Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму, розташовану нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Федеральне агентство з освіти

Державний освітній заклад вищої професійної освіти
Вятський державний гуманітарний університет

Математичний факультет

Кафедра математичного аналізу та методики викладання математики

Випускна кваліфікаційна робота

Особливості формування математичнихпонять у 5-6 класах

Виконав:

студентка V курсу математичного факультету

Бельтюкова Анастасія Сергіївна

Науковий керівник:

кандидат педагогічних наук, доцент, зав. кафедрою математичного аналізу та МПМ

М.В Крутіхіна

Рецензент:

кандидат педагогічних наук, доцент кафедри математичного аналізу та МПМ І .У Ситникова

Допущена до захисту у державній атестаційній комісії

«___» __________2005 р. Зав. кафедрою М.В. Крутихіна

• Вступ 3
• Глава 1 Основи методики вивчення математичних понять 5
• 5
• 8
• 9
• 10
• 11
• 13
• Глава 2 Психолого-педагогічні особливості навчання математики у 5-6 класах 15
• 15
• 18
• 22
• 28
• Розділ 3 Досвідчене викладання 36
• Висновок 44
• бібліографічний список 45

Вступ

Поняття одна із головних складових у змісті будь-якого навчального предмета, зокрема - і математики.

Одне з перших математичних понять, з яким дитина зустрічається в школі, - поняття про число. Якщо це поняття нічого очікувати засвоєно, в учнів виникнуть серйозні проблеми за подальшого вивчення математики.

З початку зустріч із поняттями відбувається в учнів щодо різних математичних дисциплін. Так, починаючи вивчати геометрію, учні відразу ж таки зустрічаються з поняттями: точка, лінія, кут, а далі - з цілою системою понять, пов'язаних з видами геометричних об'єктів.

Завдання вчителя – забезпечити повноцінне засвоєння понять. Однак у шкільній практиці це завдання вирішується негаразд успішно, як цього вимагають мети загальноосвітньої школи.

«Головний недолік шкільного засвоєння понять - формалізм», - вважає психолог Н.Ф.Тализина. Суть формалізму у тому, що учні, правильно відтворюючи визначення поняття, тобто, усвідомлюючи його зміст, не вміють користуватися ним під час вирішення завдань застосування цього поняття. Отже, формування понять - це важлива, акт у альна проблема.

Об'єкт дослідження: процес формування математичних понять у 5-6 класах.

Ціл ь роботи: розробити методичні рекомендації вивчення математичних понять у 5-6 класах.

Завдання роботи:

1. Вивчити математичну, методичну, педагогічну літературу на цю тему.

2. Виявити основні способи визначення понять у підручниках 5-6 класів.

3. Визначити особливості формування математичних понять у 5-6 класах.

Гіпотеза дослідження : Якщо в процесі формування математичних понять у 5-6 класах врахувати такі особливості:

· Поняття здебільшого визначаються за допомогою конструювання, і часто формування правильного уявлення про поняття у учнів досягається за допомогою пояснювальних описів;

· Вводяться поняття конкретно-індуктивним шляхом;

· Протягом усього процесу формування поняття велика увага приділяється наочності, цей процес буде ефективнішим.

Методи дослідження:

· Вивчення методичної та психологічної літератури за темою;

· Порівняння різних підручників з математики;

· Досвідчене викладання.

Глава 1
Основи методики вивчення математичних понять

1.1 Математичні поняття, їх зміст та обсяг, класифікація понять

Поняття - форма мислення про цілісну сукупність суттєвих та несуттєвих властивостей об'єкта.

Математичні поняття мають свої особливості: вони часто виникають із потреби науки і не мають аналогів у реальному світі; вони мають великий рівень абстракції. З огляду на це бажано показати учням виникнення досліджуваного поняття (чи з потреби практики, чи з потреби науки).

Кожне поняття характеризується обсягом та змістом. Зміст - безліч суттєвих ознак поняття. Об `єм - безліч об'єктів, яких застосовне дане поняття. Розглянемо зв'язок між обсягом та змістом поняття. Якщо зміст відповідає дійсності і включає суперечливих ознак, то обсяг - це порожня безліч, що важливо показати учням під час запровадження поняття. Зміст цілком визначає обсяг і навпаки. Отже, зміна одного тягне за собою зміну іншого: якщо зміст збільшується, то обсяг зменшується.

Зміст поняття ототожнюється з визначенням, а обсяг розкривається через класифікацію. Класифікація - розподіл множини на підмножини, які задовольняють наступним вимогам:

o повинно проводиться за однією ознакою;

o класи повинні бути такими, що не перетинаються;

o об'єднання всіх класів має давати все безліч;

o класифікація має бути безперервною (класами мають бути найближчі видові поняття стосовно поняття, яке підлягає класифікації).

Вирізняють такі види класифікації:

1. За видозміненою ознакою. Об'єкти, що підлягають класифікації, можуть мати кілька ознак, тому можна класифікувати по-різному.

приклад. Поняття "трикутник".

2. Дихотомічний. Розподіл обсягу поняття на два видові поняття, одне з яких має дану ознаку, а інше немає.

Приклад .

2

Виділимо цілі навчання класифікації:

1) розвиток логічного мислення;

2) вивчаючи видові відмінності, ми становимо ясніше уявлення про родове поняття.

Обидва види класифікації використовуються у школі. Як правило, спочатку дихотомічний, а потім за видозміненою ознакою.

1.2 Визначення математичних понять, первинні поняття, що пояснюють опис

Визначити об'єкт - вибрати з його суттєвих властивостей такі й стільки, щоб кожна з них була необхідною, а всі разом достатніми для відхилення цього об'єкта від інших. Результат цієї дії фіксується у визначенні.

Визначенням вважається таке формулювання, яке зводить нове поняття до вже відомих понять цієї області. Така інформація не може продовжуватися нескінченно, тому наука має первинні поняття які визначаються не явно, а побічно (через аксіоми). Список первинних понять неоднозначний, порівняно з наукою, у шкільному курсі первинних понять набагато більший. Основний прийом для роз'яснення, запровадження первинних понять - складання родоводів.

У шкільному курсі який завжди доцільно давати поняттям суворе визначення. Іноді досить сформувати правильне уявлення. Це досягається за допомогою пояс няючих описів - Доступних для учнів пропозицій, які викликають у них один наочний образ, і допомагають засвоїти поняття. Тут не ставиться вимога зведення нового поняття раніше вивченим. Засвоєння має бути доведено такого рівня, щоб у подальшому, не згадуючи описи, учень міг дізнатися об'єкт, що належить до цього понятию.

1.3 Способи визначення понять

за логічною структурою визначення діляться на кон'юнктивні (істотні ознаки з'єднуються союзом "і") та диз'юнктивні (істотні ознаки з'єднуються союзом "або").

Виділення суттєвих ознак, зафіксованих у визначенні, та зафіксованих зв'язків між ними називається логіко-математичним аналізом визначення .

Існує підрозділ визначень на дескриптивні та конструктивні.

Дескриптивні - описові чи непрямі визначення, мають, зазвичай, вид: «об'єкт називається…, якщо він має…». З таких визначень не випливає факт існування даного об'єкта, тому всі подібні поняття вимагають доказів існування. Серед них виділяють такі способи визначення понять:

· Через найближчий рідта видова відмінність. (Ромбом називається паралелограм, дві суміжні сторони якого рівні. Родовим виступає поняття паралелограма, з якого поняття, що визначається, виділяється за допомогою однієї видової відзнаки).

· Визначення-угоди- визначення, у яких властивості понять виражаються з допомогою рівностей чи нерівностей.

· Аксіоматичні визначення.У науці математики використовуються часто, а шкільному курсі рідко й у інтуїтивно ясних понять. (Площа фігури - величина, чисельне значення якої задовольняє умовам: S(F)0; F 1 =F 2 S(F 1)=S(F 2); F=F 1 F 2 , F 1 F 2 = S(F )=S(F 1)+S(F 2); S(E)=1.)

· Визначення через абстракції.Вдаються до такого визначення поняття, коли інше важко чи неможливо здійснити (наприклад, натуральне число).

· Визначення-заперечення- визначення, у якому фіксується не наявність якості, яке відсутність (наприклад, паралельні прямі).

Конструктивні (або генетичні) - це визначення, в яких вказується спосіб отримання нового об'єкта (наприклад, сферою називається поверхня, отримана обертанням півкола навколо свого діаметра). Серед таких визначень іноді виділяють рекурсивні- визначення, що вказують певний базисний елемент будь-якого класу і правило, яким можна отримати нові об'єкти того ж класу (наприклад, визначення прогресії).

1.4 Методичні вимоги до визначення поняття

· Вимога науковості.

· Вимога доступності.

· Вимога сумірності (обсяг визначається поняття повинен дорівнювати обсягу визначального поняття). Порушення цієї вимоги веде або дуже широкому, або дуже вузькому визначенню.

· Визначення не повинно містити хибного кола.

· Визначення мають бути ясними, точними, не містити метафоричних виразів.

· Вимога мінімальності.

1.5 Введення понять у шкільному курсі математики

При формуванні понять необхідно організовувати діяльність учнів щодо засвоєння двох основних логічних прийомів: підведення під поняття та виведення наслідків із факту належності об'єкта поняттю.

Дія підведення під поняття має таку структуру:

1) Виділення всіх властивостей, зафіксованих у визначенні.

2) Встановлення логічних зв'язків з-поміж них.

3) Перевірка наявності в об'єкта виділених властивостей та його зв'язків.

4) Отримання висновку про належність об'єкта обсягу поняття.

Виведення наслідків - це виділення суттєвих ознак об'єкта, що належить даному поняттю.

У методиці виділяють три шляхи введення понять :

1) Конкретно-індуктивний:

o Розгляд різних об'єктів як належать обсягу поняття, так і не належать.

o Виявлення суттєвих ознак поняття на основі порівняння об'єктів.

o Введення терміна, формулювання визначення.

2) Абстрактно-дедуктивний:

o Введення визначення вчителем.

o Розгляд спеціальних та окремих випадків.

o Формування вміння підводити об'єкт під поняття та виводити первинні слідства.

При введенні поняття першим шляхом учні краще розуміють мотиви вступу, вчаться будувати визначення та розуміти важливість кожного слова у ньому. При введенні поняття другим шляхом економиться велика кількість часу, що теж важливо.

3) Комбінований . Використовується для складніших понять математичного аналізу. На основі невеликої кількості конкретних прикладів дається визначення поняття. Потім шляхом вирішення завдань, у яких варіюються несуттєві ознаки, і шляхом зіставлення даного поняття з конкретними прикладами продовжується формування поняття.

1.6 Основні етапи вивчення поняття у школі

У літературі виділяють три основні етапи вивчення понять у школі:

1. При введення поняття використовується один із трьох вищевикладених способів. Під час цього етапу слід врахувати таке:

· Насамперед, необхідно забезпечити мотивацію запровадження даного поняття.

· При побудові системи завдань на підведення під поняття забезпечити найповніший обсяг поняття.

· Важливо показати, що обсяг поняття - не пусте безліч.

· Розкрити зміст поняття, працювати над суттєвими ознаками, виділяючи несуттєві.

· Крім знання визначення, бажано, щоб учні мали зорове уявлення про поняття.

· Засвоєння термінології та символіки.

Підсумком цього етапу є формулювання визначення, засвоєння якого - зміст наступного етапу. Засвоїти визначення поняття означає опанувати діями розпізнавання об'єктів, що належать поняттю, виведення наслідків із належності об'єкта поняттю, конструювання об'єктів, які стосуються обсягу поняття.

2. На етапі засвоєння визначення продовжується робота над запам'ятовуванням визначення. Досягатися це може за допомогою наступних прийомів:

· Виписування визначень у зошит.

· Промовляння, підкреслення або якась нумерація істотних властивостей.

· Використання контрприкладів для виконання правил сумісності.

· Підбір відсутніх слів у визначенні, пошук зайвих слів.

· Навчання наводити приклади та контрприклади.

· Навчання застосування визначення у найпростіших, але досить характерних ситуаціях, так як багаторазове повторення визначення поза розв'язанням задач неефективно.

· Вказати на можливість різних визначень, довести їхню еквівалентність, але для запам'ятовування вибрати лише одне.

· Вчити конструювати визначення, використовувати для цього складання родоводів, роз'яснюючи логічну структуру; знайомити із правилами побудови визначення.

· Подібні пари понять давати в порівнянні та зіставленні.

Таким чином, кожна істотна властивість поняття, що використовується у визначенні, на даному етапі стає спеціальним об'єктом вивчення.

3.Наступний етап - закріплення . Поняття вважатимуться сформованим, якщо учні відразу дізнаються їх у завданні без будь-якого перебирання ознак, тобто процес підведення під поняття згорнуть. Досягти цього можна такими шляхами:

· Застосування визначення у складніших ситуаціях.

· Включення нового поняття у логічні зв'язки, відносини з іншими поняттями (наприклад, зіставлення родоводів, класифікацій).

· Бажано показати, що визначення дається не заради його самого, а для того, щоб воно «працювало» при вирішенні завдань та побудові нової теорії.

Розділ 2
Психолого-педагогічні особливості навчання математики у 5-6 класах

2.1 Особливості пізнавальної діяльності

Сприйняття. Школяр 5-6 класів має достатній рівень розвитку сприйняття. У нього високий рівень гостроти зору, слуху, орієнтування на форму та колір предмета.

Процес навчання висуває нові вимоги до сприйняття школяра. У процесі сприйняття навчальної інформації необхідні довільність та свідомість діяльності учнів. Спочатку дитину приваблює сам предмет і насамперед зовнішні яскраві ознаки. Але діти вже можуть зосередитися і старанно розглянути всі властивості предмета, виділити у ньому головне, істотне. Ця особливість проявляється у процесі навчальної діяльності. Вони можуть аналізувати групи фігур, упорядковувати предмети за різними ознаками, проводити класифікацію фігур за однією або двома властивостями цих фігур.

У школярів цього віку виникає спостереження як спеціальна діяльність, розвивається спостережливість як характеристика характеру.

Процес формування поняття - поступовий процес, перших стадіях якого значної ролі грає чуттєве сприйняття об'єкта.

Пам'ять. Школяр 5-6 класів здатний керувати своїм довільним запам'ятовуванням. Здатність до запам'ятовування повільно, але поступово зростає.

У віці пам'ять перебудовується, переходячи від домінування механічного запам'ятовування до смислового. У цьому перебудовується сама смислова пам'ять. Вона набуває опосередкованого характеру, обов'язково включається мислення. Тому необхідно учнів вчити правильно міркувати, щоб запам'ятовування базувався на розумінні пропонованого матеріалу.

Заодно з формою змінюється і змістом запам'ятовування. Стає доступнішим запам'ятовування абстрактного матеріалу.

Увага. Процес оволодіння знаннями, вміннями, навичками вимагає постійного та ефективного самоконтролю учнів, що можливо лише за сформованості досить високого рівня довільної уваги.

Школяр 5-6 класів цілком може керувати своєю увагою. Він добре концентрує увагу на значимій йому діяльності. Тому необхідно підтримувати інтерес школяра до вивчення математики. У цьому доцільно спиратися на допоміжні кошти (предмети, малюнки, таблиці).

У школі на уроках потребує підтримки з боку вчителя.

Уява. У процесі навчальної діяльності учень отримує багато описових відомостей. Це від нього постійного відтворення образів, яких неможливо зрозуміти і засвоїти навчальний матеріал, тобто. відтворюючу уяву учнів 5-6 класів від початку навчання включено в цілеспрямовану діяльність, що сприяє його психічному розвитку.

При розвитку в дитини здатності керувати своєю розумовою діяльністю уяву стає дедалі керованим процесом.

У школярів 5-6 класів уява може перетворитися на самостійну внутрішню діяльність. Вони можуть програвати в умі розумові завдання з математичними знаками, оперувати значеннями та смислами мови, поєднуючи дві вищі психічні функції: уяву та мислення.

Усі зазначені вище особливості створюють ґрунт у розвиток процесу творчої уяви, у якому велику роль грають спеціальні знання учнів. Ці знання становлять основу у розвиток творчої уяви й у наступні вікові періоди життя школяра.

Мислення. Все більшого значення починає набувати теоретичне мислення, здатність встановлювати максимальну кількість смислових зв'язків у навколишньому світі. Школяр психологічно занурений у реальності предметного світу, образно-знакових систем. Досліджуваний у школі матеріал стає йому умовою для побудови та перевірки своїх гіпотез.

У 5-6 класах у школяра виробляється формальне мислення. Школяр цього віку вже може розмірковувати, не пов'язуючи себе з конкретною ситуацією.

Вчені вивчали питання про розумові можливості школярів 5-6 класів. Через війну досліджень виявилося, що розумові можливості дитини ширше, ніж передбачалося раніше, і за створенні відповідних умов, тобто. за спеціальної методичної організації навчання, учень 5-6 класів може засвоїти абстрактний математичний матеріал.

Як видно з вищевикладеного, психічні процеси характеризуються віковими особливостями, знання та облік яких необхідні для організації успішного навчання та розумового розвитку учнів.

2.2 Психологічні аспекти формування понять

Звернемося до психологічної літератури та з'ясуємо основні положення концепції формування наукових понять.

У навчальному посібнику йдеться про неможливість передачі поняття у готовому вигляді. Дитина може отримати його лише внаслідок своєї власної діяльності, спрямованої не так на слова, але в ті предмети, уявлення про які ми хочемо в нього сформувати.

Становлення понять - це формування не лише особливого зразка світу, а й певної системи дій. Події, операції та складають психологічний механізм понять. Без них поняття не може бути ні засвоєним, ні застосованим надалі до вирішення завдань. Через це особливості сформованих понять неможливо знайти зрозумілі без звернення до дій, продуктом яких є. І необхідно формувати такі види дій, використовуваних щодо понять:

· Дія розпізнавання використовується, коли поняття засвоюється для розпізнавання об'єктів, що належать до даного класу. Дана дія може бути застосована при формуванні понять з кон'юнктивною та диз'юнктивною логічною структурою.

· Виведення наслідків.

· Порівняння.

· Класифікація.

· Дії, пов'язані з встановленням ієрархічних відносин всередині системи понять та інші.

Розглядається також роль визначення поняття в процесі його засвоєння. Визначення - орієнтовна основа оцінки предметів, із якими взаємодіє учень. Так, отримуючи визначення кута, учень може тепер аналізувати різні предмети з погляду наявності чи відсутності у яких ознак кута. Така реальна робота створює у голові учня образ предметів даного класу. Таким чином, отримання визначення - це лише перший крокна шляху засвоєння поняття.

Другий крок -включення визначення поняття в ті дії учнів, які вони виконують з відповідними об'єктами та за допомогою яких будують у своїй голові поняття про ці об'єкти.

Третій кроку тому, щоб навчити школярів орієнтуватися утримання визначення і під час різних дій з об'єктами. Якщо це не забезпечено, то в одних випадках учні спиратимуться на властивості, які вони самі виділили в об'єктах, в інших випадках діти можуть використовувати лише частину цих властивостей; по-третє - можуть додати до зазначених ухвал свої.

Умови, що забезпечують управління процесом засвоєння поняття й

1. Наявність адекватної дії: вона має бути спрямована на суттєві властивості.

2. Знання складу використовуваної дії. Наприклад, дія розпізнавання включає: а) актуалізацію системи необхідних та достатніх властивостей поняття; б) перевірку кожного з них у запропонованих об'єктах; в) оцінку одержаних результатів.

3. Представленість всіх елементів дій у зовнішній, матеріальної формі.

4. Поетапне формування введеної дії.

5. Наявність поопераційного контролю за засвоєння нових форм дії.

Н.Ф. Тализіна докладно зупиняється на поетапному формуванні понять. Після виконання 5-8 завдань із реальними предметами чи моделями учні без жодного заучування запам'ятовують і ознаки поняття, і правило дії. Потім дія переводиться у зовнішньомовну форму, коли завдання даються письмово, а ознаки понять, правила і розпорядження називаються чи записуються учнями з пам'яті.

У тому випадку, коли дія легко і правильно виконується у зовнішньомовній формі, її можна перевести у внутрішню форму. Завдання дається письмово, а відтворення ознак, їх перевірку, порівняння отриманих результатів із правилом учні роблять для себе. Спочатку контролюється правильність кожної операції та кінцевої відповіді. Поступово контроль здійснюється лише за кінцевим результатом у міру потреби.

Якщо дію виконується правильно, його переводять на розумовий етап: учень сам і виконує, і контролює дію. Контроль із боку учня передбачено лише за кінцевим продуктом дій. Допомога учня отримує за наявності труднощів або невпевненості у правильності результату. Процес виконання тепер прихований, дія стала цілком розумовою.

Так поступово відбувається перетворення дії формою. Перетворення за узагальненістю забезпечується спеціальним підбором завдань

Подальше перетворення дії досягається повторюваністю однотипних завдань. Робити це доцільно лише на останніх етапах. На всіх інших етапах дається лише така кількість завдань, що забезпечує засвоєння впливу у цій формі.

Вимоги до змісту та форми завдань

1. При складанні завдань слід орієнтуватися на нові дії, які формуються.

2. Друга вимога до завдань – відповідність форми етапу засвоєння. Наприклад, на перших етапах об'єкти, з якими працюють учні, мають бути доступними для реального перетворення.

3. Кількість завдань залежить від мети та складності діяльності, що формується.

4. При доборі завдань необхідно враховувати, що перетворення дії не лише формою, а й у міру узагальненості, автоматизації тощо.

Було проведено багато експериментів, коли реалізовувалися зазначені умови. У всіх випадках, стверджує Н. Ф. Тализіна, поняття формувалися не лише із заданим змістом, а й високими показниками за такими характеристиками:

· Розумність дій піддослідних;

· усвідомленість засвоєння;

· Упевненість учнів у знаннях та діях;

· Відсутність пов'язаності чуттєвими властивостями предметів;

· Узагальненість понять та дій;

· Міцність сформованих понять та дій.

Отже, у дитини поступово формується певний образ предметів цього класу. Поняття дійсно не можна дати у готовому вигляді, воно може бути побудоване лише самим учнем шляхом виконання певної системи дій із предметами. Вчитель допомагає учневі сформувати цей образ зі змістом, що випереджає суттєві властивості предметів даного класу, і ставить суспільно вироблену думку на предмети, з якими працює учень. Поняття - це продукт дій, виконуваних учнем із предметами даного класу.

2.3 Деякі педагогічні особливості навчання математики у 5-6 класах

Провідною ідеєю сучасної концепції шкільної освіти є ідея гуманізації, що ставить у центр процесу навчання учня з його інтересами та можливостями, що вимагає врахування особливостей його особистості. Головними напрямами математичної освіти є посилення загальнокультурного звучання та підвищення його значущості для формування особистості підростаючої людини. Основні ідеї, покладені основою курсу математики 5-6 класу - це загальнокультурна орієнтація змісту, інтелектуальний розвиток учнів засобами математики на матеріалі, що відповідає інтересам та можливостям дітей 10-12 років.

Курс математики 5-6 класів – важлива ланка математичної освіти та розвитку школярів. На цьому етапі закінчується в основному навчання рахунку на безлічі раціональних чисел, формується поняття змінної і даються перші знання про прийоми розв'язання лінійних рівнянь, продовжується навчання розв'язання текстових завдань, удосконалюються та збагачуються вміння геометричних побудов та вимірювань. Серйозну увагу приділяється формуванню вміння розмірковувати, робити прості докази, давати обґрунтування виконуваних дій. Паралельно закладаються основи вивчення систематичних курсів стереометрії, фізики, хімії та інших суміжних предметів.

Курс математики 5-6 класів є органічною частиною всієї шкільної математики. Тому основною вимогою до його побудови є структурування змісту на єдиній ідейній основі, яка, з одного боку, є продовженням та розвитком ідей, реалізованих під час навчання математики у початковій школі, і, з іншого боку, служить подальшому вивченню математики у старших класах.

Продовжується розвиток всіх змістовно-методичних ліній курсу початкової математики: числової, алгебраїчної, функціональної, геометричної, логічної, аналіз даних. Вони реалізовані на числовому, алгебраїчному, геометричному матеріалі.

Останнім часом суттєво переглянуто вивчення геометрії. Метою вивчення геометрії у 5-6 класах є пізнання навколишнього світу мовою та засобами математики. З допомогою побудов та вимірів учні виявляють різні геометричні закономірності, які формулюють як речення, гіпотезу. Доказовий аспект геометрії у проблемному плані - учням прищеплюється думка, що експериментальним шляхом можна відкрити багато геометричні факти, але ці факти стають математичними істинами лише тоді, коли вони встановлені засобами, прийнятими в математиці.

Таким чином, геометричний матеріал у цьому курсі може бути охарактеризований як наочно-діяльнісна геометрія. Навчання організується як процес інтелектуально-практичної діяльності, спрямованої на розвиток просторових уявлень, образотворчих умінь, розширення геометричного кругозору, у ході якого найважливіші властивості геометричних постатей виходять за допомогою досвіду та здорового глузду.

Досить новою в курсі 5-6 класів є змістовна лінія. Аналіз даних », яка поєднує у собі три напрями: елементи математичної статистики, комбінаторику, теорію ймовірностей. Введення цього матеріалу продиктовано життям. Його вивчення спрямовано формування у школярів як загальної імовірнісної інтуїції, і конкретних способів оцінки даних. Основне завдання у цій ланці - формування відповідного словника, навчання найпростішим прийомам збору, подання та аналізу інформації, навчання розв'язання комбінаторних завдань перебором можливих варіантів, створення елементарних уявлень про частоту та ймовірність випадкових подій.

Однак дана лінія є не у всіх сучасних шкільних підручниках для 5-6 класів. Особливо докладно та яскраво представлена ​​дана лінія у підручниках.

Алгебраїчний матеріал, включений у курс математики 5-6 класів, є основою систематичного вивчення алгебри у старших класах. Можна відзначити такі особливості вивчення цього матеріалу алгебри:

1. Вивчення алгебраїчного матеріалу засноване на науковій основі з урахуванням вікових особливостей та можливостей учнів.

2. Формування алгебраїчних понять та вироблення відповідних умінь та навичок становлять єдиний процес, побудований на детально розробленій системі вправ.

3. Система вправ служить надійним засобом оволодіння сучасним математичним мовою, оскільки ця мова широко застосовується при формулюванні різних завдань. Наприклад, «Докажіть, що ця нерівність вірна: 29 2<1000».

4. Удосконалення обчислювальних навичок органічно пов'язане з вивченням матеріалу алгебри.

У 5-6 класах наголошується на розвиток обчислювальної культури, зокрема, на навчання евристичним прийомам прикидки та оцінки результатів дій, перевірки їх на правдоподібність. Підвищено увагу до арифметичних прийомів рішення текстових завдань як засобу навчання методам міркування, вибору стратегії вирішення, аналізу ситуації, зіставленню даних і, зрештою, розвитку мислення учнів.

Досліджувані тим часом тотожні перетворення алгебраїчних виразів зі змінними широко застосовуються для функціональної пропедевтики. Значне місце у курсі математики середньої школи приділяється матеріалу функціонального характеру. Визначення функції вводиться у 7 класі, а функціональна пропедевтика починається з 5 класу, де розглядається поняття змінної, вирази зі зміною, формули, що задає залежності між деякими величинами.

Використання літерних позначень дозволяє ставити питання побудові формул. Зв'язки між величинами задаються також табличним та графічним способами, і діти тренуються у переході від однієї форми завдання залежності до іншої. Систематична робота з конкретними залежностями забезпечує готовність дітей до вивчення функцій у старших класах.

Методи . Курс математики 5-6 класів збудовано індуктивно. Зміст навчального матеріалу змушує використовувати методи, що сприяють формуванню як продуктивної, і репродуктивної діяльності.

У 5-6 класах найчастіше застосовні такі методи навчання:

· Пояснювально-ілюстративний. Цілий ряд понять математики 5-6 класів можна ввести даним методом. За допомогою його може бути вивчений матеріал, який є логічним продовженням та розширенням основного матеріалу. Цим методом можна вивчати конкретні алгоритми. Також вивчаються пояснювально-ілюстративним методом відомості, якими можна скористатися як готовими (сформованими у початковій школі) знаннями, але такими, що отримують нове застосування. Мета вивчення матеріалу пояснювально-ілюстративним методом – довести знання правил, законів, алгоритмів тощо. рівня навички.

· Частково-пошуковий та проблемний методи. Основні поняття курсу мають бути вивчені методами, які б забезпечували творчий (продуктивний) характер діяльності учнів. До таких методів, цілком застосовних у 5-6 класах, можна віднести частково-пошуковий. Цим способом можуть бути вивчені поняття: змінна, правильна і неправильна нерівність тощо.

Урок . Особливості предмета математики 5-6 класів (майже кожному уроці необхідно вивчати нові факти на уроках), вимога програми, темп вивчення матеріалу призвели до того, що найпоширеніший тип уроку цих класах - комбінований.

Перелічимо ще деякі особливості навчання математики у 5-6 класах:

· На початку вивчення математики в 5 класі учні повторюють відомі їм з 1-4 класів поняття, але повторення це ведеться на новому рівні, із залученням математичної термінології та символіки. Робиться це у тому, щоб закласти основи математичної мови, основи математичної культури.

· У курсі 5-6 класів часто вдаються при викладі арифметики та почав алгебри до геометричних визначень за допомогою координатної прямої або променя, що дозволяє зробити навчання більш наочним, а отже, більш доступним та зрозумілим для учнів. Подібним чином, наприклад, вивчається порівняння звичайних та десяткових дробів.

· Однією з особливостей даного курсу є лінійно-концентричний виклад матеріалу, відповідно до якого учні неодноразово повертаються до всіх принципових питань, піднімаючись у кожному наступному проході нового рівня.

Приклад, щодо теми «Десятичні дроби і відсотки» відбувається перехід від безлічі цілих неотрицательных чисел до безлічі раціональних неотрицательных; при цьому навчання будується з опорою на відомі учням алгоритми дій з натуральними числами, постійно використовуються знання та вміння, отримані раніше.

· Перша складність, з якою зустрічаються п'ятикласники, - робота з пояснювальним текстом підручника. Причиною цього є недостатня техніка читання у деяких дітей, малий словниковий запас, а також те, що в підручниках початкової школи такі об'ємні тексти не зустрічалися.

Протягом усього часу навчання у 5-х та 6-х класах вчителю математики необхідно систематично розвивати у дітей вміння читати, розуміти текст, працювати з ним. Ця робота є необхідною базою для успішного вивчення систематичних курсів алгебри та геометрії у наступних класах.

· Вивчення математики потребує активних розумових зусиль. Дуже важко підтримувати довільну увагу учнів протягом уроку. Напружена розумова діяльність, велика кількість однотипних і рутинних обчислень або алгебраїчних перетворень швидко втомлює школярів. Існує універсальний спосіб підтримування робочого тонусу учнів: перемикання з одного виду навчальної діяльності в інший. Але можна скористатися і порадою Блеза Паскаля: «Предмет математики настільки серйозний, що корисно не втрачати випадків робити його трохи цікавим». Ця порада особливо актуальна під час навчання математики в 5-6 класах. Втім, це теж один з різновидів перемикання.

2.4 Особливості формування математичних понять у 5-6 класах

Будь-яке поняття, зокрема і математичне, є абстракцією від багатьох конкретних об'єктів, які описуються ним. У понятті відбиваються стійкі властивості досліджуваних об'єктів, явищ. Ці властивості повторюються у всіх об'єктів, які поєднуються поняттям. Але кожен реальний об'єкт має деякі інші властивості, притаманні лише йому. Відмінність у несуттєвих властивостях лише відтіняє, підкреслює суттєві.

Якщо початкових класах навчання ведеться переважно на наочно образному рівні мислення, то 5-6 класах глибше розвивається словесно-логічне мислення. Змістом такого мислення є поняття, сутність яких «не зовнішні, конкретні, наочні ознаки предметів та його відносини, а внутрішні, найбільш суттєві властивості предметів і явищ і співвідношення з-поміж них».

Усі поняття, вивчені в початкових класах, надалі переосмислюються більш високому теоретичному рівні (змінна, рівняння, постать та інших.) або заглиблюються і узагальнюються (поняття число, алгоритми арифметичних процесів, закони арифметичних процесів та інших.).

Не завжди є можливість та й необхідність формувати визначення по конструкції: 1) вказується рід; 2) вказуються ті ознаки, які відрізняють цей вид (визначається поняття) з інших видів найближчого роду. Учнів навчають на наочно-інтуїтивній основі розуміти значення істотних і несуттєвих ознак для розкриття суті поняття, що визначається, тобто достатньо сформувати правильне уявлення. У курсі математики 5-6 класів це часто досягається за допомогою поясн я ю щи х описів - Доступних для учнів пропозицій, які викликають у них один наочний образ, і допомагають засвоїти поняття. Тут не ставиться вимога зведення нового поняття раніше вивченим. Засвоєння має бути доведено такого рівня, щоб у подальшому, не згадуючи описи, учень міг дізнатися об'єкт, що належить до цього понятию. Приклад, що пояснюють описи багатокутника, багатогранника, відстані, симетрій, натурального числа та ін.

Більшість дітей 5-го класу сприймає пояснювальний текст підручника, формулювання визначень та правил цілком однорідними - їм важко знайти визначальне та визначальне поняття, вказівку на математичні властивості математичного об'єкта. Саме цим значною мірою пояснюються труднощі у заучуванні та вірному відтворенні теоретичних положень, правил дій: усі слова учневі здаються однаково важливими (або однаково неважливими?), а тому заучування відбувається чисто механічно, і втрата чи заміна залишаються ним непоміченими.

Головне у роботі з визначеннями у 5-6 класах - показувати учням відмінність визначень з інших пропозицій, виділених у підручнику жирним шрифтом; вивчати їх аналізувати конструкцію визначень; індуктивним способом формувати визначення основних понять.

Якщо учні у 5-6 класах отримають необхідні навички у роботі з визначеннями, розумітимуть прості логічні міркування та відрізнятимуть логічні конструкції різних математичних речень, то вони зможуть вивчати курс математики старших класів більш усвідомлено.

Визначення розглядаються у найпростішому варіанті через рід та вид. Формування поняття докази спирається на реальні життєві уявлення необхідність обгрунтування, її переконливості міркувань. Цей початковий етап поступово змінюється уявленнями про доказ, адекватний математики.

Проаналізувавши підручники для 5-6 класів, побачимо, що аксіоматичні визначення відсутні, геометричні поняття здебільшого визначаються через конструювання, алгебраїчним поняттям, в основному, даються визначення-угоди, що пояснюють опис.

Наведемо порівняльне відсоткове співвідношення визначень, що даються у підручниках. У присутності 53% визначень-угод, 20% - пояснювальних описів, 27% - конструктивних визначень, а визначень-угод - 33%, пояснювальних описів - 32%, конструктивних визначень - 35%. Відмінності пояснюються великою кількістю геометричних понять, що вводяться у .

Вводити поняття цьому етапі навчання слід конкретно-индуктивным шляхом, приділяючи велику увагу мотивації вступу. Для засвоєння понять у віці психологи радять давати 10-12 завдань.

Розглянемо конкретні приклади.

Кут 2

На кожному з малюнків знайдіть та назвіть промені та їх початку. Що таке "промінь"? Чи є у променя початок?

Ви знаєте, що таке багатокутник (мал.8). Які елементи багатокутника можна назвати? (сторони, вершини). Виявляється, що багатокутник існують ще елементи. Сьогодні нам і належить їх вивчити. Зверніть увагу на рис.4, ви бачите два промені із загальним початком, разом вони становлять єдину фігуру. І щоб не ділити її на частини, давніми було дано цій фігурі особливу назву - "кут".

Які ж отримують фігуру, звану кутом?

1. Беруть довільну точку (у разі це точка О);

2. Проводять два промені з початком у цій точці (ОА, ОВ).

Таким чином, кутом називають фігуру, утворену двома променями, що виходять із однієї точки (хлопці можуть сформулювати визначення самі!). Промені, що утворюють кут, називають сторонами кута, а точку, з якої вони виходять - вершиною кута.

На малюнку сторонами кута є промені ОА і ОВ, яке вершиною -- точка О. Цей кут позначають так:<АОВ. При записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину. Угол можно обозначать и одной буквой (название его вершины): <О.

Завдання 1: На кожному з малюнків (мал.1-мал.7) виберіть кути та правильно назвіть їх.

Завдання 2: Виберіть правильне позначення наступних кутів.

А)

Б)

В)

Г)

Д)<С

Завдання 3: Напишіть у зошиті позначення наступних кутів. І замалюйте їх.

Завдання 4: Накресліть довільні кути:

Давайте розглянемо, як можуть розташовуватися точки на площині щодо даного кута.

На малюнку зображено кут F.

Точки C,D лежать усередині кута F.

Точки X,Y лежать поза кутом F.

Точки M,K – на сторонах кута F.

Завдання 5: Накресліть кут О і зобразіть такі точки:

А) А, В, С - усередині кута;

Б) D, F, E, K - на сторонах кута;

В) M, P, S, T - поза кутом.

Завдання 6: Накресліть кут MOD і проведіть усередині нього промінь ВІД. Назвіть та позначте кути, на які цей промінь ділить кут MOD.

Завдання 7: Накресліть 4 промені: ОА, ОВ, ОС, OD. Запишіть назви шести кутів, сторонами яких є ці промені.

Найбільший спільний дільник.

Завдання 1: Чи правда, що:

А) 5 – дільник 45; Б) 16 – дільник 8; В) 17 – дільник 172?

Завдання 2: Назвіть усі дільники чисел:

А) 6; Б) 18; В) 125; г) 19.

Завдання 3 : Виберіть найбільше з чисел:

А) 1, 5, 3, 8, 12, 4; Б) 15, 30, 45, 90.

Завдання 4: На скільки рівних купок можна розкласти 36 горіхів?

Потім вчитель ставить питання, подібні до наступних (учні повинні згадати, що таке «натуральне число» і «ділитель натурального числа»):

· Яке число називають дільником даного натурального

Дід Мороза має 48 цукерок «Ластівка» і 36 цукерок «Чебурашка», йому необхідно скласти найбільшу кількість однакових подарунків для дітей, використовуючи всі цукерки.

Як йому бути? Сьогодні ви дізнаєтесь, як швидко допомогти Дідові Морозу.

1. Дільники 6 : 1, 2, 3, 6 – натуральні числа.

Дільники 18 : 1, 2, 3, 6, 18 - натуральні числа

2. Дільники 15 : 1, 3, 5, 15 - натуральні числа

Дільники 30: 1, 3, 5, 15, 2, 6, 10, 30 - натуральні числа

3. Дільники 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 – натуральні числа.

Дільники 18: 1, 2, 3, 6, 18 – натуральні числа.

Як бачимо, у всіх випадках виділені спільні дільники двох натуральних чисел, і із цих спільних дільників вибрано найбільше натуральне число.

Повернемося на допомогу Дідові Морозу. На яку однакову кількість подарунків можна розділити 48 цукерок «Ластівка»? Щоб відповісти на це питання, потрібно виписати всі дільники числа 48.

48: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 24, 48.

На яку кількість подарунків можна розділити 36 цукерок «Чебурашка»? Щоб відповісти на це питання, потрібно виписати всі дільники числа 36.

36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Але Дідові Морозу необхідно скласти абсолютно однакові подарунки, тому йому потрібно вибрати спільні дільники чисел 48 та 36.

Загальні дільники чисел 48 та 36: 1, 2, 3. 6, 12.

Вибравши найбільше натуральне число із спільних дільників чисел 48 та 36, Дід Мороз становитиме найбільшу кількість однакових подарунків для дітей. Таким числом буде число 12.

Отже, Діду Морозу можна скласти 12 подарунків, у кожному з яких буде 4 цукерки «Ластівка» (48:12=4) та 3 цукерки «Чебурашка» (36:12=3).

Отже, найбільше натуральне число, яке діляться без залишку числа a і b , називається найбільшим спільним дільником цих чисел .

Завдання 1. Знайдіть усі спільні дільники чисел:

А) 18 та 60; Б) 72, 98 та 120; В) 35 та 88.

Завдання 2. Випишіть спільні дільники чисел a і b і знайдіть їх найбільший спільний дільник, якщо:

А) Дільники а: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Дільники b : 1, 2. 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30. 45, 90

Б) Дільники а: 1, 2, 3. 6, 18

Дільники b : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Завдання 3: Знайдіть розкладання на прості множники найбільшого загального дільника чисел a і b , якщо:

А) а =2 · 2 · 3 · 3 і b = 2 · 3 · 3 · 5;

Б) а= 5·5·7·7·7 та b = 3·5·7·7.

Завдання 4: Знайдіть найбільший спільний дільник чисел:

А) 12 та 18; Б) 50 та 175.

Завдання 5: Діти на новорічній ялинці отримали однакові подарунки. У всіх подарунках разом було 123 апельсини та 82 яблука. Скільки хлопців було на ялинці?

Розділ 3
Досвідчене викладання

На теоретичній основі, представленій у попередніх розділах, було розроблено та проведено урок у 5 класі Талицької СШ Фалінського району. Далі наведено конспект цього уроку.

Клас: 5.

Кількість уроків у розділі: 26

Тема уроку:«Долі. Звичайні дроби».

Тип уроку:урок вивчення нового матеріалу.

Номер уроку у розділі«Звичайні дроби»: 5

Цілі:

Освітні:

· створити умови для засвоєння учнями поняття частки, звичайного дробу, чисельника та знаменника;

· навчити застосовувати дроби під час вирішення різних завдань.

Розвиваючі:

· Розвиток пізнавального інтересу та грамотної математичної мови;

· Розвиток логічного мислення.

Виховні:

· Виховання дисциплінованості;

· Виховання акуратності.

Обладнання:наочний посібник як розрізаного яблука, картки із завданням (роздати перед уроком).

Література:.

План уроку:

1. Організаційний етап.

2. Актуалізація знань.

3. Етап вивчення нового матеріалу:

1) Введення поняття частки, половини, третини, чверті.

2) Засвоєння поняття частки.

3) Введення поняття дробу.

4) Засвоєння поняття дробу.

4. Етап закріплення вивченого.

5. Етап постановки домашнього завдання

6. Підбиття підсумків уроку

Хід уроку:

			Дошка/зошит
1 .	Вітаю! Сідайте, хлопці, будь ласка! Сьогодні ми займемося вивченням особливих чисел, які називаються звичайними дробами.		«Дата» Класна робота.
	А спочатку давайте пригадаємо, що таке натуральне число? Навіщо застосовуються натуральні числа? Правильно.	Натуральні числа використовуються для рахунку предметів.
		1) Уявіть, що у вас є 5 яблук. І вам необхідно поділити їх порівну між п'ятьма друзями. Скільки яблук дістанеться кожному? Правильно. А якщо мама купила один кавун і розрізала його на 6 рівних частин: бабусі, дідусеві, татові, двом дітям і собі, то ці рівні частини будуть називатися частками . Оскільки, кавун розділили на 6 часток, то кожен отримав «частку кавуна» або «кавуна». Тепер накресліть, будь ласка, у зошиті відрізок АВ завдовжки 5 см. Яку частку відрізка АВ складатиме відрізок завдовжки 1 см.? Нехай у кожного з вас, хлопці, є по яблуку. Як ви діятимете, якщо я попрошу вас відрізати від яблука половину? Має рацію той, хто розділить яблуко на дві частки, тому що половиною називається частка, - третю, а - чвертю. Наприклад, половиною години є 30 хв, чвертю-15 хв, третиною-20 хв 2) Яблуко розрізали на 8 часток, з'їли 3 частини. Скільки часток залишилося? Ці 5 часток позначають «яблука» Ще один приклад. А в цьому випадку скільки часток залишилося? Зараз зверніть увагу на рисунок. На ньому прямокутника зафарбовано, а яку частину прямокутника не зафарбовано? Записи виду: називають звичайними дробами . Верхню частину дробу називають чисельником, а нижню - знаменником. Повернемося до малюнка, у якому зображено яблука. Що в даному дробі є чисельником, а що - знаменником?

Подібні документи

Сутність формування понять, його загальна схема та особливості, етапи реалізації та можливі шляхи. Класифікація понять та її методика для математичних дисциплін. Визначення як завершальний етап формування поняття, його різновиди та особливості.

реферат, доданий 24.04.2009


Етапи формування математичних понять щодо математики у шкільництві. Типові помилки, які у учнів щодо понять. Методика роботи над математичним визначенням, етапи вивчення. Педагогічні прийоми запровадження понять.

реферат, доданий 07.03.2010


"Поняття" у психолого-педагогічній, філософській, навчально-методичній літературі. Види та визначення математичних понять у початковій математиці. Роль, функції класифікації для формування понять. Система формування математичних понять.

дипломна робота , доданий 23.11.2008


Психолого-педагогічні особливості учнів 5-6 класів, специфіка формування вони математичних понять. Психологічні особливості засвоєння дробів. Порівняльний аналіз методичних підходів до вивчення теми "Дроби", їх переваги та недоліки.

дипломна робота , доданий 22.07.2011


Психолого-педагогічні засади формування наукових понять. Сутність та джерела вітагенного навчання. Методи та прийоми виявлення та актуалізації вітагенного досвіду учнів. Формування наукових понять, як педагогічна проблема. Види наукових понять.

дипломна робота , доданий 13.12.2009


стаття, доданий 15.09.2009


Особливості вивчення математики у початковій школі відповідно до Федерального державного освітнього стандарту початкової загальної освіти. Зміст курсу. Аналіз основних математичних понять. Сутність індивідуального підходу у дидактиці.

курсова робота , доданий 29.09.2016


Психолого-педагогічні засади розвитку обдарованих учнів у процесі навчання математики. Методичні особливості постановки навчання математики у 5-6 класах, спрямованого на розвиток обдарованих дітей. Реалізація цих цілей у позакласній роботі.

дипломна робота , доданий 19.04.2011


Проблема розуміння текстових повідомлень у психолінгвістичних та психолого-педагогічних дослідженнях. Сучасні ставлення до тексті у методиці шкільного навчання. Особливості лексики молодших школярів. Психологія процесу формування понять.

курсова робота , доданий 18.08.2011


Формування понять зворотних тригонометричних функцій, і навіть розробка методики навчання цієї теми у школах і класах з поглибленим вивченням математики. Використання інформаційних технологій щодо зворотних тригонометричних функцій.

Вступ

Поняття одна із головних складових у змісті будь-якого навчального предмета, зокрема - і математики.

Одне з перших математичних понять, з яким дитина зустрічається в школі, - поняття про число. Якщо це поняття нічого очікувати засвоєно, в учнів виникнуть серйозні проблеми за подальшого вивчення математики.

З початку зустріч із поняттями відбувається в учнів щодо різних математичних дисциплін. Так, починаючи вивчати геометрію, учні відразу ж таки зустрічаються з поняттями: точка, лінія, кут, а далі - з цілою системою понять, пов'язаних з видами геометричних об'єктів.

Завдання вчителя – забезпечити повноцінне засвоєння понять. Однак у шкільній практиці це завдання вирішується негаразд успішно, як цього вимагають мети загальноосвітньої школи.

«Головний недолік шкільного засвоєння понять - формалізм», - вважає психолог Н.Ф.Тализина. Суть формалізму у тому, що учні, правильно відтворюючи визначення поняття, тобто, усвідомлюючи його зміст, не вміють користуватися ним під час вирішення завдань застосування цього поняття. Отже, формування понять - це важлива, актуальна проблема.

Об'єкт дослідження: процес формування математичних понять у 5-6 класах.

Мета роботи: розробити методичні рекомендації вивчення математичних понять у 5-6 класах.

Завдання роботи:

1. Вивчити математичну, методичну, педагогічну літературу на цю тему.

2. Виявити основні способи визначення понять у підручниках 5-6 класів.

3. Визначити особливості формування математичних понять у 5-6 класах.

Гіпотеза дослідження : Якщо в процесі формування математичних понять у 5-6 класах врахувати такі особливості:

· Поняття здебільшого визначаються за допомогою конструювання, і часто формування правильного уявлення про поняття у учнів досягається за допомогою пояснювальних описів;

· Вводяться поняття конкретно-індуктивним шляхом;

· Протягом усього процесу формування поняття велика увага приділяється наочності, цей процес буде ефективнішим.

Методи дослідження:

· Вивчення методичної та психологічної літератури за темою;

· Порівняння різних підручників з математики;

· Досвідчене викладання.

Основи методики вивчення математичних понять

Математичні поняття, їх зміст та обсяг, класифікація понять

Поняття - форма мислення про цілісну сукупність суттєвих та несуттєвих властивостей об'єкта.

Математичні поняття мають свої особливості: вони часто виникають із потреби науки і не мають аналогів у реальному світі; вони мають великий рівень абстракції. З огляду на це бажано показати учням виникнення досліджуваного поняття (чи з потреби практики, чи з потреби науки).

Кожне поняття характеризується обсягом та змістом. Зміст - безліч суттєвих ознак поняття. Об `єм - безліч об'єктів, яких застосовне дане поняття. Розглянемо зв'язок між обсягом та змістом поняття. Якщо зміст відповідає дійсності і включає суперечливих ознак, то обсяг - це порожня безліч, що важливо показати учням під час запровадження поняття. Зміст цілком визначає обсяг і навпаки. Отже, зміна одного тягне за собою зміну іншого: якщо зміст збільшується, то обсяг зменшується.

o повинно проводиться за однією ознакою;

o класи повинні бути такими, що не перетинаються;

o об'єднання всіх класів має давати все безліч;

o класифікація має бути безперервною (класами мають бути найближчі видові поняття стосовно поняття, яке підлягає класифікації).

Вирізняють такі види класифікації:

1. За видозміненою ознакою. Об'єкти, що підлягають класифікації, можуть мати кілька ознак, тому можна класифікувати по-різному.

приклад. Поняття "трикутник".

2. Дихотомічний. Розподіл обсягу поняття на два видові поняття, одне з яких має дану ознаку, а інше немає.

Приклад .

Виділимо цілі навчання класифікації:

1) розвиток логічного мислення;

2) вивчаючи видові відмінності, ми становимо ясніше уявлення про родове поняття.

Обидва види класифікації використовуються у школі. Як правило, спочатку дихотомічний, а потім за видозміненою ознакою.

2
Федеральне агентство з освіти
Державний освітній заклад вищої професійної освіти
Вятський державний гуманітарний університет
Математичний факультет
Кафедра математичного аналізу та методики викладання математики
Випускна кваліфікаційна робота
Особливості формування математичнихпонять у 5-6 класах
Виконав:
студентка V курсу математичного факультету
Бельтюкова Анастасія Сергіївна
Науковий керівник:
кандидат педагогічних наук, доцент, зав. кафедрою математичного аналізу та МПМ
М.В Крутіхіна
Рецензент:
кандидат педагогічних наук, доцент кафедри математичного аналізу та МПМ І .У Ситникова
Допущена до захисту у державній атестаційній комісії
«___» __________2005 р. Зав. кафедрою М.В. Крутихіна
«___»___________2005 р. Декан факультету В.І. Варанкіна
Кіров
2005
Зміст
Вступ 3
Глава 1 Основи методики вивчення математичних понять 5

5
8
9
10
11
13

Глава 2 Психолого-педагогічні особливості навчання математики у 5-6 класах 15

15
18
22
2.4 Особливості формування математичних понять у 5-6 класах 28

Розділ 3 Досвідчене викладання 36
Висновок 44
бібліографічний список 45

Вступ

Поняття одна із головних складових у змісті будь-якого навчального предмета, зокрема - і математики.
Одне з перших математичних понять, з яким дитина зустрічається в школі, - поняття про число. Якщо це поняття нічого очікувати засвоєно, в учнів виникнуть серйозні проблеми за подальшого вивчення математики.
З початку зустріч із поняттями відбувається в учнів щодо різних математичних дисциплін. Так, починаючи вивчати геометрію, учні відразу ж таки зустрічаються з поняттями: точка, лінія, кут, а далі - з цілою системою понять, пов'язаних з видами геометричних об'єктів.
Завдання вчителя – забезпечити повноцінне засвоєння понять. Однак у шкільній практиці це завдання вирішується негаразд успішно, як цього вимагають мети загальноосвітньої школи.
«Головний недолік шкільного засвоєння понять - формалізм», - вважає психолог Н.Ф.Тализина. Суть формалізму у тому, що учні, правильно відтворюючи визначення поняття, тобто, усвідомлюючи його зміст, не вміють користуватися ним під час вирішення завдань застосування цього поняття. Отже, формування понять - це важлива, акт у альна проблема.
Об'єкт дослідження: процес формування математичних понять у 5-6 класах.
Ціл ь роботи: розробити методичні рекомендації вивчення математичних понять у 5-6 класах.
Завдання роботи:
1. Вивчити математичну, методичну, педагогічну літературу на цю тему.
2. Виявити основні способи визначення понять у підручниках 5-6 класів.
3. Визначити особливості формування математичних понять у 5-6 класах.
4. Розробити методичні рекомендації щодо формування деяких понять.
Гіпотеза дослідження : Якщо в процесі формування математичних понять у 5-6 класах врахувати такі особливості:
· Поняття здебільшого визначаються за допомогою конструювання, і часто формування правильного уявлення про поняття у учнів досягається за допомогою пояснювальних описів;
· Вводяться поняття конкретно-індуктивним шляхом;
· Протягом усього процесу формування поняття велика увага приділяється наочності, цей процес буде ефективнішим.
Методи дослідження:
· Вивчення методичної та психологічної літератури за темою;
· Порівняння різних підручників з математики;
· Досвідчене викладання.

Глава 1
Основи методики вивчення математичних понять

1.1 Математичні поняття, їх зміст та обсяг, класифікація понять

Поняття - форма мислення про цілісну сукупність суттєвих та несуттєвих властивостей об'єкта.

Математичні поняття мають свої особливості: вони часто виникають із потреби науки і не мають аналогів у реальному світі; вони мають великий рівень абстракції. З огляду на це бажано показати учням виникнення досліджуваного поняття (чи з потреби практики, чи з потреби науки).

Кожне поняття характеризується обсягом та змістом. Зміст - безліч суттєвих ознак поняття. Об `єм - безліч об'єктів, яких застосовне дане поняття. Розглянемо зв'язок між обсягом та змістом поняття. Якщо зміст відповідає дійсності і включає суперечливих ознак, то обсяг - це порожня безліч, що важливо показати учням під час запровадження поняття. Зміст цілком визначає обсяг і навпаки. Отже, зміна одного тягне за собою зміну іншого: якщо зміст збільшується, то обсяг зменшується.

Зміст поняття ототожнюється з визначенням, а обсяг розкривається через класифікацію. Класифікація - розподіл множини на підмножини, які задовольняють наступним вимогам:

o повинно проводиться за однією ознакою;

o класи повинні бути такими, що не перетинаються;

o об'єднання всіх класів має давати все безліч;

o класифікація має бути безперервною (класами мають бути найближчі видові поняття стосовно поняття, яке підлягає класифікації).

Вирізняють такі види класифікації:

1. За видозміненою ознакою. Об'єкти, що підлягають класифікації, можуть мати кілька ознак, тому можна класифікувати по-різному.

приклад. Поняття "трикутник".

2. Дихотомічний. Розподіл обсягу поняття на два видові поняття, одне з яких має дану ознаку, а інше немає.

Приклад .

2

Виділимо цілі навчання класифікації:

1) розвиток логічного мислення;

2) вивчаючи видові відмінності, ми становимо ясніше уявлення про родове поняття.

Обидва види класифікації використовуються у школі. Як правило, спочатку дихотомічний, а потім за видозміненою ознакою.

1.2 Визначення математичних понять, первинні поняття, що пояснюють опис

Визначити об'єкт - вибрати з його суттєвих властивостей такі й стільки, щоб кожна з них була необхідною, а всі разом достатніми для відхилення цього об'єкта від інших. Результат цієї дії фіксується у визначенні.

Визначенням вважається таке формулювання, яке зводить нове поняття до вже відомих понять цієї області. Така інформація не може продовжуватися нескінченно, тому наука має первинні поняття які визначаються не явно, а побічно (через аксіоми). Список первинних понять неоднозначний, порівняно з наукою, у шкільному курсі первинних понять набагато більший. Основний прийом для роз'яснення, запровадження первинних понять - складання родоводів.

У шкільному курсі який завжди доцільно давати поняттям суворе визначення. Іноді досить сформувати правильне уявлення. Це досягається за допомогою пояс няючих описів - Доступних для учнів пропозицій, які викликають у них один наочний образ, і допомагають засвоїти поняття. Тут не ставиться вимога зведення нового поняття раніше вивченим. Засвоєння має бути доведено такого рівня, щоб у подальшому, не згадуючи описи, учень міг дізнатися об'єкт, що належить до цього понятию.

1.3 Способи визначення понять

за логічною структурою визначення діляться на кон'юнктивні (істотні ознаки з'єднуються союзом "і") та диз'юнктивні (істотні ознаки з'єднуються союзом "або").

Виділення суттєвих ознак, зафіксованих у визначенні, та зафіксованих зв'язків між ними називається логіко-математичним аналізом визначення .

Існує підрозділ визначень на дескриптивні та конструктивні.

Дескриптивні - описові чи непрямі визначення, мають, зазвичай, вид: «об'єкт називається…, якщо він має…». З таких визначень не випливає факт існування даного об'єкта, тому всі подібні поняття вимагають доказів існування. Серед них виділяють такі способи визначення понять:

· Через найближчий рідта видова відмінність. (Ромбом називається паралелограм, дві суміжні сторони якого рівні. Родовим виступає поняття паралелограма, з якого поняття, що визначається, виділяється за допомогою однієї видової відзнаки).

· Визначення-угоди- визначення, у яких властивості понять виражаються з допомогою рівностей чи нерівностей.

· Аксіоматичні визначення.У науці математики використовуються часто, а шкільному курсі рідко й у інтуїтивно ясних понять. (Площа фігури - величина, чисельне значення якої задовольняє умовам: S(F)0; F 1 =F 2 S(F 1)=S(F 2); F=F 1 F 2 , F 1 F 2 = S(F )=S(F 1)+S(F 2); S(E)=1.)

· Визначення через абстракції.Вдаються до такого визначення поняття, коли інше важко чи неможливо здійснити (наприклад, натуральне число).

· Визначення-заперечення- визначення, у якому фіксується не наявність якості, яке відсутність (наприклад, паралельні прямі).

Конструктивні (або генетичні) - це визначення, в яких вказується спосіб отримання нового об'єкта (наприклад, сферою називається поверхня, отримана обертанням півкола навколо свого діаметра). Серед таких визначень іноді виділяють рекурсивні- визначення, що вказують певний базисний елемент будь-якого класу і правило, яким можна отримати нові об'єкти того ж класу (наприклад, визначення прогресії).

1.4 Методичні вимоги до визначення поняття

· Вимога науковості.

· Вимога доступності.

· Вимога сумірності (обсяг визначається поняття повинен дорівнювати обсягу визначального поняття). Порушення цієї вимоги веде або дуже широкому, або дуже вузькому визначенню.

· Визначення не повинно містити хибного кола.

· Визначення мають бути ясними, точними, не містити метафоричних виразів.

· Вимога мінімальності.

1.5 Введення понять у шкільному курсі математики

При формуванні понять необхідно організовувати діяльність учнів щодо засвоєння двох основних логічних прийомів: підведення під поняття та виведення наслідків із факту належності об'єкта поняттю.

Дія підведення під поняття має таку структуру:

1) Виділення всіх властивостей, зафіксованих у визначенні.

2) Встановлення логічних зв'язків з-поміж них.

3) Перевірка наявності в об'єкта виділених властивостей та його зв'язків.

4) Отримання висновку про належність об'єкта обсягу поняття.

Виведення наслідків - це виділення суттєвих ознак об'єкта, що належить даному поняттю.

У методиці виділяють три шляхи введення понять :

1) Конкретно-індуктивний:

o Розгляд різних об'єктів як належать обсягу поняття, так і не належать.

o Виявлення суттєвих ознак поняття на основі порівняння об'єктів.

o Введення терміна, формулювання визначення.

2) Абстрактно-дедуктивний:

o Введення визначення вчителем.

o Розгляд спеціальних та окремих випадків.

o Формування вміння підводити об'єкт під поняття та виводити первинні слідства.

При введенні поняття першим шляхом учні краще розуміють мотиви вступу, вчаться будувати визначення та розуміти важливість кожного слова у ньому. При введенні поняття другим шляхом економиться велика кількість часу, що теж важливо.

3) Комбінований . Використовується для складніших понять математичного аналізу. На основі невеликої кількості конкретних прикладів дається визначення поняття. Потім шляхом вирішення завдань, у яких варіюються несуттєві ознаки, і шляхом зіставлення даного поняття з конкретними прикладами продовжується формування поняття.

1.6 Основні етапи вивчення поняття у школі

У літературі виділяють три основні етапи вивчення понять у школі:

1. При введення поняття використовується один із трьох вищевикладених способів. Під час цього етапу слід врахувати таке:

· Насамперед, необхідно забезпечити мотивацію запровадження даного поняття.

· При побудові системи завдань на підведення під поняття забезпечити найповніший обсяг поняття.

· Важливо показати, що обсяг поняття - не пусте безліч.

· Розкрити зміст поняття, працювати над суттєвими ознаками, виділяючи несуттєві.

· Крім знання визначення, бажано, щоб учні мали зорове уявлення про поняття.

· Засвоєння термінології та символіки.

Підсумком цього етапу є формулювання визначення, засвоєння якого - зміст наступного етапу. Засвоїти визначення поняття означає опанувати діями розпізнавання об'єктів, що належать поняттю, виведення наслідків із належності об'єкта поняттю, конструювання об'єктів, які стосуються обсягу поняття.

2. На етапі засвоєння визначення продовжується робота над запам'ятовуванням визначення. Досягатися це може за допомогою наступних прийомів:

· Виписування визначень у зошит.

· Промовляння, підкреслення або якась нумерація істотних властивостей.

· Використання контрприкладів для виконання правил сумісності.

· Підбір відсутніх слів у визначенні, пошук зайвих слів.

· Навчання наводити приклади та контрприклади.

· Навчання застосування визначення у найпростіших, але досить характерних ситуаціях, так як багаторазове повторення визначення поза розв'язанням задач неефективно.

· Вказати на можливість різних визначень, довести їхню еквівалентність, але для запам'ятовування вибрати лише одне.

· Вчити конструювати визначення, використовувати для цього складання родоводів, роз'яснюючи логічну структуру; знайомити із правилами побудови визначення.

· Подібні пари понять давати в порівнянні та зіставленні.

Таким чином, кожна істотна властивість поняття, що використовується у визначенні, на даному етапі стає спеціальним об'єктом вивчення.

3.Наступний етап - закріплення . Поняття вважатимуться сформованим, якщо учні відразу дізнаються їх у завданні без будь-якого перебирання ознак, тобто процес підведення під поняття згорнуть. Досягти цього можна такими шляхами:

· Застосування визначення у складніших ситуаціях.

· Включення нового поняття у логічні зв'язки, відносини з іншими поняттями (наприклад, зіставлення родоводів, класифікацій).

· Бажано показати, що визначення дається не заради його самого, а для того, щоб воно «працювало» при вирішенні завдань та побудові нової теорії.

Розділ 2
Психолого-педагогічні особливості навчання математики у 5-6 класах

2.1 Особливості пізнавальної діяльності

Сприйняття. Школяр 5-6 класів має достатній рівень розвитку сприйняття. У нього високий рівень гостроти зору, слуху, орієнтування на форму та колір предмета.

Процес навчання висуває нові вимоги до сприйняття школяра. У процесі сприйняття навчальної інформації необхідні довільність та свідомість діяльності учнів. Спочатку дитину приваблює сам предмет і насамперед зовнішні яскраві ознаки. Але діти вже можуть зосередитися і старанно розглянути всі властивості предмета, виділити у ньому головне, істотне. Ця особливість проявляється у процесі навчальної діяльності. Вони можуть аналізувати групи фігур, упорядковувати предмети за різними ознаками, проводити класифікацію фігур за однією або двома властивостями цих фігур.

У школярів цього віку виникає спостереження як спеціальна діяльність, розвивається спостережливість як характеристика характеру.

Процес формування поняття - поступовий процес, перших стадіях якого значної ролі грає чуттєве сприйняття об'єкта.

Пам'ять. Школяр 5-6 класів здатний керувати своїм довільним запам'ятовуванням. Здатність до запам'ятовування повільно, але поступово зростає.

У віці пам'ять перебудовується, переходячи від домінування механічного запам'ятовування до смислового. У цьому перебудовується сама смислова пам'ять. Вона набуває опосередкованого характеру, обов'язково включається мислення. Тому необхідно учнів вчити правильно міркувати, щоб запам'ятовування базувався на розумінні пропонованого матеріалу.

Заодно з формою змінюється і змістом запам'ятовування. Стає доступнішим запам'ятовування абстрактного матеріалу.

Увага. Процес оволодіння знаннями, вміннями, навичками вимагає постійного та ефективного самоконтролю учнів, що можливо лише за сформованості досить високого рівня довільної уваги.

Школяр 5-6 класів цілком може керувати своєю увагою. Він добре концентрує увагу на значимій йому діяльності. Тому необхідно підтримувати інтерес школяра до вивчення математики. У цьому доцільно спиратися на допоміжні кошти (предмети, малюнки, таблиці).

У школі на уроках потребує підтримки з боку вчителя.

Уява. У процесі навчальної діяльності учень отримує багато описових відомостей. Це від нього постійного відтворення образів, яких неможливо зрозуміти і засвоїти навчальний матеріал, тобто. відтворюючу уяву учнів 5-6 класів від початку навчання включено в цілеспрямовану діяльність, що сприяє його психічному розвитку.

При розвитку в дитини здатності керувати своєю розумовою діяльністю уяву стає дедалі керованим процесом.

У школярів 5-6 класів уява може перетворитися на самостійну внутрішню діяльність. Вони можуть програвати в умі розумові завдання з математичними знаками, оперувати значеннями та смислами мови, поєднуючи дві вищі психічні функції: уяву та мислення.

Усі зазначені вище особливості створюють ґрунт у розвиток процесу творчої уяви, у якому велику роль грають спеціальні знання учнів. Ці знання становлять основу у розвиток творчої уяви й у наступні вікові періоди життя школяра.

Мислення. Все більшого значення починає набувати теоретичне мислення, здатність встановлювати максимальну кількість смислових зв'язків у навколишньому світі. Школяр психологічно занурений у реальності предметного світу, образно-знакових систем. Досліджуваний у школі матеріал стає йому умовою для побудови та перевірки своїх гіпотез.

У 5-6 класах у школяра виробляється формальне мислення. Школяр цього віку вже може розмірковувати, не пов'язуючи себе з конкретною ситуацією.

Вчені вивчали питання про розумові можливості школярів 5-6 класів. Через війну досліджень виявилося, що розумові можливості дитини ширше, ніж передбачалося раніше, і за створенні відповідних умов, тобто. за спеціальної методичної організації навчання, учень 5-6 класів може засвоїти абстрактний математичний матеріал.

Як видно з вищевикладеного, психічні процеси характеризуються віковими особливостями, знання та облік яких необхідні для організації успішного навчання та розумового розвитку учнів.

2.2 Психологічні аспекти формування понять

Звернемося до психологічної літератури та з'ясуємо основні положення концепції формування наукових понять.
У навчальному посібнику йдеться про неможливість передачі поняття у готовому вигляді. Дитина може отримати його лише внаслідок своєї власної діяльності, спрямованої не так на слова, але в ті предмети, уявлення про які ми хочемо в нього сформувати.
Становлення понять - це формування не лише особливого зразка світу, а й певної системи дій. Події, операції та складають психологічний механізм понять. Без них поняття не може бути ні засвоєним, ні застосованим надалі до вирішення завдань. Через це особливості сформованих понять неможливо знайти зрозумілі без звернення до дій, продуктом яких є. І необхідно формувати такі види дій, використовуваних щодо понять:
· Дія розпізнавання використовується, коли поняття засвоюється для розпізнавання об'єктів, що належать до даного класу. Дана дія може бути застосована при формуванні понять з кон'юнктивною та диз'юнктивною логічною структурою.
· Виведення наслідків.
· Порівняння.
· Класифікація.
· Дії, пов'язані з встановленням ієрархічних відносин всередині системи понять та інші.
Розглядається також роль визначення поняття в процесі його засвоєння. Визначення - орієнтовна основа оцінки предметів, із якими взаємодіє учень. Так, отримуючи визначення кута, учень може тепер аналізувати різні предмети з погляду наявності чи відсутності у яких ознак кута. Така реальна робота створює у голові учня образ предметів даного класу. Таким чином, отримання визначення - це лише перший крокна шляху засвоєння поняття.
Другий крок -включення визначення поняття в ті дії учнів, які вони виконують з відповідними об'єктами та за допомогою яких будують у своїй голові поняття про ці об'єкти.
Третій кроку тому, щоб навчити школярів орієнтуватися утримання визначення і під час різних дій з об'єктами. Якщо це не забезпечено, то в одних випадках учні спиратимуться на властивості, які вони самі виділили в об'єктах, в інших випадках діти можуть використовувати лише частину цих властивостей; по-третє - можуть додати до зазначених ухвал свої.
Умови, що забезпечують управління процесом засвоєння поняття й
1. Наявність адекватної дії: вона має бути спрямована на суттєві властивості.
2. Знання складу використовуваної дії. Наприклад, дія розпізнавання включає: а) актуалізацію системи необхідних та достатніх властивостей поняття; б) перевірку кожного з них у запропонованих об'єктах; в) оцінку одержаних результатів.
3. Представленість всіх елементів дій у зовнішній, матеріальної формі.
4. Поетапне формування введеної дії.
5. Наявність поопераційного контролю за засвоєння нових форм дії.
Н.Ф. Тализіна докладно зупиняється на поетапному формуванні понять. Після виконання 5-8 завдань із реальними предметами чи моделями учні без жодного заучування запам'ятовують і ознаки поняття, і правило дії. Потім дія переводиться у зовнішньомовну форму, коли завдання даються письмово, а ознаки понять, правила і розпорядження називаються чи записуються учнями з пам'яті.
У тому випадку, коли дія легко і правильно виконується у зовнішньомовній формі, її можна перевести у внутрішню форму. Завдання дається письмово, а відтворення ознак, їх перевірку, порівняння отриманих результатів із правилом учні роблять для себе. Спочатку контролюється правильність кожної операції та кінцевої відповіді. Поступово контроль здійснюється лише за кінцевим результатом у міру потреби.
Якщо дію виконується правильно, його переводять на розумовий етап: учень сам і виконує, і контролює дію. Контроль із боку учня передбачено лише за кінцевим продуктом дій. Допомога учня отримує за наявності труднощів або невпевненості у правильності результату. Процес виконання тепер прихований, дія стала цілком розумовою.
Так поступово відбувається перетворення дії формою. Перетворення за узагальненістю забезпечується спеціальним підбором завдань
Подальше перетворення дії досягається повторюваністю однотипних завдань. Робити це доцільно лише на останніх етапах. На всіх інших етапах дається лише така кількість завдань, що забезпечує засвоєння впливу у цій формі.
Вимоги до змісту та форми завдань
1. При складанні завдань слід орієнтуватися на нові дії, які формуються.
2. Друга вимога до завдань – відповідність форми етапу засвоєння. Наприклад, на перших етапах об'єкти, з якими працюють учні, мають бути доступними для реального перетворення.
3. Кількість завдань залежить від мети та складності діяльності, що формується.
4. При доборі завдань необхідно враховувати, що перетворення дії не лише формою, а й у міру узагальненості, автоматизації тощо.
Було проведено багато експериментів, коли реалізовувалися зазначені умови. У всіх випадках, стверджує Н. Ф. Тализіна, поняття формувалися не лише із заданим змістом, а й високими показниками за такими характеристиками:
· Розумність дій піддослідних;
· усвідомленість засвоєння;
· Упевненість учнів у знаннях та діях;
· Відсутність пов'язаності чуттєвими властивостями предметів;
· Узагальненість понять та дій;
· Міцність сформованих понять та дій.
Отже, у дитини поступово формується певний образ предметів цього класу. Поняття дійсно не можна дати у готовому вигляді, воно може бути побудоване лише самим учнем шляхом виконання певної системи дій із предметами. Вчитель допомагає учневі сформувати цей образ зі змістом, що випереджає суттєві властивості предметів даного класу, і ставить суспільно вироблену думку на предмети, з якими працює учень. Поняття - це продукт дій, виконуваних учнем із предметами даного класу.

2.3 Деякі педагогічні особливості навчання математики у 5-6 класах

Провідною ідеєю сучасної концепції шкільної освіти є ідея гуманізації, що ставить у центр процесу навчання учня з його інтересами та можливостями, що вимагає врахування особливостей його особистості. Головними напрямами математичної освіти є посилення загальнокультурного звучання та підвищення його значущості для формування особистості підростаючої людини. Основні ідеї, покладені основою курсу математики 5-6 класу - це загальнокультурна орієнтація змісту, інтелектуальний розвиток учнів засобами математики на матеріалі, що відповідає інтересам та можливостям дітей 10-12 років.

Курс математики 5-6 класів – важлива ланка математичної освіти та розвитку школярів. На цьому етапі закінчується в основному навчання рахунку на безлічі раціональних чисел, формується поняття змінної і даються перші знання про прийоми розв'язання лінійних рівнянь, продовжується навчання розв'язання текстових завдань, удосконалюються та збагачуються вміння геометричних побудов та вимірювань. Серйозну увагу приділяється формуванню вміння розмірковувати, робити прості докази, давати обґрунтування виконуваних дій. Паралельно закладаються основи вивчення систематичних курсів стереометрії, фізики, хімії та інших суміжних предметів.

Курс математики 5-6 класів є органічною частиною всієї шкільної математики. Тому основною вимогою до його побудови є структурування змісту на єдиній ідейній основі, яка, з одного боку, є продовженням та розвитком ідей, реалізованих під час навчання математики у початковій школі, і, з іншого боку, служить подальшому вивченню математики у старших класах.

Продовжується розвиток всіх змістовно-методичних ліній курсу початкової математики: числової, алгебраїчної, функціональної, геометричної, логічної, аналіз даних. Вони реалізовані на числовому, алгебраїчному, геометричному матеріалі.

Останнім часом суттєво переглянуто вивчення геометрії. Метою вивчення геометрії у 5-6 класах є пізнання навколишнього світу мовою та засобами математики. З допомогою побудов та вимірів учні виявляють різні геометричні закономірності, які формулюють як речення, гіпотезу. Доказовий аспект геометрії у проблемному плані - учням прищеплюється думка, що експериментальним шляхом можна відкрити багато геометричні факти, але ці факти стають математичними істинами лише тоді, коли вони встановлені засобами, прийнятими в математиці.

Таким чином, геометричний матеріал у цьому курсі може бути охарактеризований як наочно-діяльнісна геометрія. Навчання організується як процес інтелектуально-практичної діяльності, спрямованої на розвиток просторових уявлень, образотворчих умінь, розширення геометричного кругозору, у ході якого найважливіші властивості геометричних постатей виходять за допомогою досвіду та здорового глузду.

Досить новою в курсі 5-6 класів є змістовна лінія. Аналіз даних », яка поєднує у собі три напрями: елементи математичної статистики, комбінаторику, теорію ймовірностей. Введення цього матеріалу продиктовано життям. Його вивчення спрямовано формування у школярів як загальної імовірнісної інтуїції, і конкретних способів оцінки даних. Основне завдання у цій ланці - формування відповідного словника, навчання найпростішим прийомам збору, подання та аналізу інформації, навчання розв'язання комбінаторних завдань перебором можливих варіантів, створення елементарних уявлень про частоту та ймовірність випадкових подій.

Однак дана лінія є не у всіх сучасних шкільних підручниках для 5-6 класів. Особливо докладно та яскраво представлена ​​дана лінія у підручниках.

Алгебраїчний матеріал, включений у курс математики 5-6 класів, є основою систематичного вивчення алгебри у старших класах. Можна відзначити такі особливості вивчення цього матеріалу алгебри:

1. Вивчення алгебраїчного матеріалу засноване на науковій основі з урахуванням вікових особливостей та можливостей учнів.

Лекція №2

з математики

Тема: "Математичні поняття"

Математичні поняття

Визначення понять

Вимоги до визначення понять

Деякі види визначень

1. Математичні поняття

Поняття, які вивчаються в початковому курсі математики, зазвичай представляють у вигляді чотирьох груп. У першу включаються поняття, пов'язані з числами та операціями над ними: число, додавання, доданок, більше та ін. У другу входять алгебраїчні поняття: вираз, рівність, рівняння та ін. д. Четверту групу утворюють поняття, пов'язані з величинами та його виміром.

Як же вивчити таку різноманітність різних понять?

Насамперед, треба мати уявлення про поняття як логічну категорію та особливості математичних понять.

У логіці поняття розглядають як форму думки, що відображає об'єкти (предмети або явища) у їх суттєвих та загальних властивостях. Мовною формою поняття є слово чи група слів.

Скласти уявлення про об'єкт - це означає вміти відрізнити його з інших схожих із нею об'єктів. Математичні поняття мають низку особливостей. Головна у тому, що математичні об'єкти, про які потрібно скласти поняття, насправді немає. Математичні об'єкти створені розумом людини. Це ідеальні об'єкти, що відбивають реальні предмети чи явища. Наприклад, у геометрії вивчають форму та розміри предметів, не зважаючи на інші їх властивості: колір, масу, твердість тощо. Від цього відволікаються, абстрагуються. Тому в геометрії замість слова "предмет" кажуть "геометрична фігура".

Результатом абстрагування є такі математичні поняття, як «число» і «величина».

Взагалі математичні об'єкти існують лише у мисленні людини й у знаках і знаках, які утворюють математичну мову.

До сказаного можна додати, що, вивчаючи просторові форми і кількісні відносини матеріального світу, математика як користується різними прийомами абстрагування, а й саме абстрагування постає як многоступенчатый процес. У математиці розглядають як поняття, що виникли щодо реальних предметів, а й поняття, що виникли з урахуванням перших. Наприклад, загальне поняття функції як відповідності узагальнення понять конкретних функцій, тобто. абстракції від абстракцій.

Щоб оволодіти загальними підходами до вивчення понять у початковому курсі математики, вчителю необхідні знання про обсяг і зміст поняття, про відносини між поняттями та види визначень понять.

2. Обсяг та зміст поняття. Відносини між поняттями

Кожен математичний об'єкт має певні властивості. Наприклад, квадрат має чотири сторони, чотири прямі кути, рівні діагоналі. Можна вказати інші його властивості.

Серед властивостей об'єкта розрізняють суттєві та несуттєві. Властивість вважають суттєвим для об'єкта, якщо вона притаманна цьому об'єкту і без нього не може існувати. Наприклад, для квадрата важливими є всі властивості, названі вище. Несуттєва для квадрата ABCD властивість "сторона AD горизонтальна". Якщо квадрат повернути, то сторона AD виявиться розташованою інакше (рис. 26).

Тому, щоб розуміти, що є даний математичний об'єкт, треба знати його суттєві властивості.

Коли говорять про математичне поняття, зазвичай мають на увазі безліч об'єктів, що позначаються одним терміном (словом або групою слів). Так, говорячи про квадрат, мають на увазі всі геометричні фігури, що є квадратами. Вважають, що багато квадратів становить обсяг поняття «квадрат».

Взагалі Обсяг поняття - це безліч всіх об'єктів, що позначаються одним терміном.

Будь-яке поняття має як обсяг, а й зміст.

Розглянемо, наприклад, поняття прямокутник.

Обсяг поняття - це безліч різних прямокутників, а його зміст входять такі властивості прямокутників, як «мати чотири прямі кути», «мати рівні протилежні сторони», «мати рівні діагоналі» і т.д.

Між обсягом поняття та його змістом існує взаємозв'язок: якщо збільшується обсяг поняття, то зменшується його зміст та навпаки. Так, наприклад, обсяг поняття «квадрат» є частиною обсягу поняття «прямокутник», а зміст поняття «квадрат» містить більше властивостей, ніж зміст поняття «прямокутник» («всі сторони рівні», «діагоналі взаємно перпендикулярні» та інших. ).

Будь-яке поняття не можна засвоїти, не усвідомивши його взаємозв'язку коїться з іншими поняттями. Тому важливо знати, у яких відносинах можуть бути поняття, і вміти встановлювати ці зв'язки.

Відносини між поняттями тісно пов'язані з відносинами між їхніми обсягами, тобто. множинами.

Умовимося поняття позначати малими літерами латинського алфавіту: а, b, с,..., z.

Нехай задані два поняття а та b. Обсяги їх позначимо відповідно до А і В.

Якщо А В (А ≠ В), то кажуть, що поняття а - видове по відношенню до поняттяb, а поняття b- родове по відношенню до поняття а.

Наприклад, якщо а – «прямокутник», b – «чотирикутник», то їх обсяги А і В знаходяться щодо включення (А В і А ≠ В), оскільки кожен прямокутник є чотирикутником. Тому можна стверджувати, що поняття "прямокутник" - видове по відношенню до поняття "чотирикутник", а поняття "чотирикутник" - родове по відношенню до поняття "прямокутник".

Якщо А = В, то кажуть, що поняття а іbтотожні.

Наприклад, тотожні поняття «рівносторонній трикутник» та «рівнокутний трикутник», оскільки їх обсяги збігаються.

Якщо множини А і В не пов'язані ставленням включення, то кажуть, що поняття а і b не є родом і видом і не тотожні. Наприклад, не пов'язані такими відносинами поняття «трикутник» та «прямокутник».

Розглянемо докладніше відношення роду та виду між поняттями. По-перше, поняття роду та виду відносні: одне й те саме поняття може бути родовим по відношенню до одного поняття та видовим по відношенню до іншого. Наприклад, поняття "прямокутник" - родове по відношенню до поняття "квадрат" і видове по відношенню до поняття "чотирикутник".

По-друге, для цього поняття часто можна вказати кілька пологів. Так, для поняття «прямокутник» родовими є поняття «чотирьохкутник», «паралелограм», «багатокутник». Серед них можна вказати найближче. Для поняття «прямокутник» найближчим є поняття «паралелограм».

По-третє, видове поняття має всі властивості родового поняття. Наприклад, квадрат, будучи видовим поняттям стосовно поняття «прямокутник», має всі властивості, властиві прямокутнику.

Оскільки обсяг поняття - безліч, зручно, встановлюючи відносини між обсягами понять, зображати їх з допомогою кіл Ейлера.

Встановимо, наприклад, відносини між наступними парами понять а та Ь, якщо:

1) а – «прямокутник», b – «ромб»;

2) а – «багатокутник», b – «паралелограм»;

3) а – «пряма», b – «відрізок».

У разі 1) обсяги понять перетинаються, але не одна множина не є підмножиною іншої (рис. 27).

Отже, можна стверджувати, що дані поняття а та b не знаходяться щодо роду та виду.

Що стосується 2) обсяги даних поняття перебувають у відношенні включення, але з збігаються - кожен паралелограм є багатокутником, але з навпаки (рис. 28). Отже, можна стверджувати, що поняття "паралелограм" - видове по відношенню до поняття "багатокутник", а поняття "багатокутник" - родове по відношенню до поняття "паралелограм".

У разі 3) обсяги понять не перетинаються, оскільки ні про один відрізок не можна сказати, що він є прямим, і жодна пряма не може бути названа відрізком (рис. 29).

Отже, дані поняття не знаходяться щодо роду та виду.

Про поняття «пряма» та «відрізок» можна сказати, що вони знаходяться щодо цілого та частини:відрізок-частина прямий, а чи не її вид. І якщо видове поняття має всі властивості родового поняття, то частина не обов'язково має всі властивості цілого. Наприклад, відрізок не має таку властивість пряму, як її нескінченність.

Лекція 7. Математичні поняття

1. Групи понять, що вивчаються у початковому курсі математики. Особливості математичних понять.

2. Обсяг та зміст поняття.

3. Відносини між поняттями.

4. Операції з поняттями: узагальнення, обмеження, визначення та розподіл поняття.

5. Правила, необхідні при формулюванні визначення понять через рід та видову відмінність.

6. Контекстуальні та остенсивні визначення. Опис, порівняння.

Групи понять, що вивчаються у початковому курсі математики. Особливості математичних понять.

Поняття, що вивчаються у початковому курсі математики, зазвичай представляють у вигляді чотирьох груп. В першувключаються поняття пов'язані з числами та операціями над ними: число, додавання, доданок, більше та ін. У другувходять алгебраїчні поняття: вираз, рівність, рівняння та ін. Третюскладають геометричні поняття: пряма, відрізок, трикутник тощо. Четвертугрупу утворюють поняття, пов'язані з величинами та їх виміром.

Як же вивчати таку різноманітність найрізноманітніших понять?

Насамперед, треба мати уявлення про поняття як логічну категорію та особливості математичних понять.

У логіці поняттярозглядають як форму думки, відображає об'єкти(Предмети або явища) у їх суттєвих та загальних властивостях. Мовною формою поняття є словоабо група слів.

Скласти поняття про об'єкт- це означає вміти відрізнити його з інших схожих із нею об'єктів.

Математичні поняття мають низку особливостей. Головна у тому, що математичні об'єкти, про які потрібно скласти поняття, насправді немає. Математичні об'єкти створені розумом людини. Це ідеальні об'єкти, що відбивають реальні предмети чи явища. Наприклад, у геометрії вивчають форму та розміри предметів, не зважаючи на інші їх властивості: колір, масу, твердість тощо. Від цього відволікаються, абстрагуються. Тому в геометрії замість слова "предмет" кажуть "геометрична фігура".

Результатом абстрагування є такі математичні поняття, як «число» і «величина».

Взагалі математичні об'єкти існують лише у мисленні людиниі в тих знаках та символах, які утворюють математичну мову.

До сказаного можна додати, що, вивчаючи просторові форми та кількісні відносиниматеріального світу, математика не тільки користується різними прийомами абстрагування, Але й саме абстрагування постає як багатоступінчастий процес. В математиці розглядають як поняття, що виникли щодо реальних предметів, а й поняття, що виникли з урахуванням перших. Наприклад, загальне поняття функції як відповідності узагальнення понять конкретних функцій, тобто. абстракції від абстракцій.

Щоб оволодіти загальними підходами до вивчення понять у початковому курсі математики, вчителю необхідні знання про обсяг і зміст поняття, про відносини між поняттями та види визначень понять.

2. Обсяг та зміст поняття

Кожен математичний об'єкт має певні властивості. Наприклад, квадрат має чотири сторони, чотири прямі кути, рівні діагоналі. Можна вказати інші його властивості.

Серед властивостей об'єктурозрізняють суттєвіі несуттєві.

Властивість вважають істотнимдля об'єкта, якщо воно притаманне цьому об'єкту і без нього не може існувати. Наприклад, для квадрата важливими є всі властивості, названі вище. Несуттєва для квадрата ABCD властивість "сторона AD горизонтальна". Якщо квадрат повернути, то сторона AD виявиться розташованою інакше (рис. 26). Тому, щоб розуміти, що є даний математичний об'єкт, треба знати його суттєві властивості.

Коли говорять про математичне поняття, зазвичай мають на увазі безліч об'єктів, що позначаються одним терміном (словом або групою слів). Так, говорячи про квадрат, мають на увазі всі геометричні фігури, що є квадратами. Вважають, що багато квадратів становить обсяг поняття «квадрат».

Будь-яке поняття характеризується словом, обсягом та змістом.

Обсяг поняття а - це безліч всіх об'єктів, які можна назвати цим словом (терміном)

приклад. Виділимо обсяг та зміст поняття «прямокутник».

Обсяг поняття- це безліч різних прямокутників, а в його зміствходять такі властивості прямокутників, як «мати чотири прямі кути», «мати рівні протилежні сторони», «мати рівні діагоналі» тощо.

Між обсягом поняття та його змістом існує взаємозв'язок: якщо збільшується обсяг поняття, то зменшується його зміст і навпаки.Так, наприклад, обсяг поняття «квадрат» є частиною обсягу поняття «прямокутник», а зміст поняття «квадрат» містить більше властивостей, ніж зміст поняття «прямокутник» («всі сторони рівні», «діагоналі взаємно перпендикулярні» та інших. ).

Будь-яке поняття не можна засвоїти, не усвідомивши його взаємозв'язку коїться з іншими поняттями.Тому важливо знати, у яких відносинах можуть бути поняття, і вміти встановлювати ці зв'язки.