Динаміка і кінематика - це два важливих розділу фізики, які вивчають закони переміщення об'єктів в просторі. Перший розглядає діючі на тіло сили, другий же займається безпосередньо характеристиками динамічного процесу, не вникаючи в причини того, що його викликало. Знання цих розділів фізики необхідно застосовувати для успішного вирішення завдань на рух по похилій площині. Розглянемо це питання в статті.

Основна формула динаміки

Звичайно ж, мова йде про другий законі, який постулював Ісаак Ньютон в XVII столітті, вивчаючи механічний рух твердих тіл. Запишемо його в математичній формі:

Дія зовнішньої сили F¯ викликає поява лінійного прискорення a¯ у тіла з масою m. Обидві векторні величини (F¯ і a¯) спрямовані в одну і ту ж сторону. Сила у формулі є результатом дії на тіло всіх сил, які присутні в системі.

У разі руху обертання другий закон Ньютона записується у вигляді:

Тут M і I - і інерції, відповідно, α - кутовий прискорення.

формули кінематики

Рішення задач на рух по похилій площині вимагає знання не тільки головною формули динаміки, але і відповідних виразів кінематики. Вони пов'язують в рівності прискорення, швидкість і пройдений шлях. Для рівноприскореного (равнозамедленно) прямолінійного руху застосовуються такі формули:

S = v 0 * t ± a * t 2/2

Тут v 0 - значення початкової швидкості тіла, S - пройдений за час t шлях уздовж прямолінійної траєкторії. Знак "+" слід поставити, якщо швидкість тіла збільшується з плином часу. В іншому випадку (равнозамедленно рух) слід використовувати в формулах знак "-". Це важливий момент.

Якщо рух здійснюється по круговій траєкторії (обертання навколо осі), тоді слід використовувати такі формули:

ω = ω 0 ± α * t;

θ = ω 0 * t ± α * t 2/2

Тут α і ω - і швидкість, відповідно, θ - кут повороту тіла, що обертається за час t.

Лінійні і кутові характеристики один з одним пов'язані формулами:

Тут r - радіус обертання.

Рух по похилій площині: сили

Під цим рухом розуміють переміщення деякого об'єкту уздовж плоскої поверхні, яка нахилена під певним кутом до горизонту. Прикладами може служити зісковзування бруска по дошці або кочення циліндра по металевому нахиленому листу.

Для визначення характеристик розглянутого типу руху необхідно в першу чергу знайти всі сили, які діють на тіло (брусок, циліндр). Вони можуть бути різними. У загальному випадку це можуть бути такі сили:

• тяжкості;
• реакції опори;
• і / або ковзання;
• натяг нитки;
• сила зовнішньої тяги.

Перші три з них присутні завжди. Існування останніх двох залежить від конкретної системи фізичних тіл.

Щоб вирішувати завдання на переміщення по площині похилої необхідно знати не тільки модулі сил, але і їх напрямки дії. У разі, якщо тіло по площині скочується, сила тертя невідома. Однак вона визначається з відповідної системи рівнянь руху.

Методика рішення

Рішення задач даного типу починається з визначення сил та їх напрямків дії. Для цього в першу чергу розглядають силу тяжіння. Її слід розкласти на два складових вектора. Один з них повинен бути спрямований уздовж поверхні похилій площині, а другий повинен бути їй перпендикулярний. Перша складова сили тяжіння, в разі руху тіла вниз, забезпечує його лінійне прискорення. Це відбувається в будь-якому випадку. Друга дорівнює Всі ці показники можуть мати різні параметри.

Сила тертя при русі по похилій площині завжди спрямована проти переміщення тіла. Якщо мова йде про ковзанні, то обчислення досить прості. Для цього слід використовувати формулу:

Де N - реакція опори, μ - коефіцієнт тертя, який не має розмірності.

Якщо в системі присутні тільки зазначені три сили, тоді їх результуюча уздовж похилій площині буде дорівнює:

F = m * g * sin (φ) - μ * m * g * cos (φ) = m * g * (sin (φ) - μ * cos (φ)) = m * a

Тут φ - це кут нахилу площини до горизонту.

Знаючи силу F, можна за законом Ньютона визначити лінійне прискорення a. Останнє, в свою чергу, використовується для визначення швидкості руху по похилій площині через відомий проміжок часу і пройденого тілом відстані. Якщо вникнути, то можна зрозуміти, що все не так вже й складно.

У разі, коли тіло скочується по похилій площині без прослизання, сумарна сила F буде дорівнює:

F = m * g * sin (φ) - F r = m * a

Де F r - Вона невідома. Коли тіло котиться, то сила тяжіння не створює моменту, оскільки прикладена до осі обертання. У свою чергу, F r створює наступний момент:

З огляду на, що ми маємо два рівняння і дві невідомих (α і a пов'язані один з одним), можна легко вирішити цю систему, а значить, і завдання.

Тепер розглянемо, як використовувати описану методику при вирішенні конкретних завдань.

Завдання на рух бруска по похилій площині

Дерев'яний брусок знаходиться у верхній частині похилій площині. Відомо, що вона має довжину 1 метр і розташовується під кутом 45 o. Необхідно обчислити, за який час брусок опуститься по цій площині в результаті ковзання. Коефіцієнт тертя прийняти рівним 0,4.

Записуємо закон Ньютона для даної фізичної системи і обчислюємо значення лінійного прискорення:

m * g * (sin (φ) - μ * cos (φ)) = m * a =>

a = g * (sin (φ) - μ * cos (φ)) ≈ 4,162 м / с 2

Оскільки нам відомо відстань, яку повинен пройти брусок, то можна записати наступну формулу для шляху при рівноприскореному русі без початкової швидкості:

Звідки випливає висловити час, і підставити відомі значення:

t = √ (2 * S / a) = √ (2 * 1 / 4,162) ≈ 0,7 с

Таким чином, час руху по похилій площині бруска складе менше секунди. Зауважимо, що отриманий результат від маси тіла не залежить.

Завдання зі скочується по площині циліндром

Циліндр радіусом 20 см і масою 1 кг поміщений на похилу під кутом 30 o площину. Слід обчислити його максимальну лінійну швидкість, яку він набере при скачуванні з площини, якщо її довжина становить 1,5 метра.

Запишемо відповідні рівняння:

m * g * sin (φ) - F r = m * a;

F r * r = I * α = I * a / r

Момент інерції I циліндра обчислюється за формулою:

Підставами це значення в другу формулу, висловимо з неї силу тертя F r і замінимо отриманим виразом її в першому рівнянні, маємо:

F r * r = 1/2 * m * r 2 * a / r =>

m * g * sin (φ) - 1/2 * m * a = m * a =>

a = 2/3 * g * sin (φ)

Ми отримали, що лінійне прискорення не залежить від радіуса і маси скачується з площини тіла.

Знаючи, що довжина площині становить 1,5 метра, знайдемо час руху тіла:

Тоді максимальна швидкість руху по похилій площині циліндра буде дорівнює:

v = a * t = a * √ (2 * S / a) = √ (2 * S * a) = √ (4/3 * S * g * sin (φ))

Підставляємо всі відомі з умови задачі величини в кінцеву формулу, отримуємо відповідь: v ≈ 3,132 м / c.

Твердого тіла, тобто рух, при якому точки тіла описують траєкторії, що лежать в паралельних площинах. Приклад такого руху - обертання колеса автомобіля при його русі по прямій. Можна взяти будь-яку точку 0 тіла і подумки провести через неї вісь обертання перпендикулярно площинам, в яких лежать траєкторії точок тіла. Тоді вісь обертання буде рухатися поступально, залишаючись весь час паралельної самій собі.

Відео 7.2. Плоске рух твердого тіла в однорідному полі тяжіння. Політ плоскою картонній фігури

Відповідно, швидкість елементарної маси твердого тіла складається з швидкості поступального руху точки 0 і лінійної швидкості обертання навколо пов'язаної з нею (подумки проведеної) осі:

де - радіус-вектор, який визначає положення елементарної маси по відношенню до точки 0 .

Кінетична енергія елементарної маси дорівнює тоді:

Векторний витвір

має модуль, рівний, де - відстань маси від осі обертання. Отже, третій доданок в дужках одно. Другий доданок, що представляє собою змішане твір векторів, не змінюється при циклічною перестановці співмножників:

В результаті отримаємо для кінетичної енергії елемента твердого тіла такий вираз

Для знаходження кінетичної енергії тіла підсумуємо по всім елементарним масам:

Сума елементарних мас

є маса твердого тіла. вираз

де - радіус-вектор центра мас тіла відносно точки 0 .

Є момент інерції тіла відносно осі обертання. Тому для кінетичної енергії твердого тіла можна записати формулу:

Оскільки вибір уявної осі обертання цілком в нашій владі, ми спростимо отриманий вираз, взявши в якості точки 0 центр мас тіла. Тоді = 0 і кінетична енергія тіла при плоскому русідорівнює

Тут - швидкість руху центру мас, a - момент інерції щодо осі, що проходить через центр мас і ортогональної площині, де лежать траєкторії точок тіла. Таким чином, кінетична енергія твердого тіла при плоскому русі складається з енергії поступального руху зі швидкістю, що дорівнює швидкості центру мас і енергії обертання навколо осі, що проходить через центр мас тіла.

Рух твердого тіла визначається діючими на тіло зовнішніми силами і моментами цих сил

Індекс в позначеннях для моменту зовнішньої сили означає проекцію моменту на вісь обертання.

У наступних прикладах ми маємо справу з плоским рухом.

Відео 7.3. Залежність поведінки циліндрів на похилій площині від характеру розподіл маси по їх обсягу

приклад 1. Кругле однорідне тіло (обруч, циліндр, куля) радіусом і масою скочується без ковзання по похилій площині під кутом до горизонту з висоти (рис. 7.12). Початкова швидкість тіла дорівнює нулю. Знайдемо швидкість центру мас кожного тіла в кінці спуску.

Мал. 7.12. Скочування тіла з похилій площині

Розгляд даного завдання можна вести двома способами.

1-й спосіб. За умовою тіло котиться без проковзування. Ця умова використовується у нас двічі. Сила тертя між тілом і площиною діє в точці дотику і під час відсутності ковзання не перевищує свого максимального значення:

де - коефіцієнт тертя ковзання.

Осі координат зручно направити в такий спосіб: вісь х- уздовж руху, вісь у- перпендикулярно похилій площині. Тіло рухається під дією трьох сил: сили тяжіння, сили тертя і сили нормального тиску, так що рівняння поступального руху центру інерції тіла має вигляд:

уздовж осі утіло не рухається. Проектуючи рівняння руху центру мас на вісь у, Отримуємо для сили нормального тиску співвідношення:

Проекція рівняння руху на вісь хдає:

Так як лінійна швидкість точок дотику циліндра з похилою площиною дорівнює нулю (знову використовуємо умову відсутності прослизання), то швидкість (прискорення) поступального руху пов'язані з кутовий швидкістю (кутовим прискоренням) тіла звичайними співвідношеннями:

Крім поступального руху, тіло ще й обертається. Обертання зручно описувати щодо осі z, що проходить через центр мас циліндра.

Вибір цей зумовлений тим, що лінії дії сили тяжіння і сили нормального тиску площині проходять через вісь обертання і, отже, моменти цих сил дорівнюють нулю. Таким чином, циліндр обертається тільки під дією сили тертя, і рівняння обертального руху має вигляд:

Таким чином, виходить система 4-х рівнянь, що описують поступальний і обертальний рух з додатковим нерівністю, що виражає закон тертя. Вирішуючи систему рівнянь, знаходимо:

Чим більше момент інерції щодо осі, що проходить через центр мас, тим менше прискорення тіла. Ми вже отримали відповідь на одне із запитань задачі: куля буде рухатися швидше циліндра, а циліндр - швидше обруча. Підставляючи рішення для сили тертя в нерівність, що виражає закон тертя, знаходимо умова, при якому буде відсутній прослизання:

Сенс цієї умови простий: вона не повинна відхилятися бути занадто крутий.

Отже, центр мастіла рухається уздовж площини з постійним прискоренням a, Так що залежність пройденого шляху і швидкості від часу має вигляд:

Звідси випливає зв'язок швидкості і пройденого шляху:

До кінця спуску тіло проходить шлях

так що його швидкість досягає величини

Підставляючи сюди моменти інерції обруча (), циліндра () і кулі (), знаходимо відповідно:

2-й спосіб. Використовуємо закон збереження повної енергії. В кінці спуску тіло набуває кінетичну енергію

Ця кінетична енергія придбана за рахунок потенційної енергії. Звідси випливає знайдено вище вираз для швидкості тіла в кінці спуску. Такий спосіб набагато коротше, але він не дозволяє дізнатися деталі процесу: діючі на тіло сили і т.п.

У розглянутому вище прикладі ми вважали прикладі ми мали справу з випадком, коли проковзування відсутнє. Це дозволило стверджувати просту зв'язок () між кутовий і лінійної швидкостями тіла і його радіусом. Сила тертя спокою перебувала при цьому в результаті рішення рівнянь руху. У разі, коли тіло рухається з проскальзиваніем, заздалегідь відомої зв'язку між лінійною і кутовою швидкостями немає. Зате ми заздалегідь знаємо силу тертя: раз точка дотику тіла з поверхнею ковзає по поверхні, сила тертя є сила тертя ковзання, модуль якої пов'язаний з силою нормального тиску законом Амонтона - Кулона.

Сили тертя, як уже говорилося, спрямовані так, щоб перешкоджати відносному прослизаннюдотичних тіл. Часто плутають це можливе проковзування з здійснюваним поступальним рухом. Необхідно чітко розуміти, що не рідкісні випадки, коли сила тертя не гальмує, але прискорює тіло, тобто спрямована на його руху. Найвідоміший приклад - рушання автомобіля з місця. Колеса починають обертатися і прослизають по землі назад. Відповідно, сила тертя спрямована вперед, і саме вона змушує автомобіль рушати. Щоб ближче познайомитися з подібними випадками, розглянемо приклад.

приклад 2. Цирковий артист кидає на арену обруч масою і радіусом, який починає котитися в горизонтальному напрямку зі швидкістю (рис. 7.13). При цьому обручу надано зворотне обертання з кутовою швидкістю. Знайдемо, при якій кутової швидкості обруч після зупинки покотиться назад до артиста, а також кінцеву швидкість поступального руху обруча.

Мал. 7.13. Рух обруча зі зворотним обертанням

При зворотному обертанні обруча точка його торкання з ареною рухається вперед як через обертання, так і з-за поступального руху обруча. Тому неминуче існує прослизання і, отже, сила тертя досягає свого максимального значення. Вона гальмує як поступальний рух, так і обертання обруча. Може трапитися так, що поступальний рух обруча буде зупинено в той момент, коли він ще зберігає зворотне обертання. Далі сила тертя почне прискорювати обруч у напрямку до артиста. Прискорення це припиниться, коли зникне тенденція до прослизання, після чого обруч покотиться назад рівномірно з деякою сталою швидкістю. Може, однак, статися і так, що раніше буде зупинено зворотне обертання, і тоді обруч збереже поступальний рух вперед, змінивши напрямок обертання на пряме. Щоб розрізнити ці два випадки, якісних міркувань недостатньо, і ми звернемося до формул.

направимо вісь ОХнаправо (в напрямку червоної стрілки на рис. 7.13), вісь обертання ОZнаправимо на нас(Див. Наступний приклад, там цю вісь зручніше направити від нас, тобто за креслення), тобто в напрямку «зворотного» обертання, вісь OYнаправимо як зазвичай, вгору. Плоске рух обруча представимо як суперпозицію його поступального руху разом з центром мас (геометричним центром, оскільки обруч передбачається однорідним). Спроектуємо лінійні і кутові швидкості на відповідні осі. Тоді, до тих пір, поки сила тертя є сила тертя ковзання і спрямована вона наліво, рівняння руху мають вигляд

Рівняння (7.3.1) описує рух центру мас обруча, а рівняння (7.3.2) його обертання навколо осі проходить через центр мас в тій системі відліку, в якій вона спочиває (системі центру мас). В (7.3.2) враховано, що момент інерції однорідного обруча щодо його осі симетрії дорівнює. Після елементарного інтегрування отримуємо

Поступальний рух припиниться, тобто стане рівним нулю, в момент часу

Обертання припиниться, тобто стане рівним нулю, в момент часу

Їхнє ставлення

може бути будь-яким з огляду на незалежності початкових швидкостей поступального і обертального рухів.

Для подальшого аналізу введемо в розгляд швидкість нижньої точки обруча - тієї його точки, яка торкається поверхні арени. Відзначимо вже тут, що умовою зникнення проковзування є звернення в нуль швидкості саме цієї точки, тому що швидкість відповідної точки на поверхні арени (тієї, якої стосується обруч) очевидним чином в нашій системі відліку, де арена нерухома, дорівнює нулю. Відсутність прослизання це і є нерухомість цих двох точок відносно один одного. При обраному напрямку осей OZі OX, маємо

Якщо, то першим припиниться поступальний рух обруча. У момент часу швидкості (7.3.3) і (7.3.8) будуть мати значення

Нижня точка обруча, за рахунок триваючого обертання, буде як і раніше ковзати відносно арени направо (направо на малюнку 7.13), сила тертя ковзання збереже свою величину і напрямок наліво. Відповідно, центр обруча почне прискоряться наліво, тобто стане менше нуля і почне рости по модулю, обертання проти годинникової стрілки (на малюнку 7.13) буде продовжувати сповільняться. Іншими словами, при обруч в момент часу (7.3.5) починає повертатися до кинув його артисту.

Як випливає з (7.3.8), в момент часу

швидкість нижньої точки обруча з (7.3.8) звертається в нуль, прослизання припиняється, сила тертя ковзання стрибком змінюється рівною нулю силою тертя спокою (силою тертя кочення нехтуємо) і обруч починає котиться до артиста з постійною швидкістю руху центру мас

обертаючись проти годинникової стрілки з постійною кутовою швидкістю

Якщо, то першим, в момент часу (7.3.6), припиниться обертання обруча. У момент часу швидкість (7.3.8) нижньої точки обруча буде дорівнює швидкості його центру і позитивна:

Ковзання залишається, сила тертя ковзання зберігає свою величину і напрямок наліво, але обруч під дією цієї сили тертя ковзання починає обертатися за годинниковою стрілкою (нагадуємо: наліво, направо, по або проти годинникової стрілки - на малюнку 10). В результаті цього швидкість центру мас (центра обруча) буде зменшуватися, швидкість обертання збільшуватися, в момент часу

прослизання обруча припиниться і обруч почне рівномірно віддалятися від артиста зі швидкістю центру (7.3.10) і кутовий швидкістю обертання (7.3.11). Нагадаємо, що в цьому випадку, так що а

Таким чином, відповідь на питання: "Чи повернеться обруч або покотиться?" визначається початковими умовами, а конкретніше величиною параметра, який має простий фізичний зміст: це відношення модуля

швидкості будь-якої точки обруча за рахунок його поступального руху разом з центром мас до модуля швидкості тієї ж точки за рахунок обертання обруча навколо осі, що проходить через його центр мас, в початковий момент часу.

В. М. Зражевський

Лабораторна робота №

Скочування ТВЕРДОГО ТІЛА З ПОХИЛІЙ ПЛОЩИНІ

Мета роботи:Перевірка закону збереження механічної енергії при скачуванні твердого тіла з похилій площині.

устаткування:похила площина, електронний секундомір, циліндри різної маси.

теоретичні відомості

Нехай циліндр радіуса Rі масою mскочується з похилої площини, що утворює кут α з горизонтом (рис. 1). На циліндр діють три сили: сила тяжіння P = mg, Сила нормального тиску площині на циліндр Nі сила тертя циліндра про площину Fтр. , Що лежить в цій площині.

Циліндр бере участь одночасно в двох видах руху: поступальний рух центру мас O і обертальному русі щодо осі, що проходить через центр мас.

Так як циліндр під час руху залишається на площині, то прискорення центру мас в напрямку нормалі до похилій площині дорівнює нулю, отже

P∙ cosα - N = 0. (1)

Рівняння динаміки поступального руху вздовж похилій площині визначається силою тертя Fтр. і складовою сили тяжіння вздовж похилої площини mg∙ sinα:

ma = mg∙ sinα - Fтр. , (2)

де a- прискорення центра ваги циліндра вздовж похилій площині.

Рівняння динаміки обертального руху щодо осі, що проходить через центр мас має вигляд

Iε = Fтр. R, (3)

де I- момент інерції, ε - кутове прискорення. Момент сили тяжіння і щодо цієї осі дорівнює нулю.

Рівняння (2) і (3) справедливі завжди, незалежно від того, рухається циліндр по площині з ковзанням або без ковзання. Але з цих рівнянь можна визначити три невідомі величини: Fтр. , aі ε, необхідно ще одну додаткову умову.

Якщо сила тертя має достатню величину, то кочення циліндра по похилій відбувається без ковзання. Тоді точки на колі циліндра повинні проходити ту ж довжину шляху, що і центр мас циліндра. В цьому випадку лінійне прискорення aі кутове прискорення ε пов'язані співвідношенням

a = Rε. (4)

З рівняння (4) ε = a/R. Після підстановки в (3) отримуємо

. (5)

Замінивши в (2) Fтр. на (5), отримуємо

. (6)

З останнього співвідношення визначаємо лінійне прискорення

. (7)

З рівнянь (5) і (7) можна обчислити силу тертя:

. (8)

Сила тертя залежить від кута нахилу α, сили тяжіння P = mgі від ставлення I/mR 2. Без сили тертя кочення не буде.

При коченні без ковзання грає роль сила тертя спокою. Сила тертя при коченні, як і сила тертя спокою, має максимальне значення, рівне μ N. Тоді умови для кочення без ковзання будуть виконуватися в тому випадку, якщо

Fтр. ≤ μ N. (9)

З огляду на (1) і (8), отримаємо

, (10)

або, остаточно

. (11)

У загальному випадку момент інерції однорідних симетричних тіл обертання щодо осі, що проходить через центр мас, можна записати як

I = kmR 2 , (12)

де k= 0,5 для суцільного циліндра (диска); k= 1 для полого тонкостінного циліндра (обруча); k= 0,4 для суцільного кулі.

Після підстановки (12) в (11) отримуємо остаточний критерій скочування твердого тіла з похилій площині без прослизання:

. (13)

Оскільки при коченні твердого тіла по твердій поверхні сила тертя кочення мала, то повна механічна енергія скачується тіла постійна. У початковий момент часу, коли тіло знаходиться у верхній точці похилій площині на висоті h, Його повна механічна енергія дорівнює потенційної:

Wп = mgh = mgs∙ sinα, (14)

де s- шлях, пройдений центром мас.

Кінетична енергія котиться тіла складається з кінетичної енергії поступального руху центру мас зі швидкістю υ і обертального руху зі швидкістю ω щодо осі, що проходить через центр мас:

. (15)

При коченні без ковзання лінійна і кутова швидкості пов'язані співвідношенням

υ = Rω. (16)

Перетворимо вираз для кінетичної енергії (15), підставивши в нього (16) і (12):

Рух по похилій площині є рівноприскореному:

. (18)

Перетворимо (18) з урахуванням (4):

. (19)

Вирішуючи спільно (17) і (19), отримаємо остаточний вираз для кінетичної енергії тіла, що котиться по похилій площині:

. (20)

Опис установки і методу вимірів

Дослідити кочення тіла по похилій площині можна за допомогою вузла «площину» і електронного секундоміра СЕ1, що входять до складу модульного навчального комплексу МУК-М2.

У
становленнЯ є похилою площиною 1, яку за допомогою гвинта 2 можна встановлювати під різними кутами α до горизонту (рис. 2). Кут α вимірюється за допомогою шкали 3. На площину може бути поміщений циліндр 4 масою m. Передбачено використання двох роликів різної маси. Ролики закріплюються у верхній точці похилій площині за допомогою електромагніту 5, управління яким здійснюється за допомогою

електронного секундоміра СЕ1. Пройдене циліндром відстань вимірюється лінійкою 6, закріпленої уздовж площини. Час скочування циліндра вимірюється автоматично за допомогою датчика 7, вимикає секундомір в момент торкання роликом фінішної точки.

Порядок виконання роботи

1. Послабивши гвинт 2 (рис. 2), встановіть площину під деяким кутом α до горизонту. Помістіть ролик 4 на похилу площину.

2. Переведіть тумблер управління електромагнітами механічного блоку в положення «площину».

3. Переведіть секундомір СЕ1 в положення режим 1.

4. Натисніть кнопку «Пуск» секундоміра. Виміряйте час скочування.

5. Повторіть досвід п'ять разів. Результати вимірювань запишіть в табл. 1.

6. Розрахуйте значення механічної енергії до, і після скочування. Зробіть висновок.

7. Повторіть п. 1-6 для інших кутів нахилу площині.

Таблиця 1

	t i, c	(t i − <t>) 2	шляху s, м	Кут нахилу	ролика, кг	Wп, Дж	Wдо, Дж
t(A, n)	<t>	å( t i – <t>) 2	Δ s, м		Δ m, кг

8. Повторіть досвід п. 1-7 для другого ролика. Результати запишіть в табл. 2, аналогічну табл. 1.

9. Зробіть висновки по всім результатам роботи.

Контрольні питання

1. Назвіть види сил в механіці.

2. Пояснити фізичну природу сил тертя.

3. Що називається коефіцієнтом тертя? Його розмірність?

4. Які фактори впливають на величину коефіцієнта тертя спокою, ковзання, кочення?

5. Описати загальний характер руху твердого тіла при коченні.

6. Як спрямований момент сили тертя при коченні по похилій площині?

7. Записати систему рівнянь динаміки при коченні циліндра (кулі) по похилій площині.

8. Вивести формулу (13).

9. Вивести формулу (20).

10. Куля і циліндр з однаковими масами mі рівними радіусами Rодночасно починають скочуватися по похилій площині з висоти h. Одночасно вони досягнуть нижньої точки ( h = 0)?

11. Пояснити причину гальмування котиться тіла.

бібліографічний список

1. Савельєв, І. В. Курс загальної фізики в 3х т. Т. 1 / І. В. Савельєв. - М .: Наука, 1989. - § 41-43.

2. Хайкін, С. Е. Фізичні основи механіки / С. Е. Хайкін. - М: Наука, 1971. - § 97.

3. Трофимова Т. І. Курс фізики / Т. І. Трофимова. - М: Вища. шк., 1990. - § 16-19.

З тим, щоб проілюструвати застосування законів динаміки твердого тіла, вирішимо завдання про скачування циліндра з похилої площини (рис. 10.5).

Суцільний циліндр маси mі радіусу Rскочується без проковзування з похилої площини. Кут нахилу площини - a, а висота Н (Н » R). Початкова швидкість циліндра дорівнює нулю. Визначимо час скочування - Ті швидкість центру мас циліндра біля основи похилій площині.

При коченні циліндра на нього діють три сили: сила тяжіння, пружна сила реакції опори і сила тертя спокою(Адже кочення без проковзування!).

Уявімо це рух сумою двох рухів: поступального зі швидкістю V C, з якою рухається вісь циліндра, і обертального навколо осі циліндра з кутовий швидкістю w.

Мал. 10.5

Цей зв'язок швидкостей поступального і обертального рухів випливає з умови «рух без прослизання».

Продифференцировав рівняння (10.9) за часом, отримаємо співвідношення кутового і лінійного прискорень циліндра:

Тобто .

Скориставшись теоремою про рух точки центру мас, опишемо поступальний рух циліндра:

Для опису обертання скористаємося основним рівнянням динаміки обертального руху:

M C = I C × e. (10.11)

Спроектувавши рівняння (10.10) на напрямку осей xі y, Отримаємо два скалярних рівняння:

x: mg Sina - Fтр = ma C; (10.12)

y: N – mgсosa = 0. (10.13)

Звернемося тепер до рівняння (10.11). З трьох названих сил момент щодо осі циліндра створює тільки сила тертя:

Момент інерції суцільного циліндра щодо його осі дорівнює (див. Лекцію №9):

З огляду на все це, рівняння (10.11) перепишемо так:

Вирішуючи спільно рівняння (10.12) і (10.14), отримаємо наступні значення невідомих величин:

З рівняння (10.15) випливає, що зі збільшенням кута нахилу a повинна зростати і сила тертя спокою Fтр. Але, як відомо, її зростання обмежений граничним значенням:

Так як сила тертя спокою (10.15) не може перевищувати граничного значення (10.17), то повинна виконуватись нерівність:

⅓mg Sina ≤ m mg Cosa.

Звідси випливає, що скочування відбуватиметься без прослизання до тих пір, поки кут a НЕ перевершить значення a перед:

a перед = arctg3m.

Тут m - коефіцієнт тертя циліндра по площині.

Лінійне прискорення циліндра (10.16) величина незмінна, отже, поступальний рух циліндра равноускоренное. При такому русі без початкової швидкості циліндр досягне підстави похилій площині за час:

тут: l= - довжина площині;

a=, (См.10.16).

Значить, час скочування:

Обчислимо кінцеву швидкість поступального руху осі циліндра:

Зауважимо, що це завдання можна вирішити простіше, скориставшись законом збереження механічної енергії.

В системі, правда, присутній сила тертя, але її робота дорівнює нулю, оскільки точка докладання цієї сили в процесі спуску залишається нерухомою: адже рух відбувається без прослизання. Раз немає роботи сили тертя, механічна енергія системи не змінюється.

Розглянемо енергію циліндра в початковий момент - на висоті hі в кінці спуску. Повна енергія циліндра в цих положеннях однакова:

Згадаймо, що і. Тоді рівняння закону збереження енергії можна переписати так:

Звідси легко знайдемо кінцеву швидкість циліндра:

яка блискуче підтверджує отриманий нами раніше результат (10.19).

Лекція 11 «Елементи механіки рідини»

план лекції

1. Тиск рідини. Закони гідростатики.

2. Стаціонарна течія рідини. Рівняння нерозривності потоку.

3. Основний закон динаміки для ідеальної рідини. Рівняння Бернуллі.

4. Застосування рівняння Бернуллі для вирішення завдань гідродинаміки.

4.1. Витікання рідини з посудини.

4.2. Манометрический витратомір.

ВИЗНАЧЕННЯ МОМЕНТУ ІНЕРЦІЇ ТІЛА, скочується з ПОХИЛІЙ ПЛОЩИНІ

МЕТА : Придбати навик розрахунку моменту інерції тіл, що складаються з простих елементів, визначити момент інерції тіла відносно миттєвої осі обертання розрахунковим і експериментальним методом

ОБЛАДНАННЯ : Установка, набір тіл, секундомір

ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

ОПИС УСТАНОВКИ

У роботі використовуються тіла, віссю яких є циліндричний стрижень радіусом r. Одне з рис. 1) поміщають на паралельні направляючі 2, що утворюють з горизонтом кути α1 і α2.

Якщо тіло відпустити, то воно, скочуючись, досягне нижньої точки і, рухаючись далі по інерції, підніметься вгору по напрямних. Рух тіла, при якому траєкторії всіх точок лежать в паралельних площинах, називається плоским. Плоске рух можна представити двома способами: або як сукупність поступального руху тіла зі швидкістю центру мас і обертального навколо осі, що проходить через центр мас; або як тільки обертальний рух навколо миттєвої осі обертання (MOB), положення якої безперервно змінюється. У нашому випадку ця миттєва вісь Z проходить через точки дотику напрямних з рухомим стержнем.

ОПИС МЕТОДУ ИЗМЕРЕНИЙ

При скачуванні тіло, опускаючись з висоти проходить шлях l0, А піднімаючись по інерції на висоту проходить шлях l. У нижній точці швидкість поступального руху центру мас, а кутова швидкість тіла

де t -час руху від верхньої точкидо нижньої, г - радіус стрижня (осі).

На скочувалося тіло діє момент сил опору Мтр. Робота його на шляху l0 дорівнює A = Мтрφ де кутовий шлях φ = l0/ R.

Закон збереження енергії на відрізку шляху l0 має вигляд

, (2)

де J - момент інерції скачується тіла щодо MOB, m - маса тіла, що включає в себе масу стержня.

При русі тіла вниз з висоти h0 і вкативаніі його на висоту h робота сил опору на шляху ( l + l0) Дорівнює убутку потенційної енергії

https://pandia.ru/text/80/147/images/image008_41.gif "width =" 146 height = 48 "height =" 48 "> (4)

Тут величина (α1 і α2) є константою для даної установки.

Момент інерції тіла відносно MOB визначається теоремою Штейнера J = J0 + ma2, (5)

8. Які функції носять назву інтегралів руху?

9. Перерахуйте адитивні інтеграли руху.

10. Як Ви розумієте такі фізичні категорії: «однорідність часу», «однорідність простору», «изотропия простору» і яке відношення вони мають до аддитивним интегралам руху?

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. У чому полягає метод по визначенню моменту інерції тіла?

2. Вкажіть можливі систематичні помилки вимірювань.

3. Вкажіть величини кінетичної і потенційної енергії при скачуванні тіла: на початку і в кінці руху, в нижній точці і в довільній точці.

4. Опишіть характер руху тіла по напрямних. Яка сила створює момент щодо осі обертання?

5. Як вимірюють кутову швидкість ω в даній роботі?

6. Які величини вимірюють для визначення швидкості ω, моменту сил тертя, роботи сил тертя?

7. Які рівняння лежать в основі динамічних методів визначення моменту інерції?

8. Вкажіть можливі джерела випадкових похибок при вимірюваннях.

9. Однорідний циліндр маси m і радіуса R котиться без ковзання по горизонтальній площині. Центр циліндра рухається зі швидкістю υ0. Знайти вираз для визначення кінетичної енергії циліндра.

10. Обчислити момент імпульсу Землі, обумовлений її рухом навколо осі. Порівняти цей момент з моментом імпульсу, обумовленим рухом Землі навколо Сонця. Землю вважати однорідним шаром, а орбіту Землі - колом.