Первісна функції з модулем завдання.

Поняття невизначеного інтеграла і його властивості. Таблиця інтегралів

Первісна функція

Означення: Функція F (x) називається первообразной функцієюфункції f (x) на відрізку, якщо в будь-якій точці цього відрізка вірно рівність: F '(x) = f (x).

Треба відзначити, що первісних для однієї і тієї ж функції може бути нескінченно багато. Вони будуть відрізнятися один від одного на деякий постійне число.

F1 (x) = F2 (x) + C.

Невизначений інтеграл та його безпосереднє обчислення

Визначення: Невизначеним інтегралом функції f (x) називається сукупність первісних функцій, які визначені співвідношенням: F (x) + C.

Записують: ∫ f (x) dx = F (x) + C;

умовою існування невизначеного інтегралана деякому відрізку є безперервність функції на цьому відрізку.

Властивості невизначеного інтеграла.

1. (∫ f (x) dx) '= (F (x) + C)' = f (x);

2. d (∫ f (x) dx) = f (x) dx;

3. ∫ dF (x) = F (x) + C;

4. ∫ (u + v - w) dx = ∫ udx + ∫ vdx - ∫ wdx; де u, v, w - деякі функції від х.

5. ∫ C f (x) dx = C ∫ f (x) dx;

Знаходження значення невизначеного інтеграла пов'язано головним чином з перебуванням первісної функції. Для деяких функцій це досить складне завдання. Нижче будуть розглянуті способи знаходження невизначених інтегралів для основних класів функцій

- раціональних, ірраціональних, тригонометричних, показових і ін.

Для зручності значення невизначених інтегралів більшості елементарних функцій зібрані в спеціальні таблиці інтегралів, які бувають іноді дуже об'ємними. У них включені різні найбільш часто зустрічаються комбінації функцій. Але більшість представлених в цих таблицях формул є наслідками один одного, тому нижче наведемо таблицю основних інтегралів, за допомогою якої можна отримати значення невизначених інтегралів різних функцій.

1.∫ dx

X + C

2.∫ x

x α +1

(Α ≠ - 1)

dx =

α + 1

. ∫ dx x

4.∫ a

dx =

C, (a> 0)

ln a

5. ∫ e x dx = e x + C

.∫ sin

= - cos x + C

.∫ cos

Sin x + C

8. ∫ tg x dx = - ln

cos x

9. ∫ ctg x dx

16 .∫

x + C

ch 2 x

. ∫ sin x = ln

tg 2

17 .∫

= - ctg

x + C

sh 2 x

C, a ≠ 0

∫ cos

.∫

19 .∫

a + x

C, a ≠ 0

= - ctg x + C

- x 2

ln a - x

sin 2 x

.∫

x + C

20 .∫

Arcsin

. ∫ sh x dx

x + C

21 .∫

Ln x +

± k + C

. ∫ ch

Sh x + C

± k

Розглянемо три основні методи інтегрування.

1. Безпосереднє інтегрування

Метод безпосереднього інтегрування заснований на припущенні про можливе значенні первісної функції з подальшою перевіркою цього значення дифференцированием. Взагалі, зауважимо, що диференціювання є потужним інструментом перевірки результатів інтегрування.

Розглянемо застосування цього методу на прикладі:

Потрібно знайти значення інтеграла ∫ dx x. На основі відомої формули диференціювання (ln x) '= 1 x можна зробити висновок, що шуканий інтеграл дорівнює ln x + C, де

З - деяке постійне число. Однак, з іншого боку (ln (- x)) '= - 1 x (- 1) = 1 x. Таким

чином, остаточно можна зробити висновок: ∫ dx x = ln x + C

Зауважимо, що на відміну від диференціювання, де для знаходження похідної використовувалися чіткі прийоми і методи, правила знаходження похідної, нарешті визначення похідної, для інтегрування такі методи недоступні. Якщо при знаходженні похідної ми користувалися, так би мовити, конструктивними методами, які, базуючись на певних правилах, приводили до результату, то при знаходженні первісної доводиться в основному спиратися на знання таблиць похідних і первісних.

Що стосується методу безпосереднього інтегрування, то він застосовується лише для деяких дуже обмежених класів функцій. Функцій, для яких можна з ходу знайти первісну дуже мало. Тому в більшості випадків застосовуються способи, описані нижче.

2. Спосіб підстановки (заміни змінних)

Теорема: Якщо потрібно знайти інтеграл ∫ f (x) dx, але складно відшукати первісну, то за допомогою заміни x = φ (t) і dx = φ '(t) dt виходить:

∫ f (x) dx = ∫ f (φ (t)) φ '(t) dt

Доказ: Продифференцируем пропоноване рівність: d ∫ f (x) dx = d (∫ f [φ (t)] φ '(t) dt)

За розглянутому вище властивості №2 невизначеного інтеграла: f (x) dx = f [φ (t)] φ '(t) dt

що з урахуванням введених позначень і є вихідним припущенням. Теорема доведена.

Приклад. Знайти невизначений інтеграл ∫ sin x cos xdx.

Зробимо заміну t = sinx, dt = cosxdt.

∫ tdt = ∫ t1 / 2 dt =

2 t 3/2

2 sin 3/2

x + C.

Приклад. ∫ x (x2 + 1)

3/2 dx.

Заміна t = x 2 + 1;

dt = 2 xdx;

dx =

; отримуємо:

∫ t 3/2

∫ t 3/2 dt =

t 5/2

(X 2 + 1) 5/2

3. Інтегрування по частинах

Спосіб заснований на відомій формулі похідною твори: (uv) '= u' v + v 'u, де u і v - деякі функції від х.

У диференціальної формі: d (uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, отримуємо: ∫ d (uv) = ∫ udv + ∫ vdu, а відповідно до наведених вище властивостями невизначеного інтеграла: uv = ∫ udv + ∫ vdu або ∫ udv = uv - ∫ vdu;

Отримали формулу інтегрування частинами, яка дозволяє знаходити інтеграли багатьох елементарних функцій.

	∫ x	u = x2; dv = sin xdx;		= - x	cos x + ∫ cos x 2 xdx =
	∫ x			= - x	cos x + ∫ cos x 2 xdx =
		du = 2 xdx; v = - cos x
U = x;	dv = cos xdx;	= - x 2 cos x + 2 [x sin x -	∫ sin xdx] = - x 2 cos x + 2x sin x + 2cos x + C.
du = dx; v = sin x

Як видно, послідовне застосування формули інтегрування частинами дозволяє поступово спростити процедуру і привести інтеграл до табличного.

u = e2 x;	du = 2 e2 x dx;		E2 x sin x - ∫ sin x 2 e2 x dx =
Приклад. ∫ e 2 x cos xdx =
dv = cos xdx;		v = sin x

u = e2 x;	du = 2 e2 x dx;	E 2 x sin x - 2 [- e 2 x cos x - ∫ - cos x 2e 2 x dx] = e 2 x sin x +

dv = sin xdx; v = - cos x;

2 e 2 x cos x - 4∫ cos xe 2 x dx