Загальний вигляд системи

, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - коефіцієнти системи; - вільні члени; - змінні;

Якщо все = 0, система називається однорідною.

Загальне рішення системи лінійних рівнянь

визначення 1. однорідної системою mлінійних алгебраїчних рівнянь для nневідомих називається система рівнянь

виду (1) або в матричному вигляді (2)

де А-задає матриця з коефіцієнтів розміром mxn,

Стовпець n невідомих, - нульовий стовпець висоти m.

Однорідна система завжди сумісна (розширена матриця збігається з А) і має очевидні рішення: х 1 = х 2 = ... = х n = 0.

Це рішення називається нульовим або тривіальним. Будь-яке інше рішення, якщо воно є, називається нетривіальним.

теорема 1. Якщо ранг матриці А дорівнює числу невідомих, то система (1) має єдине (тривіальне) рішення.

Дійсно, відповідно до теореми Крамера, r = n і рішення єдине.

теорема 2. Для того щоб однорідна система мала ненульовий розв'язок, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи був менше числа невідомих ( випливає з теореми про кількість рішень).

Þ якщо є ненульові рішення, то рішення не єдине, то визначник системи дорівнює нулю, то r

Ü якщо r

теорема 3. Однорідна система n рівнянь з n невідомими має ненульовий розв'язок тоді і тільки тоді, коли detA = 0.

Þ якщо є ненульові рішення, то рішень нескінченно багато, тоді відповідно до теореми про кількість рішень r

Ü якщо detA = 0, то r

теорема 4. Для того щоб однорідна система мала ненульовий розв'язок, необхідно, щоб число рівнянь системи було менше числа невідомих.

Так як ранг матриці з коефіцієнтів не може бути більшою за кількість її рядків (як і числа стовпців), то r

визначення 2. Змінні системи, розташовані на базисних шпальтах вихідної матриці коефіцієнтів, називають базисними змінними, А інші змінні системи називають вільними.

визначення 4. приватним рішеннямнеоднорідної системи АХ = В називають вектор стовпець Х, отриманий при нульовихзначеннях вільнихзмінних.

теорема 6. Загальне рішення неоднорідної системилінійних рівнянь АХ = В має вигляд, де - деяке приватне рішення системи рівнянь АХ = В, а - ФСР однорідної системи АХ = 0.

Неоднорідною системою лінійних рівнянь називається система виду:

Її розширена матриця.

Теорема (про спільне вирішення неоднорідних систем).
Нехай (тобто система (2) сумісна), тоді:

· Якщо, де - число змінних системи (2), то рішення (2) існує і він єдиний;

· Якщо, то загальне рішення системи (2) має вигляд, де - загальне рішення системи (1), зване загальним однорідним рішенням, - приватне рішення системи (2), зване приватним неоднорідним рішенням.

Однорідної системою лінійних рівнянь називається система виду:

Нульове рішення системи (1) називається тривіальним рішенням.

Однорідні системи завжди сумісні, тому що завжди існує тривіальне рішення.

Якщо існує будь-ненульове рішення системи, то воно називається нетривіальним.

Рішення однорідної системи мають властивість лінійності:

Теорема (про лінійному вирішенні однорідних систем).
Нехай - рішення однорідної системи (1), - довільні константи. Тоді також є рішенням даної системи.

Теорема (про структуру спільного рішення).
Нехай, тоді:

· Якщо, де - число змінних системи, то існує тільки тривіальне рішення;

· Якщо, то існує лінійно незалежних рішень даної системи:, причому її загальне рішеннямає вигляд:, де - деякі константи.

2. Перестановки і підстановки. Визначник n-го порядку. Властивості визначників.

Визначення визначника - го порядку.

Нехай дана квадратна матриця - го порядку:

Визначення. Твір елементів матриці А, узятих по одному з кожного рядка і кожного стовпця називають членом визначника матриці А.3 Якщо у визначнику переставити місцями будь-які два рядки або два стовпці, то визначник змінює свій знак на протилежний. 4Еслі матриця містить нульову рядок (стовпець), то визначник цієї матриці дорівнює нулю.5 Якщо два рядки (стовпці) матриці рівні між собою, то визначник цієї матриці дорівнює нулю.6 Якщо два рядки (стовпці) матриці пропорційні один одному, то визначник цієї матриці дорівнює нулю.7 Визначник матриці трикутного вигляду дорівнює добутку елементів, що стоять на головній діагоналі.8 Якщо всі елементи k-ої рядки (стовпці) визначника представлені у вигляді сум a k j + b k j, То визначник можна представити у вигляді суми відповідних определітелей.9 Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якої його рядки (чи шпальти) додати відповідні елементи іншого рядка (або відповідного стовпчика), помножені на одне і теж чісло.10. нехай Aі B- квадратні матриці одного і того ж порядку. Тоді визначник твори матриць дорівнює добутку визначників:

1 | | | | | | | | | | |

Системи лінійних диф. рівнянь.

Система діф.уравненій називається лінійної,якщо вона лінійна щодо невідомих ф-ий і їх похідних. систему n-Лінійний рівнянь 1-го порядку записують у вигляді:

Коеф-ти системи є const.

Цю систему зручно записувати в матричної формі:,

де - вектор-стовпець невідомих ф-ий, що залежать від одного аргументу.

Вектор-стовпець похідних цих ф-ий.

Вектор-стовпець вільних членів.

Матриця коефіцієнтів.

Теорема 1:Якщо все коеф-ти матриці Абезперервні на деякому проміжку і, то в деякому околі кожної т. виконані умови ТСіЕ. Отже, через кожну таку точку проходить єдина інтегральна крива.

Дійсно, в такому випадку праві частини системи безперервні за сукупністю аргументів і їх приватні похідні по (рівні коеф-там матриці А) обмежені, в силу безперервності на замкнутому проміжку.

Методи рішення СЛДУ

1. Систему діф.уравненій можна звести шляхом виключення невідомих до одного рівняння.

приклад:Вирішити систему рівнянь: (1)

Рішення:виключаємо zз даних рівнянь. З першого рівняння маємо. Підставляючи в друге рівняння, отримуємо після спрощення: .

Дана система рівнянь (1) приведена до одного рівняння другого порядку. Після того, як з цього рівняння буде знайдено y, Слід знайти z, Користуючись рівністю.

2. При вирішенні системи рівнянь шляхом виключення невідомих зазвичай виходить рівняння вищого порядку, тому в багатьох випадках зручніше вирішувати систему шляхом відшукання інтегрованих комбінацій.

продовження 27б

приклад:вирішити систему

Рішення:

Вирішимо дану систему методом Ейлера. Запишемо визначник для знаходження характеристичного

рівняння:, (оскільки система однорідна, то для того, щоб вона мала не тривіальне рішення, треба, щоб цей визначник дорівнював нулю). Отримуємо харак-кое рівняння і знаходимо його корені:

Загальне рішення має вигляд: ;

- власний вектор.

Записуємо рішення для: ;

- власний вектор.

Записуємо рішення для: ;

Отримуємо загальне рішення: .

Виконаємо перевірку:

знайдемо: і підставляємо в перше рівняння даної системи, тобто .

отримуємо:

- вірне рівність.

Лінійні диф. рівняння n-го порядку. Теорема про спільне вирішення неоднорідного лінійного рівняння n-го порядку.

Лінійним діф.уравненіем n-го порядку наз-ся рівняння виду: (1)

Якщо в цьому ур-ии коеф-т, то, поділивши на нього, ми приходимо до рівняння: (2) .

Зазвичай розглядаються рівняння типу (2). Припустимо, що в ур-й (2) все коеф-ти, а також f (x)безперервні на деякому проміжку (A, b).Тоді згідно ТСіЕ рівняння (2) має єдине рішення, яке задовольняє початковим умовам:,, ..., при. Тут - будь-яка точка з проміжку (A, b),а все - будь-які задані числа. рівняння (2) задовольняє ТСіЕ , тому не має особливих рішень.

Опр .: особливимиточками є ті, в яких = 0.

Властивості лінійного рівняння:

1. Лінійне рівняння залишається таким при будь заміні незалежної змінної.
2. Лінійне рівняння залишається таким при будь-якої лінійної заміни шуканої функції.

Опр .:якщо в рівняння (2) покласти f (x) = 0, То вийде рівняння виду: (3) , Яке наз-ся однорідним рівняннямщодо неоднорідного рівняння (2).

Введемо в розгляд лінійний диф-й оператор: (4). За допомогою цього оператора можна переписати в короткій формі рівняння (2) і (3): L (y) = f (x), L (y) = 0.оператор (4) володіє наступними простими властивостями:

З цих двох властивостей можна вивести слідство:.

функція y = y (x)є рішенням неоднорідного рівняння (2), якщо L (y (x)) = f (x), тоді f (x)наз-ся рішенням рівняння. Значить рішенням рівняння (3) наз-ся функція y (x), якщо L (y (x)) = 0на розглянутих проміжках.

Розглянути. неоднорідне лінійне рівняння: , L (y) = f (x).

Припустимо, що ми знайшли будь-яким способом приватне рішення, тоді.

Введемо нову невідому функцію zза формулою:, де - приватне рішення.

Підставами її в рівняння:, розкриваємо дужки і отримуємо:.

Отримане рівняння можна переписати у вигляді:

Оскільки - приватне рішення вихідного рівняння, то, тоді.

Таким чином, ми отримали однорідне рівняння щодо z. Спільним рішенням цього однорідного рівняння є лінійна комбінація:, де функції - складають фундаментальну систему рішень однорідного рівняння. підставляючи zв формулу заміни, ми отримаємо: (*) Для функції y- невідома функція вихідного рівняння. Всі рішення вихідного рівняння будуть міститися в (*).

Таким чином, загальне рішення неоднорідного лин. рівняння представляється у вигляді суми загального рішення однорідного лінійного рівняння і якого-небудь приватного вирішення неоднорідного рівняння.

(Продовження на тому боці)

30. Теорема існування та єдиності розв'язку диф. рівняння

теорема:Якщо в рівнянні права частина безперервна в прямокутнику і обмежена, а також задовольняє умові Ліпшиця:, N = const, то існує єдине рішення, яке задовольняє початковим умовам і певне на відрізку , Де.

Доведення:

Розглянемо повний метричний простір С,точками якого є всілякі безперервні функції y (x), визначені на відрізку , Графіки яких лежать всередині прямокутника, а відстань визначається рівністю: . Це простір часто використовується в мат.аналізе і називається простором рівномірної збіжності, Оскільки збіжність по метриці цього простору є рівномірною.

Замінимо диф. рівняння з даними початковими умовами на рівносильну їй інтегральне рівняння: і розглянемо оператор А (y), Рівний правій частині цього рівняння: . Цей оператор ставить у відповідність кожній безперервної функції

Користуючись нерівністю Ліпшиця, ми можемо записати, що відстань. Тепер виберемо таке, для якого виконувалося б наступне нерівність:.

Слід вибрати так, що, тоді. Таким чином ми показали, що.

Відповідно до принципу стискаючих відображень існує єдина точка або, що те ж саме, єдина функція - рішення діф.уравненія, яке задовольняє заданим початковим умовам.

Оцінка вільної клітини- (див. Метод потенціалів)

цикл -така послідовність клітин транспортної таблиці (i 1, j 1), (i 1, j 2), (i 2, j 2), ... (ik, j 1), в якій дві і тільки дві сусідні клітини розташовані в одному рядку або стовпці, причому перша і остання клітини також знаходяться в одному рядку або стовпці.

(?) Перестановка по циклу - (зрушення по циклу на величину t) -збільшення обсягів у всіх непарних клітинах циклу, відмічені знаком «+», на t і зменшення обсягів перевезень у всіх парних клітинах, відмічені знаком «-», на t.

1. 
   ^ Умова оптимальності опорного плану.

Оптимальний план повинен визначати мінімальну сумарну вартість транспортування, не перевищуючи обсяг виробництва кожного з постачальників і повністю покриваючи потреби кожного із споживачів.

Оптимальний план перевезення відповідає мінімуму лінійної цільової функції f (X) = min при обмеженнях на споживання і постачання

№ 32. Сформулюйте визначення різницевого рівняння порядку k і його загального рішення. Сформулюйте визначення лінійного різницевого рівняння порядку k з постійними коефіцієнтами. Сформулюйте теореми про спільне вирішення однорідного і неоднорідного лінійного різницевого рівняння (без доведення).

Рівняння виду F (n; x n; x n +1; ...; x n + k) = 0, де k - фіксоване, а n - довільне натуральне число, x n; x n +1; ...; x n + k - члени деякої невідомої числової послідовності, називається різницевим рівнянням порядку k.

Вирішити різницеве ​​рівняння означає знайти всі послідовності (x n), що задовольняють цьому рівнянню.

Спільним рішенням рівняння k-го порядку називається його рішення x n = φ (n, C 1, C 2, ..., C k), що залежить від k незалежних довільних постійних C 1, C 2, ..., C k. Кількість k постійних одно порядку різницевого рівняння, а незалежність означає, що жодну з постійних можна виразити через інші.

Розглянемо лінійне різницеве ​​рівняння порядку k з постійними коефіцієнтами:

a k x n + k + a k-1 x n + k-1 + ... + a 1 x n + 1 + a 0 x n = f n, де a i R (a k ≠ 0, a 0 ≠ 0) і

(F n) - задані числа і послідовність.

^ Теорема про спільне вирішення неоднорідного рівняння.

Загальне рішення x n лінійного неоднорідного різницевого рівняння є сумою приватного рішення x n * цього рівняння і загального рішення n відповідного йому однорідного рівняння.

^ Теорема про спільне вирішення однорідного рівняння.

Нехай x n 1, ..., x n k - система, що складається з k лінійно незалежних розв'язків лінійного однорідного різницевого рівняння. Тоді загальне рішення цього рівняння задається формулою: x n = C 1 x n 1 + ... + C k x n k.
№ 33. Опишіть алгоритм рішення однорідного лінійного різницевого рівняння з постійними коефіцієнтами. Сформулюйте визначення таких понять: фундаментальний набір рішень лінійного різницевого рівняння, характеристичне рівняння, визначник Казоратті.

Знання коренів характеристичного рівняння дозволяє побудувати спільне рішення однорідного різницевого рівняння. Розглянемо це на прикладі рівняння другого порядку: Отримані в результаті рішення можуть бути без праці перенесені на випадок рівнянь вищого порядку.

Залежно від значень дискримінанту D = b 2 -4ac характеристичного рівняння можливі наступні випадки:

C 1, C 2 - довільні постійні.

Безліч рішень лінійного однорідного різницевого рівняння k-ого порядку утворює k-мірний лінійний простір, а будь-який набір з k лінійно незалежних рішень (званий фундаментальним набором) є його базисом. Ознакою лінійної незалежності рішень однорідного рівняння є нерівність нулю визначника Казоратті:

Рівняння називається характеристичним рівнянням однорідного лінійного рівняння.
№ 34. Дано лінійне різницеве ​​рівняння з постійними коефіцієнтами X n +2 - 4x n +1 + 3x n = n 2 + 2 n + n 3 3 n.

^ В якому вигляді потрібно шукати його приватне рішення? Відповідь пояснити.

X n +2 -4x n +1 + 3x n = n 2 + 2 n + n 3 3 n В якому вигляді потрібно шукати його приватне рішення? Відповідь має бути пояснений.

X n +2 -4x n +1 + 3x n = n 2 + 2 n + n 3 3 n

X n +2 -4x n +1 + 3x n = 0

X n = C 1-3 n + C 2 1 n

X 1 n = (a 1 n 2 + b 1 n + C 1) 2 n

X 2 n = (d 2 n 3 + a 2 n 2 + b 2 n + C 2) n2 n

X n = C 1 3 n + C 2 1 n + X 1 n + X 2 n
№35. Дано лінійне різницеве ​​рівняння з постійними коефіцієнтами x n +2 -4x n +1 + 3x n = n 2 +2 n +3 n. В якому вигляді шукати його приватне рішення?

x n +2 -4x n +1 + 3x n = n 2 +2 n +3 n

1) x n +2 -4x n +1 + 3x = 0

λ 1 = 3, λ 2 = 1

x n o = C 1 (3) n + C 2 (1) n = C 1 (3) n + C 2

2) f (n) = 2 n, g (n) = 3 n, z (n) = n 2

Так як підставу показовою ступеня f (n) = 2 n, що дорівнює 2, не збігається ні з одним з коренів характеристичного рівняння, відповідне приватне рішення шукаємо у вигляді Y n = C (2) n. Так як підставу показовою функції g (n) = 3 n, що дорівнює 3, збігається з одним з коренів характеристичного рівняння, то відповідне приватне рішення шукаємо у вигляді X n = Bn (3) n. Так як z (n) = n 2 являє собою многочлен, то і приватне рішення будемо шукати у вигляді многочлена: Z n = A 1 n 2 + A 2 n + A 3.
№36. Дано лінійне різницеве ​​рівняння з постійними коефіцієнтами x n +2 + 2x n +1 + 4x n = cos + 3 n + n 2. В якому вигляді шукати його приватне рішення?

x n +2 + 2x n +1 + 4x n = cos +3 n + n 2

1) x n + 2 + 2x n + 1 + 4x n = 0

λ 1 = -1 + i, λ 2 = -1-i

Так як підставу показовою ступеня f (n) = 3 n, що дорівнює 3, не збігається ні з одним з коренів характеристичного рівняння, відповідне приватне рішення шукаємо у вигляді Y n = B (3) n. Так як g (n) = n 2 являє собою многочлен, то і приватне рішення будемо шукати у вигляді многочлена: X n = A 1 n 2 + A 2 n + A 3. Z n = Ccos
№37. Дано лінійне різницеве ​​рівняння з постійними коефіцієнтами x n +2 + 2x n +1 + 4x n = cos + 3 n + n 2. В якому вигляді шукати його приватне рішення?

x n +2 + 2x n +1 + 4x n = cos +3 n + n 2

λ 1 = -1 + i, λ 2 = -1-i

X n 0 = (2) n (C 1 cos + C 2 sin)

2) f (n) = 3 n, g (n) = n 2, z (n) = cos

Так як підставу показовою ступеня f (n) = 3 n, що дорівнює 3, не збігається ні з одним з коренів характеристичного рівняння, відповідне приватне рішення шукаємо у вигляді Y n = B (3) n. Так як g (n) = n 2 являє собою многочлен, то і приватне рішення будемо шукати у вигляді многочлена: X n = A 1 n 2 + A 2 n + A 3. Z n = Cncos
№ 38. Опишіть модель Самуельсона-Хікса. Які економічні припущення лежать в її основі? В якому випадку рішенням рівняння Хікса є стаціонарна послідовність?

Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса припускає пряму пропорційність обсягів інвестування приросту національного доходу (принцип акселерації), тобто

де коефіцієнт V> 0- фактор акселерації,

I t - величина інвестицій в період t,

X t -1, X t -2 - величина національного доходу в періодах (t-1) і (t-2) відповідно.

Передбачається також, що попит на даному етапі залежить від величини національного доходу на попередньому етапі
лінійним чином
. Умова рівності попиту і пропозиції має вигляд
. Тоді приходимо до рівняння Хікса

де a, b - коефіцієнти лінійного вираження попиту на даному етапі:

стаціонарна послідовність
є рішенням рівняння Хікса тільки при
; множник
називається мультиплікатором Кейнса (одновимірний аналог матриці повних витрат).
№ ^ 39. Опишіть павутинну модель ринку. Які економічні припущення лежать в її основі? Знайдіть рівноважний стан павутинної моделі ринку.

40. Сформулюйте задачу про визначення поточної вартості купонної облігації. Що таке завдання Коші для різницевого рівняння? Знайдіть рівноважний рішення задачі Коші про визначення поточної вартості купонної облігації. Перевірте, що знайдене значення збігається з сумою, яку необхідно сплатити в даний момент, щоб протягом нескінченно тривалого часу отримувати купонну суму в кожному купонному періоді при заданій величині процентної ставки за один купонний період.

нехай F - номінальна вартість облігації (тобто грошова сума, яка виплачується емітентом у момент погашення, збігається з кінцем останнього купонного періоду), K - величина купона (тобто грошова сума, яка виплачується в кінці кожного купонного періоду), X - поточна вартість облігації в кінці n-го купонного періоду,

Тобто p збігається з сумою, яку необхідно сплатити в даний момент, щоб протягом нескінченно тривалого часу отримувати купонну суму в кожному купонному періоді при заданій величині процентної ставки за один купонний період.

Заміна змінних в потрійному інтегралі. Приклади: випадки циліндричних і сферичних координат.

Обчислення площі гладкій поверхні, заданої параметрично і в явному вигляді. Елемент площі поверхні.

Визначення криволінійного інтеграла першого роду, його основні властивості та обчислення.

Визначення криволінійного інтеграла другого роду, його основні властивості та обчислення. Зв'язок з інтегралом першого роду.

Формула Гріна. Умови того, що криволінійний інтеграл на площині не залежить від шляху інтегрування.

Визначення поверхневого інтеграла першого роду, його основні властивості та обчислення.

Визначення поверхневого інтеграла другого роду, його основні властивості та обчислення. Зв'язок з інтегралом першого роду.

Теорема Гаусса-Остроградського, її запис в координатної і векторної (інваріантної) формах.

Теорема Стокса, її запис в координатної і векторної (інваріантної) формах.

Умови того, що криволінійний інтеграл в просторі не залежить від шляху інтегрування.

Скалярний поле. Градієнт скалярного поля та його властивості. Обчислення градієнта в декартових координатах.

Визначення векторного поля. Поле градієнта. Потенційні поля, умови потенційності.

Потік векторного поля через поверхню. Визначення дивергенції векторного поля і її властивості. Обчислення дивергенції в декартових координатах.

Соленоідальной векторні поля, умови соленоідальной.

Циркуляція векторного поля і ротор векторного поля. Обчислення ротора в декартових координатах.

Оператор Гамільтона (Набла), диференціальні операції другого порядку, зв'язок між ними.

Основні поняття, що відносяться до оду першого порядку: загальне і часткове вирішення, загальний інтеграл, інтегральні криві. Завдання Коші, її геометричний зміст.

Інтегрування оду першого порядку з відокремлюваними змінними і однорідних.

Інтегрування лінійних оду першого порядку і рівнянь Бернуллі.

Інтегрування оду першого порядку в повних диференціалах. Інтегруючий множник.

Метод введення параметра. Інтегрування оду першого порядку Лагранжа і Клеро.

Найпростіші оду вищих порядків, що інтегруються в квадратурі і допускають зниження порядку.

Нормальна форма системи лінійних оду, скалярна і векторна (матрична) запис. Завдання Коші для нормальної системи лінійних оду, її геометричний зміст.

Лінійно-залежні і лінійно-незалежні системи вектор-функцій. Необхідна умова лінійної залежності. Теорема про визначнику Вронського рішень системи однорідних лінійних оду.

Теорема про спільне вирішення (про структуру спільного рішення) нормальної системи неоднорідних лінійних оду.

Метод варіації довільних сталих для відшукання приватних рішень нормальної системи неоднорідних лінійних оду.

Фундаментальна система рішень нормальної системи однорідних лінійних оду з постійними коефіцієнтами в разі простих дійсних коренів характеристичного рівняння.

Лінійно-залежні і лінійно-незалежні системи функцій. Необхідна умова лінійної залежності. Теорема про визначнику Вронського рішень однорідного лінійного оду.

Теорема про спільне вирішення (про структуру спільного рішення) однорідного лінійного оду.

Теорема про спільне вирішення (про структуру спільного рішення) неоднорідного лінійного оду.

Метод варіації довільних сталих для відшукання приватних рішень неоднорідного лінійного оду.

Фундаментальна система рішень однорідного лінійного оду з постійними коефіцієнтами в разі простих коренів характеристичного рівняння, дійсних або комплексних.

Фундаментальна система рішень однорідного лінійного оду з постійними коефіцієнтами в разі, коли є кратні корені характеристичного рівняння.

Відшукання приватних рішень неоднорідного лінійного оду з постійними коефіцієнтами і спеціальної правою частиною.

Теорема існування (локальна) рішення задачі Коші для оду першого порядку.

Теорема єдиності рішення задачі Коші для оду першого порядку.

1. Теорема про спільне вирішення (про структуру спільного рішення) нормальної системи неоднорідних лінійних оду.

Розглянемо неоднорідну лінійну систему звичайних диференціальних рівнянь n-го порядку

тут A

справедлива наступна теорема про структуру спільного рішенняцієї неоднорідної лінійної системи ОДУ.

якщо матриця A(X) і вектор-функція b (X) неперервні на [ a, b], і нехай Φ (X) - фундаментальна матриця рішень однорідної лінійної системи, то загальне рішення неоднорідної системи Y " = A(X) Y + b(X) має вигляд:

де C- довільний постійний вектор-стовпець, x 0 - довільна фіксована точка з відрізка.

З наведеної формули легко отримати формулу розв'язання задачі Коші для лінійної неоднорідної системи ОДУ - формулу Коші.

Рішенням задачі Коші, Y(X 0) = Y 0 є вектор-функція

1. Метод варіації довільних сталих для відшукання приватних рішень нормальної системи неоднорідних лінійних оду.

Визначення системи неоднорідних лінійних ОДУ. система ОДУвиду:

називається лінійної неоднорідною . нехай

Система (*) в векторно-матричному вигляді: .- система однорідна, інакше - неоднорідна.

Сам метод. Нехай є лінійна неоднорідна система , Тоді-лінійна однорідна система, відповідна лінійної неоднорідної. Пусть- фундаментальна матриця системи рішень, , ГдеC - довільний постійний вектор, - спільне рішення системи. Станом шукати рішення системи (1) у вигляді , ГдеC (x) - невідома (поки) вектор-функція. Хочемо, щоб вектор-функція (3) була рішенням системи (1). Тоді має бути справедливо тотожність:

(Довільний постійний вектор, який виходить в результаті інтегрування, можна вважати рівним 0). Тут точки x 0, - будь-які.

Бачимо, таким чином, що якщо в (3) в якості C (t) брати , То вектор-функція буде рішенням системи (1).

Загальне рішення лінійної неоднорідної системи (1) може бути записано у вигляді . Нехай потрібно знайти рішення системи (1), що задовольнить початковому умові . Підстановка (4) початкових даних (5) дає . Отже, рішення задачі Коші (1) - (5) може бути записано у вигляді: . В окремому випадку, коли, остання формула набуває вигляду: .

1. Фундаментальна система рішень нормальної системи однорідних лінійних оду з постійними коефіцієнтами в разі простих дійсних коренів характеристичного рівняння.

Нормальна лінійна однорідна системаnпорядку з постійними коефіцієнтами - або , Коефіцієнти лінійних комбінацій шуканих функцій постійні. Ця система в матричної формі -матрічная форма, гдеA-постійна матриця. матричний метод: З характеристичного рівняння знайдемо різні коріння і для кожного кореня (з урахуванням його кратності) визначимо відповідне йому приватне рішення. Загальне рішення має вигляд: . При цьому 1) якщо - дійсний корінь кратності 1, то , Де-власний вектор матриці А, що відповідає власному значенню, тобто. 2) – корінь кратності, то відповідне цього кореня рішення системи шукають у вигляді вектора (**), коефіцієнти якого визначаються з системи лінійних рівнянь, які утворюються прирівнювання коефіцієнтів при однакових степеняхx в результаті підстановки вектора (**) в вихідну систему.

Фундаментальною системою рішень НЛОСназивається сукупність довільних n лінійно незалежних рішень

Фундаментальна система рішень нормальної системи однорідних лінійних ОДУ з постійними коефіцієнтами в разі, коли всі корені характеристичного рівняння прості, але є комплексні корені.

Питання прибраний.

Де З 1 і С 2 невідомі.

Все у відомі числа, обчислені при х = х 0. Щоб система мала рішення при будь-яких правих частинах, необхідно і достатньо, щоб основний визначник був різниться від 0.

визначник Вронського. Якщо визначник дорівнює 0, то система має рішення тільки за умови, що є пропорція початкових умов. Тому з цього випливає, що вибір початкових умов підпорядкований закону, так що будь-які початкові умови взяти не можна, а це є порушення умови задачі Коші.

Якщо, то визначник Вронського НЕ дорівнює 0, ні при яких значеннях х 0.

Доведення. Нехай визначник дорівнює 0, але, виберемо початкові ненульові умови y = 0, y '= 0. Тоді отримаємо наступну систему:

Ця система має безліч рішень, коли визначник дорівнює 0. З 11 і С 12 - рішення системи.

Це суперечить першому випадку, а значить визначник Вронського НЕ дорівнює 0, при будь-яких х 0, якщо. Завжди із загального рішення можна виділити приватне рішення при.

квиток №33

Теорема про структуру загального рішення лінійного однорідного диференціального рівняння 2-ої порядку з доказом.

Теорема про спільне вирішення диференціального рівняння:

вирішення цього рівняння, то і функція теж рішення. На основі цієї теореми можна зробити висновок про структуру спільного рішення однорідного рівняння: якщо у 1 і у 2 є рішення диференціального рівняння, такі що їх відносини не рівні константі, то лінійна комбінація цих функцій є спільним рішенням диференціального рівняння. Тривіальне рішення (або нульове) не може бути вирішенням цього рівняння.

Доведення:

квиток №34

Теорема про структуру загального рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння 2-ої порядку з доказом.

Нехай дано рівняння з правою частиною:. Рівняння без правої частини

якщо замість функції поставити 0 назвемо характеристичним.

Теорема про структуру загального рішення рівняння з правою частиною.

Т.1 Загальне рішення рівняння правої частиною можна скласти як суму загального рішення рівняння без правої частини і якогось приватного рішення даного рівняння.

Доведення.

Позначимо через спільне рішення, а якесь приватне рішення даного рівняння. візьмемо функцію . маємо

, .

Підставляючи вирази для y, y ', y' 'в ліву частину рівняння знайдемо: Вираз в першій квадратної дужки дорівнює 0. А вираз у другій скобці одно функції f (x). Отже, функція є рішення даного рівняння.

квиток №35

Лінійні однорідні диференціальні рівняння 2-ої порядку з постійними коефіцієнтами, Ф.С.Р. і загальне рішення в разі різних дійсних коренів, характеристичні рівняння з доказом.

Візьмемо однорідне лінійне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами:

,

де а - це числа.

Спробуємо задовольнити рівняння функцією виду. Звідси маємо:

Звідси видно, що буде рішенням даного рівняння, якщо r буде коренем квадратного рівняння. Це рівняння називається характеристичним. Щоб скласти характеристичне рівняння, треба замінити у одиницею, а кожну похідну на r в ступеня порядку похідної.

1) Коріння характеристичного рівняння дійсні і різні.

При цьому обидва кореня можуть бути взяті в якості показників r функції. Тут відразу можна отримати два рівняння. Ясно що їхнє ставлення не дорівнює постійній величині.

Загальне рішення в разі дійсних і різних коренів дається формулою:

.

квиток №36

Лінійні однорідні диференціальні рівняння 2-ої порядку з постійними коефіцієнтами, Ф.С.Р. і загальне рішення в разі кратних коренів, характеристичні рівняння з доказом.

Коріння дійсного рівняння дійсні і рівні.