Рівність (a · b) r \u003d a r · b r, застосоване справа наліво, дозволяє від вихідного вираження перейти до твору виду і далі. А при множенні ступенів з підставами показники складаються: .

Можна було виконувати перетворення вихідного вираження і інакше:

відповідь:

Приклад.

Дано статечне вираз a 1,5 -a 0,5 -6, введіть нову змінну t \u003d a 0,5.

Рішення.

Ступінь a 1,5 можна представити як a 0,5 · 3 і далі на основі характеристики ступеня в ступеня (a r) s \u003d a r · s, застосованого справа наліво, перетворити її до виду (a 0,5) 3. Таким чином, a 1,5 -a 0,5 -6 \u003d (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Тепер легко ввести нову змінну t \u003d a 0,5, отримуємо t 3 -t-6.

відповідь:

t 3 -t-6.

Перетворення дробів, що містять ступеня

Статечні вираження можуть містити дроби зі ступенями або являти собою такі дроби. До таких дробям в повній мірі застосовні будь-які з основних перетворень дробів, які притаманні дробям будь-якого виду. Тобто, дробу, які містять ступеня, можна скорочувати, приводити до нового знаменника, працювати окремо з їх числителем і окремо зі знаменником і т.д. Для ілюстрації сказаних слів розглянемо рішення кількох прикладів.

Приклад.

Спростити статечне вираз .

Рішення.

Дане статечне вираз являє собою дріб. Попрацюємо з її чисельником і знаменником. У чисельнику розкриємо дужки і спростимо отримане після цього вираз, використовуючи властивості ступенів, а в знаменнику наведемо подібні доданки:

І ще змінимо знак знаменника, помістивши мінус перед дробом: .

відповідь:

Приведення містять ступеня дробів до нового знаменника проводиться аналогічно приведення до нового знаменника раціональних дробів. При цьому також знаходиться додатковий множник і виконується множення на нього чисельника і знаменника дробу. Виконуючи цю дію, варто пам'ятати, що приведення до нового знаменника може призводити до звуження ОДЗ. Щоб цього не відбувалося, потрібно, щоб додатковий множник не звертався в нуль ні при яких значеннях змінних з ОДЗ змінних для вихідного вираження.

Приклад.

Наведіть дроби до нового знаменника: а) до знаменника a, б) до знаменника.

Рішення.

а) У цьому випадку досить просто збагнути, який додатковий множник допомагає досягти потрібного результату. Це множник a 0,3, так як a 0,7 · a 0,3 \u003d a 0,7 + 0,3 \u003d a. Зауважимо, що на області допустимих значень змінної a (це є безліч всіх позитивних дійсних чисел) ступінь a 0,3 не звертається до нуль, тому, ми маємо право виконати множення чисельника і знаменника заданої дробу на цей додатковий множник:

б) Придивившись уважніше до знаменника, можна виявити, що

і множення цього виразу на дасть суму кубів і, тобто,. А це і є новий знаменник, до якого нам потрібно привести вихідну дріб.

Так ми знайшли додатковий множник. На області допустимих значень змінних x і y вираження не звертається в нуль, тому, ми можемо помножити на нього чисельник і знаменник дробу:

відповідь:

а) , Б) .

У скороченні дробів, що містять ступеня, також немає нічого нового: чисельник і знаменник представляються у вигляді певної кількості множників, і скорочуються однакові множники чисельника і знаменника.

Приклад.

Скоротіть дріб: а) , Б).

Рішення.

а) По-перше, чисельник і знаменник можна скоротити на чисел 30 і 45, що дорівнює 15. Також, очевидно, можна виконати скорочення на x 0,5 +1 і на . Ось що ми маємо:

б) У цьому випадку однакових множників в чисельнику і знаменнику відразу не видно. Щоб отримати їх, доведеться виконати попередні перетворення. В даному випадку вони полягають в розкладанні знаменника на множники за формулою різниці квадратів:

відповідь:

а)

б) .

Зведення дробів до нового знаменника і скорочення дробів в основному використовується для виконання дій з дробами. Дії виконуються за відомими правилами. При додаванні (відніманні) дробів, вони приводяться до спільного знаменника, після чого складаються (віднімаються) числители, а знаменник залишається колишнім. В результаті виходить дріб, чисельник якого є твір числителей, а знаменник - добуток знаменників. Розподіл на дріб є множення на дріб, зворотний їй.

Приклад.

виконайте дії .

Рішення.

Спочатку виконуємо віднімання дробів, що знаходяться в дужках. Для цього наводимо їх до спільного знаменника, який є , Після чого віднімаємо числители:

Тепер множимо дробу:

Очевидно, можливе скорочення на ступінь x 1/2, після якого маємо .

Ще можна спростити статечне вираз в знаменнику, скориставшись формулою різницю квадратів: .

відповідь:

Приклад.

Спростіть статечне вираз .

Рішення.

Очевидно, цю дріб можна скоротити на (x 2,7 +1) 2, це дає дріб . Зрозуміло, що треба ще щось зробити зі ступенями ікси. Для цього перетворимо отриману дріб в твір. Це дає нам можливість скористатися властивістю ділення ступенів з однаковими підставами: . І на закінчення процесу переходимо від останнього твору до дробу.

відповідь:

І ще додамо, що можна і в багатьох випадках бажано множники з негативними показниками ступеня переносити з чисельника в знаменник або з знаменника в чисельник, змінюючи знак показника. Такі перетворення часто спрощують подальші дії. Наприклад, статечне вираз можна замінити на.

Перетворення виразів з коренями і ступенями

Часто в виразах, в яких потрібно провести деякі перетворення, разом зі ступенями з дробовими показниками присутні і коріння. Щоб перетворити подібне вираз до потрібного вигляду, в більшості випадків досить перейти тільки до коріння або тільки до ступенями. Але оскільки працювати зі ступенями зручніше, зазвичай переходять від коренів до ступенями. Однак, здійснювати такий перехід доцільно тоді, коли ОДЗ змінних для вихідного вираження дозволяє замінити коріння ступенями без необхідності звертатися до модуля або розбивати ОДЗ на кілька проміжків (це ми детально розібрали в статті перехід від коренів до ступенями і назад Після знайомства зі ступенем з раціональним показником вводиться ступінь з ірраціональним показником, що дозволяє говорити і про ступінь з довільним дійсним показником. На цьому етапі в школі починає вивчатися показова функція, Яка аналітично задається ступенем, в основі якої знаходиться число, а в показнику - змінна. Так ми стикаємося зі статечними виразами, що містять числа в підставі ступеня, а в показнику - вираження зі змінними, і природно виникає необхідність виконання перетворень таких виразів.

Слід сказати, що перетворення виразів зазначеного виду зазвичай доводиться виконувати при вирішенні показових рівнянь і показових нерівностей, І ці перетворення досить прості. У переважній кількості випадків вони базуються на властивостях ступеня і націлені здебільшого на те, щоб в подальшому ввести нову змінну. Продемонструвати їх нам дозволить рівняння 5 2 × x + 1 -3 · 5 x · 7 x -14 · 7 2 × x-1 \u003d 0.

По-перше, ступеня, в показниках яких знаходиться сума деякої змінної (або виразу зі змінними) і числа, замінюються творами. Це відноситься до першого і останнього складовою виразу з лівої частини:
5 2 × x · 5 1 -3 · 5 x · 7 x -14 · 7 2 × x · 7 -1 \u003d 0,
5 · 5 2 × x -3 · 5 x · 7 x -2 · 7 2 × x \u003d 0.

Далі виконується розподіл обох частин рівності на вираз 7 2 × x, яке на ОПЗ змінної x для вихідного рівняння приймає тільки позитивні значення (це стандартний прийом рішення рівнянь такого виду, мова зараз не про нього, так що зосередьте увагу на наступних перетвореннях виразів зі ступенями ):

Тепер скорочуються дроби зі ступенями, що дає .

Нарешті, ставлення ступенів з однаковими показниками замінюється ступенями відносин, що призводить до рівняння , Яке рівносильне . Виконані перетворення дозволяють ввести нову змінну, що зводить рішення вихідного показового рівняння до вирішення квадратного рівняння