Спектр періодичної послідовності прямокутних імпульсів. Практична робота «Розрахунок та побудова спектру періодичної послідовності прямокутних імпульсів Спектр періодичної послідовності імпульсів є

функція sinc, як показано на рис. 2.6, досягає максимуму (одиниці) при у = 0і прагне до нуля при у® ±¥, осцилюючи з амплітудою, що поступово зменшується. Через нуль вона проходить у точках у= ±1, ±2, …. На рис. 2.7, аяк функція відношення п/т 0 показаний амплітудний спектр послідовності імпульсів з n|, але в рис. 2.7, бзображено фазовий спектр q n. Слід зазначити, що позитивні та негативні частоти двостороннього спектру – це корисний спосібматематичного виразу спектра; Вочевидь, що у реальних умовах відтворити можна лише позитивні частоти.

Ставлення

Ідеальна періодична послідовність імпульсів включає всі гармоніки, кратні своїй частоті. У системах зв'язку часто передбачається, що значна частина потужності або енергії вузькосмугового сигналу посідає частоти від нуля до першого нуля амплітудного спектра (рис. 2.7, а). Таким чином, як міра ширини смугипослідовності імпульсів часто використовується величина 1/ T(де Т -тривалість імпульсу). Зазначимо, що ширина смуги обернено пропорційна тривалості імпульсу; чим коротші імпульси, тим більше широка смуга з ними пов'язана. Відзначимо також, що відстань між спектральними лініями D f= 1/Т 0 назад пропорційно до періоду імпульсів; зі збільшенням періоду лінії розташовуються ближче друг до друга.

Таблиця 2.1. Фур'є-образи

x(t)	X(f)
d( t)
	d( f)
cos 2 p f 0 t	/2
sin 2 p f 0 t	/2
d( t - t 0)
	d( f - f 0)
, a>0
exp(- at)u(t), a>0
rect( t/ T)	T sinc fT
W sinc Wt	rect ( f / W)

sinc x =

Таблиця 2.2 Властивості перетворення Фур'є f)

Для визначення спектрів різних видів імпульсної модуляції знайдемо спектр самого носія. Візьмемо імпульсний носій із імпульсами прямокутної форми (рис. 3.10).

Мал. 3.10 Періодична послідовність прямокутних імпульсів

Послідовність таких імпульсів можна уявити рядами Фур'є.

, (3.32)

де - комплексна амплітуда k-ої гармоніки;

- Постійна складова.

Знайдемо комплексні амплітуди для вказаних меж (рис. 3.10).

(3.33)

Постійна складова

(3.34)

Підставимо (3.33) і (3.34) на (3.32) і після перетворення отримаємо:

(3.35)

З виразу видно, що спектр лінійчастий з огинаючої, що повторює спектр одиночного імпульсу (рис. 3.11). Іншими словами, для імпульсів однакової форми гратчаста функція вписується в безперервну S(j?).

Р іс. 3.11 Спектр періодичної послідовності імпульсів

Постійна складова А0/2 має при цьому вдвічі менше значення. Відстань між складовими гармонік дорівнює основній частоті носія 0 =2π/Т. Звідси випливає, що зміна періоду Т слідування імпульсів призводить до зміни щільності дискретних складових, а зміна шпаруватості Т/τ при незмінному періоді (тобто зміна τ) викликає звуження або розширення форми, що обгинає зі збереженням її, залишаючи незмінною відстань між лініями дискретного спектру . При досить велику щільність цих ліній, коли між вузлами розміщується принаймні кілька ліній спектру (Т>>τ), ширину спектра імпульсного носія можна вважати практично такою ж, як і для одиночного імпульсу. З наближенням до Т ці спектри можуть виявитися різними по ширині. Рис. 3.12 зображені деформації спектра імпульсного носія при зміні Т, а Рис. 3.13 при зміні для імпульсів прямокутної форми.

Р іс. 3.12 Зміна характеру спектра носія за зміни

періоду Т слідування імпульсів прямокутної форми.

При незмінній амплітуді імпульсів згідно з виразом (3.25) загальна дискретного спектра збільшується пропорційно до збільшення площі імпульсів (рис. 3.13).

Слід зазначити, що періодичної послідовності в чистому вигляді не буває, оскільки будь-яка послідовність має початок і кінець. Ступінь наближення залежить від кількості імпульсів у послідовності. Тому для строгого опису імпульсного носія останній повинен розглядатися як одиночний імпульс, що є пакетом елементарних імпульсів певної форми. Такий сигнал має безперервний спектр.

Однак у міру накопичення числа імпульсів у послідовності її спектр дробиться і деформується таким чином, що дедалі більше наближається до ґратчастого.

Мал. 3.13 Зміна характеру спектра носія за зміни

тривалості імпульсу для імпульсів прямокутної форми.

3.7 Спектри сигналів із імпульсною модуляцією

Спектри всіх видів імпульсних модуляцій мають складну будову, а висновки найчастіше виходять надто громіздкими. З цієї причини питання спектрального складу сигналів імпульсної модуляції розглянемо, опускаючи в ряді випадків занадто складні проміжні перетворення. Такий розгляд дозволяє показати підхід до завдання, намітити шлях вирішення та проаналізувати остаточні висновки.

Знайдемо спектр при амплітудно-імпульсної модуляції (АІМ). Для спрощення модулюючу функцію f(t) виберемо, що містить одну гармоніку sint

Розкриваючи цей вислів та замінюючи твір синуса на косинус

. (3.36)

І з (3.36) видно, що у спектрі сигналу міститься частота модулюючої функції та найвищі гармонійні складові kω 0 ±  з двома бічними супутниками. При цьому найвищі гармонічні складові вписуються в загальну спектру одиночного імпульсу носія. Рис. 3.14 показаний спектр при амплітудно-імпульсної модуляції.

Мал. 3.14 Спектр при амплітудно-імпульсній модуляції.

Ширина спектра при АІМ не змінюється, оскільки величина амплітуд, які слід брати до уваги щодо ширини, залежить лише від співвідношення τ /Т, а ця величина при АІМ постійна. Якщо послідовність імпульсів модулюється складною функцією від  min до  max , то у спектрі після модуляції з'являються не спектральні лінії, а смуги частот  min …  max і кω 1 ±( min … max)

Розглянемо особливості спектра при фазо-імпульсної модуляції (ФІМ), яка відноситься до різновиду час-імпульсної модуляції (ВІМ).

П ри ФІМ – модуляції (Рис. 3.15) пунктирною лінією показано зміну функції, що модулює в часі. Вертикальні пунктирні лінії відповідають становищу перехідних фронтів немодульованої послідовності імпульсів. З малюнка видно, що положення імпульсів (фаза) змінюється щодо так званих тактових точок t k , що відповідають положенню на осі часу передніх фронтів немодульованої послідовності імпульсів. Зміщення одного з імпульсів на час ∆t k показано малюнку.

Мал. 3.15 Ілюстрація ФІМ – модуляції.

Мал. 3.16 Положення імпульсу без модуляції

та за наявності модуляції.

На рис. 3.16 пунктиром показаний немодульований імпульс, розташований симетрично щодо тактової точки, що відповідає початку відліку. При модуляції імпульс зміститься на величину
, Де t 1 відповідає новому положенню переднього фронту, а t 2 - Новому положенню заднього фронту. Вважатимемо, що максимальне зміщення імпульсу ∆t K відповідає значенню U(t) = 1.

Якщо модулююча функція змінюється синусоїдально, то для модульованого імпульсу моменти часу, що відповідають положенню переднього та заднього фронтів:

(3.37)

(3.38)

В останньому виразі (3.38) значення часу дорівнює (t-τ) оскільки задній фронт зміщений щодо переднього на величину тривалості імпульсу.

Для отримання спектра при ФІМ необхідно підставити замість значення t 2 -t 1 , оскільки t 1 і t 2 є поточними координатами. Відобразити зміщення осьової лінії можна, замінюючи час t часом
. В результаті підстановки цих значень (3.35) отримаємо:

(3.39)

Підставляючи у вираз (3.39) значення t 1 і t 2 і після перетворення отримаємо вираз, що збігається зі спектром при АІМ, тільки біля складової основної частоти та кожної вищої гармоніки з'явилися не одна нижня та одна верхня бічні спектральні лінії, а смуги бічних гармонік з частотами (kω 0 ±n).

Зразковий вид спектра показано на рис. 3.17. Однак бічні супутники швидко зменшуються, тому що в них входять функції Безселя.

Р іс. 3.17 Спектр під час фазо-імпульсної модуляції.

Спектри при ШІМ та ЧІМ за своїм складом виявляються такими ж, як і спектр при ФІМ – модуляції.

Незважаючи на те, що характер спектру при модуляції носія змінюється і залежить від виду модуляції, його ширина залишається такою ж, як для одиночного імпульсу і визначається в основному тривалістю імпульсів τ.

Передача вимірювальної інформації в телеметричних пристроях з тимчасовим поділом каналів часто виявляється кращою, ніж передача за допомогою частотного розділення каналів, так як при тимчасовому розділенні не потрібно фільтрів і, крім того, ширина смуги пропускання не залежить від кількості каналів.

Залежно від виду модуляції в каналах (первинної) та виду модуляції несучої частоти (вторинної) існують основні типи телевимірювальних пристроїв з тимчасовим поділом каналів: АІМ-ЧМ, ШІМ-ЧМ, ФІМ-АМ, ФІМ-ЧМ, КІМ-АМ, КІМ- ЧС.

Системи з тимчасовим поділом каналів застосовуються передачі вимірювальної інформації зі штучних супутників і космічних кораблів.

Розглянемо періодичну послідовність імпульсів прямокутної форми з періодом Т, тривалістю імпульсів та максимальним значенням . Знайдемо розкладання в ряд такого сигналу, обравши початок координат, як показано на рис. 15. у своїй функція симетрична щодо осі ординат, тобто. всі коефіцієнти синусоїдальних складових =0, і потрібно розрахувати лише коефіцієнти .

- 0 T t

постійна складова
(28)

Постійна складова – це середнє значення у період, тобто. це площа імпульсу
, поділена протягом усього періоду, тобто.
, тобто. те, що сталося і за суворому формальному обчисленні (28).

Згадаймо, що частота першої гармоніки  1 = , де Т – період прямокутного сигналу Відстань між гармоніками = 1 . Якщо номер гармоніки n виявиться таким, що аргумент синуса
, звідки . Номер гармоніки, за якого амплітуда її звертається в нуль перший раз, називають «першим нулем»і позначають його літерою N, підкреслюючи особливі властивості цієї гармоніки:

(29)

з іншого боку, шпаруватість S імпульсів – це ставлення періоду Т до тривалості імпульсів t u , тобто. . Отже «перший нуль» чисельно дорівнює шпаруватості імпульсу N= S. Оскільки синус звертається в нуль при всіх значеннях аргументу, кратних , то й амплітуди всіх гармонік з номерами, кратними номеру першого нуля, теж звертаються в нуль. Тобто
при
, де k- Будь-яке ціле число. Так, наприклад, (22) і (23) слід, що спектр прямокутних імпульсів зі шпаруватістю 2 складається тільки з непарних гармонік. Оскільки S=2 , то й N=2 , тобто. амплітуда другої гармоніки вперше звертається до нуля – це «перший нуль». Але тоді й амплітуди решти гармонік з номерами, кратними 2, тобто. всі парні теж мають звертатися у нуль. При шпару S = 3 нульові амплітуди будуть у 3, 6, 9, 12, .... гармонік.

Зі збільшенням шпару «перший нуль» зміщується в область гармонік з великими номерами і, отже, швидкість зменшення амплітуд гармонік зменшується. Простий розрахунок амплітуди першої гармоніки при U m=100В для шпаруватості S=2, U m 1 =63,7B, при S=5, U m 1 =37,4B і при S=10, U m 1 =19,7B, тобто. зі зростанням шпаруватості амплітуда першої гармоніки різко зменшується. Якщо ж знайти відношення амплітуди, наприклад, 5-ї гармоніки U m 5 до амплітуди першої гармоніки U m 1 , то для S=2, U m 5 /U m 1 =0,2, а для S=10, U m 5 / U m 1 = 0,9, тобто. швидкість згасання вищих гармонік із зростанням шпаруватості зменшується.

Таким чином, зі зростанням шпару спектр послідовності прямокутних імпульсів стає більш рівномірним.

2.5. Спектри при зменшенні тривалості імпульсу та періоду сигналу.

Регулювати добре S= T/ t nможна або зміною тривалості імпульсу t nпри T=const, або зміною періоду Т при t n= Const. Розглянемо спектри сигналів у своїй.

T =const,t n =var.Частота першої гармоніки f 1 =1/ T= const та  f= f 1 = const. Перший нуль N= T/ t nі в міру скорочення імпульсу t nзміщується в область гармонік з великими номерами. При t n 0 N, спектр виходить дискретним і  f= f 1 , нескінченно широкий та з нескінченно малими амплітудами гармонік.

t n = Const,T =var.Збільшуватимемо період Ттоді частота першої гармоніки f 1 та відстань між спектральними лініями  fзменшуватимуться. Так як  f= f 1 =1/Т, то спектральні лінії зміщуватимуться в область нижчих частот і «щільність» спектру зросте. Якщо Т, то сигнал із періодичного стає неперіодичним (одиночний імпульс). В цьому випадку f 1 =  f0, тобто. спектр з дискретного перетворюється на безперервний, що складається з нескінченно великої кількості спектральних ліній, що знаходяться на нескінченно малих відстанях один від одного.

Звідси випливає правило: періодичні сигнали породжують дискретні (лінійчасті) спектри, а неперіодичні – суцільні (безперервні).

При переході від дискретного спектра до безперервного ряду Фур'є замінюється інтегралом Фур'є. Найбільш просто ця заміна виконується, якщо використовувати запис ряду Фур'є у комплексній формі (16) та (17). Інтеграл Фур'є для безперервного спектру записується

, (30)

де
(31)

Функція F(j ) називається спектральною функцієюабо спектральною щільністющо залежить від частоти. Формули (30) і (31) називають у сукупності одностороннім перетворенням Фур'є, яке є окремим випадком більш загального перетворення Лапласа і виходить заміною у перетворенні Лапласа комплексною змінною рна j .

Спектральну функцію можна як огинаючу коефіцієнтів низки Фур'є, тобто. як межа лінійного спектру періодичної функції при Т. Функція F(j ) може бути дійсною чи комплексною. Вважаючи в загальному випадку
, ми отримуємо дві частотні характеристики:
-амплітудний спектр, тобто. залежність амплітуди спектральних складових від частоти, та  ( ) – фазовий спектр, тобто. закон зміни фази спектральних складових сигналу від частоти Можна показати, що амплітудний спектр – завжди парна, а фазовий спектр – завжди непарна функція . Спектральну функцію для багатьох неперіодичних сигналів (одинокових імпульсів різної форми) найбільш легко і просто знаходити за допомогою таблиць оригіналів та зображень у перетворенні Лапласа, які наводяться у навчальній та довідковій літературі. Після знаходження зображення за Лапласом F(p) для заданої неперіодичної функції f(t) , спектральна функція знаходиться

(32)

Отже, згідно (30) неперіодична функція f(t) представляється сукупністю нескінченно великої кількості гармонік з нескінченно малими амплітудами
у всьому діапазоні частот від - до +, тобто. подання f(t) у вигляді інтеграла Фур'є передбачає підсумовування гармонійних коливань нескінченного суцільного спектру частот, що незатухають.

опис лабораторної установки

Робота виконується на блоці "Синтезатор сигналу", функціональна схема якого наведена на рис. 16.

Блок містить генераторів Г1-Г6 шести перших гармонік сигналу. Частота першої гармоніки дорівнює 10 кгц. Гармонічний сигнал з виходу n-го генератора через фазообертач Ф n і атенюатор А n надходить на суматор. Фазорі задають початкові фази n гармонік, а атенюаторами - їх амплітуди А n .

На виході суматора у загальному випадку виходить сума шести гармонік сигналу

.

З виходу суматора сигнал подається на вхід Y осцилографа. Для зовнішньої синхронізації використовується спеціальний імпульсний сигнал, що подається з гнізда «Синхр.» на вхід Х осцилографа. Для встановлення та контролю амплітуд гармонік передбачена можливість відключення будь-якої з гармонік. Увімкнувши лише генератор n-ої гармоніки, можна встановити її амплітуду атенюатором А n і оцінити її значення за допомогою осцилографа. Кожен фазообертач за допомогою перемикача дозволяє встановити необхідне дискретне значення початкової фази гармоніки або відключити генератор.

З виходу джерела повідомлень надходять сигнали, що несуть інформацію, і навіть тактові, які використовуються синхронізації роботи передавача і приймача системи передачі. Інформаційні сигнали мають вигляд неперіодичної, а тактові - періодичної послідовності імпульсів.

Для правильної оцінки можливості передачі таких імпульсів каналами зв'язку визначимо їх спектральний склад. Періодичний сигнал у вигляді імпульсів будь-якої форми можна розкласти в ряд Фур'є згідно (7).

Для передачі повітряними і кабельними лініями зв'язку застосовуються сигнали різної форми. Вибір тієї чи іншої форми залежить від характеру повідомлень, що передаються, частотного спектра сигналів, частотних ічасових параметрів сигналів. Велике застосування техніки передачі дискретних повідомлень отримали сигнали, близькі формою до прямокутним імпульсам.

Обчислимо діапазон, тобто. сукупність амплітуд постійної та

гармонійних складових періодичних прямокутних імпульсів(Малюнок 4,а) тривалістю та періодом. Оскільки сигнал є парною функцією часу, то у виразі (3) всі парні гармонічні складові перетворюються на нуль ( =0), а непарні складові набувають значення:

(10)

Постійна складова дорівнює

(11)

Для сигналу 1:1 (телеграфні точки) рисунок 4а:

,
. (12)

Модулі амплітуд спектральних складових послідовності прямокутних імпульсів з періодом
наведено на рис. 4,б. По осі абсцис відкладено основну частоту повторення імпульсів
() та частоти непарних гармонічних складових
,
і т.д. Огинаюча спектра змінюється згідно із законом.

При збільшенні періоду порівняно з тривалістю імпульсу число гармонійних складових у спектральному складі періодичного сигналу збільшується. Наприклад, для сигналу з періодом (рисунок 4, в) отримуємо, що постійна складова дорівнює

У смузі частот від нуля до частоти міститься п'ять гармонійних складових (рисунок 4, г), у той час як прилиш одна.

При подальшому збільшенні періоду повторення імпульсів число гармонійних складових стає дедалі більше. У граничному випадку коли
сигнал стає неперіодичною функцією часу, число його гармонійних складових у смузі частот від нуля до частоти збільшується до нескінченності; розташовані вони будуть на нескінченно облизьких відстанях по частоті; спектр неперіодичного сигналу стає безперервним.

Малюнок 4

2.4 Спектр одиночного імпульсу

Задано одиночний відеоімпульс (рисунок 5):

Малюнок 5

Метод рядів Фур'є допускає глибоке та плідне узагальнення, що дозволяє отримувати спектральні характеристики неперіодичних сигналів. Для цього подумки доповнимо одиночний імпульс такими ж імпульсами, що періодично наступають через деякий інтервал часу, і отримаємо вивчену раніше періодичну послідовність:

Представимо одиночний імпульс як суму періодичних імпульсів із великим періодом.

, (14)

де – цілі числа.

Для періодичного коливання

. (15)

Для того, щоб повернутися до одиночного імпульсу, спрямуємо до нескінченності період повторення: . При цьому очевидно:

, (16)

Позначимо

. (17)

Величиною називається спектральна характеристика (функція) одиночного імпульсу (пряме перетворення Фур'є). Вона залежить тільки від тимчасового опису імпульси в загальному вигляді комплексної:

, (18) де
; (19)

; (20)

,

де
- модуль спектральної функції (амплітудно-частотна характеристика імпульсу);

- фазовий кут, фазочастотна характеристика імпульсу.

Знайдемо для одиночного імпульсу за формулою (8), використовуючи спектральну функцію:

.

Якщо , отримаємо:

. (21)

Отримане вираз називається зворотним перетворенням Фур'є.

Інтеграл Фур'є визначає імпульс у вигляді нескінченної суми нескінченно малих гармонійних складових, що розташовані на всіх частотах.

На цій підставі говорять про безперервний (суцільний) спектр, який має одиночний імпульс.

Повна енергія імпульсу (енергія, що виділяється на активному опорі Ом) дорівнює

(22)

Змінюючи порядок інтегрування, отримаємо

.

Внутрішній інтеграл є спектральна функція імпульсу, взята при аргументі -, тобто. є комплексно сполученою звеличиною:

Отже

Квадрат модуля (твір двох сполучених комплексних чисел дорівнює квадрату модуля).

І тут умовно стверджують, що спектр імпульсу є двостороннім, тобто. розміщується у смузі частот від до.

Наведене співвідношення (23), що встановлює зв'язок між енергією імпульсу (на опорі 1 Ом) і модулем спектральної функції відоме під назвою рівність Парсеваля.

Воно стверджує, що енергія, укладена в імпульсі, дорівнює сумі енергій всіх складових його спектра. Рівність Парсеваля характеризує важливе властивість сигналів. Якщо деяка виборча система пропускає лише частина спектра сигналу, послаблюючи інші її складові, це означає, що частина енергії сигналу втрачається.

Так як квадрат модуля є парною функцією змінної інтегрування, то подвоївши значення інтеграла можна ввести інтегрування в межах від 0 до:

. (24)

При цьому говорять, що спектр імпульсу розміщується у смузі частот від 0 до і називається одностороннім.

Підінтегральна величина (23) називається енергетичним спектром (спектральна щільність енергії) імпульсу

Вона характеризує розподіл енергії за частотою, та її значення на частоті дорівнює енергії імпульсу, що припадає на смугу частот, що дорівнює 1 Гц. Отже, енергія імпульсу є результатом інтегрування енергетичного спектра сигналу по всьому діапазону частот от. Інакше кажучи, енергія дорівнює площі, укладеній між кривою, що зображує енергетичний спектр сигналу і віссю абсцис.

Для оцінки розподілу енергії за спектром користуються відносною інтегральною функцією розподілу енергії (енергетичною характеристикою)

, (25)

де
- Енергія імпульсу в заданій смузі частот від 0 до, яка характеризує частку енергії імпульсу, зосереджену в інтервалі частот від 0 до.

Для одиночних імпульсів різної форми виконуються такі закономірності: