Наводяться приклади обчислення похідних за допомогою логарифмічною похідною.

зміст

Див. також: Властивості натурального логарифма

метод рішення

нехай
(1)
є диференційована функція від змінної x. На початку ми розглянемо її на безлічі значень x, для яких y набуває додатних значень:. Надалі ми покажемо, що всі отримані результати застосовні і для негативних значень.

У деяких випадках, щоб знайти похідну функції (1), її зручно попередньо прологаріфміровать
,
а потім обчислити похідну. Тоді за правилом диференціювання складної функції,
.
Звідси
(2) .

Похідна від логарифма функції називається логарифмічною похідною:
.

Логарифмічна похідна функції y = f (x)- це похідна натурального логарифма цієї функції: (Ln f (x)) '.

Випадок негативних значень y

Тепер розглянемо випадок, коли змінна може приймати як позитивні, так і негативні значення. В цьому випадку візьмемо логарифм від модуля і знайдемо його похідну:
.
Звідси
(3) .
Тобто, в загальному випадку, потрібно знайти похідну від логарифма модуля функції.

Порівнюючи (2) і (3) ми маємо:
.
Тобто формальний результат обчислення логарифмічною похідною не залежить від того, взяли ми по модулю чи ні. Тому, при обчисленні логарифмічною похідною, ми можемо не турбується про те, який знак має функція.

Прояснити таку ситуацію можна за допомогою комплексних чисел. Нехай, при деяких значеннях x, негативна:. Якщо ми розглядаємо тільки дійсні числа, То функція не визначена. Однак, якщо ввести в розгляд комплексні числа, то отримаємо наступне:
.
Тобто функції і відрізняються на комплексну постійну:
.
Оскільки похідна від постійної дорівнює нулю, то
.

Властивість логарифмічною похідною

З подібного розгляду випливає, що логарифмічна похідна не зміниться, якщо помножити функцію на довільну постійну :
.
Дійсно, застосовуючи властивості логарифма, формули похідною сумиі похідною постійної, Маємо:

.

Застосування логарифмічною похідною

Застосовувати логарифмічну похідну зручно в тих випадках, коли вихідна функція складається з твору статечних або показових функцій. У цьому випадку операція логарифмування перетворює твір функцій в їх суму. Це спрощує обчислення похідної.

приклад 1

Знайти похідну функції:
.

Логарифмуючи вихідну функцію:
.

Диференціюючи по змінної x.
У таблиці похідних знаходимо:
.
Застосовуємо правило диференціювання складної функції.
;
;
;
;
(П1.1) .
Помножимо на:

.

Отже, ми знайшли логарифмічну похідну:
.
Звідси знаходимо похідну вихідної функції:
.

Примітка

Якщо ми хочемо використовувати тільки дійсні числа, то слід брати логарифм від модуля вихідної функції:
.
тоді
;
.
І ми отримали формулу (П1.1). Тому результат не змінився.

приклад 2

За допомогою логарифмічною похідною, знайдіть похідну функції
.

логарифмуючи:
(П2.1) .
Диференціюючи по змінної x:
;
;

;
;
;
.

Помножимо на:
.
Звідси ми отримуємо логарифмічну похідну:
.

Похідна вихідної функції:
.

Примітка

Тут вихідна функція невід'ємна:. Вона визначена при. Якщо не припускати, що логарифм може бути визначений для негативних значень аргументу, то формулу (П2.1) слід записати так:
.
оскільки

і
,
то це не вплине на остаточний результат.

приклад 3

Знайдіть похідну
.

Диференціювання виконуємо за допомогою логарифмічною похідною. Логарифмуючи, враховуючи що:
(П3.1) .

Диференціюючи, отримуємо логарифмічну похідну.
;
;
;
(П3.2) .

Оскільки, то

.

Примітка

Проробимо обчислення без припущення, що логарифм може бути визначений для негативних значень аргументу. Для цього візьмемо логарифм від модуля вихідної функції:
.
Тоді замість (П3.1) маємо:
;

.
Порівнюючи з (П3.2) ми бачимо, що результат не змінився.

Див. також:

При диференціюванні показово статечної функції або громіздких дробових виражень зручно користуватися логарифмічною похідною. У цій статті ми розглянемо приклади її застосування з докладними рішеннями.

Подальший виклад має на увазі вміння користуватися таблицею похідних, правилами диференціювання і знання формули похідної складної функції.

Висновок формули логарифмічною похідною.

Спочатку проводимо логарифмирование по підставі e, спрощуємо вид функції, використовуючи властивості логарифма, і далі знаходимо похідну неявно заданої функції:

Для прикладу знайдемо похідну показово статечної функції x в ступені x.

Логарифмування дає. За властивостями логарифма. Диференціювання обох частин рівності призводить до результату:

відповідь: .

Цей же приклад можна вирішити і без використання логарифмічною похідною. Можна провести деякі перетворення і перейти від диференціювання показово статечної функції до знаходження похідної складної функції:

Приклад.

Знайти похідну функції .

Рішення.

У цьому прикладі функція являє собою дріб і її похідну можна шукати з використанням правил диференціювання. Але в силу громіздкості вираження це зажадає безлічі перетворень. У таких випадках розумніше використовувати формулу логарифмічною похідною . Чому? Ви зараз зрозумієте.

Знайдемо спочатку. У перетвореннях будемо використовувати властивості логарифма (логарифм дробу дорівнює різниці логарифмів, а логарифм твори дорівнює сумілогарифмів, і ще ступінь у вираження під знаком логарифма можна винести як коефіцієнт перед логарифмом):

Ці перетворення привели нас до досить простому висловом, Похідна якого легко знаходиться:

Підставляємо отриманий результат в формулу логарифмічною похідною і отримуємо відповідь:

Для закріплення матеріалу наведемо ще кілька прикладів без докладних пояснень.

Приклад.

Знайдіть похідну показово статечної функції

Доказ і висновок формул похідною натурального логарифма і логарифма за основою a. Приклади обчислення похідних від ln 2x, ln 3x і ln nx. Доведення формули похідної логарифма n-го порядку методом математичної індукції.

зміст

Див. також: Логарифм - властивості, формули, графік
Натуральний логарифм - властивості, формули, графік

Висновок формул похідних натурального логарифма і логарифма за основою a

Похідна натурального логарифма від x дорівнює одиниці, поділеній на x:
(1) (Ln x) '=.

Похідна логарифма за основою a дорівнює одиниці, поділеній на змінну x, помножену на натуральний логарифм від a:
(2) (Log a x) '=.

Доведення

Нехай є деяке позитивне число, не рівне одиниці. Розглянемо функцію, залежну від змінної x, яка є логарифмом по підставі:
.
Ця функція визначена при. Знайдемо її похідну по змінній x. За визначенням, похідна є наступним межею:
(3) .

Перетворимо цей вираз, щоб звести його до відомим математичним властивостям і правилам. Для цього нам потрібно знати наступні факти:
А)Властивості логарифма. Нам знадобляться наступні формули:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
Б)Безперервність логарифма і властивість меж для неперервної функції:
(7) .
Тут - деяка функція, у якій існує межа і ця межа позитивний.
В)Значення другого чудового краю:
(8) .

Застосовуємо ці факти до нашого межі. Спочатку перетворимо вираження алгебри
.
Для цього застосуємо властивості (4) і (5).

.

Скористаємося властивістю (7) і другим чудовим межею (8):
.

І, нарешті, можна застосувати властивість (6):
.
Логарифм по підставі eназивається натуральним логарифмом. Він позначається так:
.
тоді;
.

Тим самим ми отримали формулу (2) похідною логарифма.

Похідна натурального логарифма

Ще раз випишемо формулу похідної логарифма за основою a:
.
Ця формула має найбільш простий вигляд для натурального логарифма, для якого,. тоді
(1) .

Через таку простоти, натуральний логарифм дуже широко використовується в математичному аналізі і в інших розділах математики, пов'язаних з диференціальним численням. Логарифмічні функції з іншими підставами можна виразити через натуральний логарифм, використовуючи властивість (6):
.

Похідну логарифма за основою можна знайти з формули (1), якщо винести постійну за знак диференціювання:
.

Інші способи доказ похідною логарифма

Тут ми припускаємо, що нам відома формула похідною експоненти:
(9) .
Тоді ми можемо вивести формулу похідної натурального логарифма, враховуючи, що логарифм є зворотною функцією до експоненті.

Доведемо формулу похідної натурального логарифма, застосувавши формулу похідної зворотної функції:
.
У нашому випадку . Зворотною функцією до натурального логарифму є експонента:
.
Її похідна визначається за формулою (9). Змінні можна позначити будь-якою літерою. У формулі (9), замінимо змінну x на y:
.
Оскільки, то
.
тоді
.
Формула доведена.

Тепер доведемо формулу похідної натурального логарифма за допомогою правила диференціювання складної функції. Оскільки функції і є зворотними один до одного, то
.
Диференціюючи це рівняння по змінній x:
(10) .
Похідна від ікси дорівнює одиниці:
.
Застосовуємо правило диференціювання складної функції:
.
Тут. Підставами в (10):
.
Звідси
.

приклад

Знайти похідні від ln 2x, ln 3xі ln nx.

Вихідні функції мають схожий вигляд. Тому ми знайдемо похідну від функції y = ln nx. Потім підставимо n = 2 і n = 3. І, тим самим, отримаємо формули для похідних від ln 2xі ln 3x .

Отже, шукаємо похідну від функції
y = ln nx .
Уявімо цю функцію як складну функцію, що складається з двох функцій:
1) Функції, що залежить від змінної:;
2) Функції, що залежить від змінної:.
Тоді вихідна функція складена з функцій і:
.

Знайдемо похідну від функції по змінній x:
.
Знайдемо похідну від функції по змінній:
.
Застосовуємо формулу похідної складної функції.
.
Тут ми підставили.

Отже, ми знайшли:
(11) .
Ми бачимо, що похідна не залежить від n. Цей результат цілком природний, якщо перетворити вихідну функцію, застосовуючи формулу логарифма від твору:
.
- це постійна. Її похідна дорівнює нулю. Тоді за правилом диференціювання суми маємо:
.

; ; .

Похідна логарифма модуля x

Знайдемо похідну від ще однієї дуже важливої ​​функції - натурального логарифма від модуля x:
(12) .

Розглянемо випадок. Тоді і функція має вигляд:
.
Її похідна визначається за формулою (1):
.

Тепер розглянемо випадок. Тоді і функція має вигляд:
,
де.
Але похідну цієї функції ми також знайшли в наведеному вище прикладі. Вона не залежить від n і дорівнює
.
тоді
.

Об'єднуємо ці два випадки в одну формулу:
.

Відповідно, для логарифма за основою a, маємо:
.

Похідні вищих порядків натурального логарифма

Розглянемо функцію
.
Ми знайшли її похідну першого порядку:
(13) .

Знайдемо похідну другого порядку:
.
Знайдемо похідну третього порядку:
.
Знайдемо похідну четвертого порядку:
.

Можна помітити, що похідна n-го порядку має вигляд:
(14) .
Доведемо це методом математичної індукції.

Доведення

Підставами в формулу (14) значення n = 1:
.
Оскільки, то при n = 1 , Формула (14) справедлива.

Припустимо, що формула (14) виконується при n = k. Доведемо, що з цього випливає, що формула справедлива при n = k + 1 .

Дійсно, при n = k маємо:
.
Диференціюючи по змінної x:

.
Отже, ми отримали:
.
Ця формула збігається з формулою (14) при n = k + 1 . Таким чином, з припущення, що формула (14) справедлива при n = k випливає, що формула (14) справедлива при n = k + 1 .

Тому формула (14), для похідної n-го порядку, справедлива для будь-яких n.

Похідні вищих порядків логарифма за основою a

Щоб знайти похідну n-го порядку від логарифма за основою a, потрібно висловити його через натуральний логарифм:
.
Застосовуючи формулу (14), знаходимо n-ю похідну:
.

Див. також:

Складні похідні. Логарифмічна похідна.
Похідна статечно-показовою функції

Продовжуємо підвищувати свою техніку диференціювання. На даному уроці ми закріпимо пройдений матеріал, розглянемо більш складні похідні, а також познайомимося з новими прийомами і хитрощами знаходження похідної, зокрема, з логарифмічною похідною.

Тим читачам, у кого низький рівеньпідготовки, слід звернутися до статті Як знайти похідну? приклади рішень, Яка дозволить підняти свої навички практично з нуля. Далі необхідно уважно вивчити сторінку Похідна складної функції, Зрозуміти і прорешать всінаведені мною приклади. Даний урок логічно третій за рахунком, і після його освоєння Ви будете впевнено диференціювати досить складні функції. Небажано дотримуватися позиції «Куди ще? Та й так вистачить! », Оскільки всі приклади і прийоми рішення взяті з реальних контрольних робіт і часто зустрічаються на практиці.

Почнемо з повторення. На уроці Похідна складної функціїми розглянули ряд прикладів з докладними коментарями. В ході вивчення диференціального обчислення і інших розділів математичного аналізу - диференціювати доведеться дуже часто, і не завжди буває зручно (та й не завжди потрібно) розписувати приклади дуже докладно. Тому ми потренуємося в усному знаходженні похідних. Самим придатними «кандидатами» для цього є похідні найпростіших зі складних функцій, наприклад:

За правилом диференціювання складної функції :

При вивченні інших тем мату в майбутньому така докладна запис найчастіше не потрібно, передбачається, що студент вміє знаходити подібні похідні на автопілоті автоматі. Уявімо, що о 3 годині ночі пролунав телефонний дзвінок, і приємний голос запитав: «Чому дорівнює похідна тангенса двох ікс?». На це повинен послідувати майже миттєвий і ввічливий відповідь: .

Перший приклад буде одразу призначений для самостійного рішення.

приклад 1

Знайти такі похідні усно, в одну дію, наприклад:. Для виконання завдання потрібно використовувати тільки таблицю похідних елементарних функцій(Якщо вона ще не запам'яталася). Якщо виникнуть труднощі, рекомендую перечитати урок Похідна складної функції.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Відповіді в кінці уроку

складні похідні

Після попередньої артпідготовки будуть менш страшні приклади, з 3-4-5 вкладеннями функцій. Можливо, такі два приклади здадуться деяким складними, але якщо їх зрозуміти (хтось і помучиться), то майже все інше в диференціальному обчисленні буде здаватися дитячої жартом.

приклад 2

Знайти похідну функції

Як вже зазначалося, при знаходженні похідної складної функції, перш за все, необхідно правильноРОЗІБРАТИСЯ у вкладеннях. У тих випадках, коли є сумніви, нагадую корисний прийом: беремо піддослідна значення «ікс», наприклад, і пробуємо (подумки або на чернетці) підставити це значення в «страшне вираз».

1) Спочатку нам потрібно обчислити вираз, значить, сума - найглибше вкладення.

2) Потім необхідно обчислити логарифм:

4) Потім косинус звести в куб:

5) На п'ятому кроці різниця:

6) І, нарешті, сама зовнішня функція - це квадратний корінь:

Формула диференціювання складної функції застосуються в зворотному порядку, від самої зовнішньої функції, до самої внутрішньої. вирішуємо:

Начебто без помилок ....

(1) Беремо похідну від квадратного кореня.

(2) Беремо похідну від різниці, використовуючи правило

(3) Похідна трійки дорівнює нулю. У другому доданку беремо похідну від ступеня (куба).

(4) Беремо похідну від косинуса.

(5) Беремо похідну від логарифма.

(6) І, нарешті, беремо похідну від найглибшого вкладення.

Може здатися занадто важко, але це ще не самий звірячий приклад. Візьміть, наприклад, збірник Кузнєцова і ви оціните всю красу і простоту розібраної похідною. Я помітив, що схожу штуку люблять давати на іспиті, щоб перевірити, розуміє студент, як знаходити похідну складеної функції, або не розуміє.

Наступний приклад для самостійного рішення.

приклад 3

Знайти похідну функції

Підказка: Спочатку застосовуємо правила лінійності і правило диференціювання твори

Повне рішення і відповідь в кінці уроку.

Настав час перейти до чого-небудь більш компактному і симпатичному.
Чи не рідкісна ситуація, коли в прикладі дано твір не двох, а трьох функцій. Як знайти похідну від твору трьох множників?

приклад 4

Знайти похідну функції

Спочатку дивимося, а чи не можна твір трьох функцій перетворити на витвір двох функцій? Наприклад, якби у нас в творі було два многочлена, то можна було б розкрити дужки. Але в розглянутому прикладі всі функції різні: ступінь, експонента і логарифм.

У таких випадках необхідно послідовнозастосувати правило диференціювання твори два рази

Фокус полягає в тому, що за «у» ми позначимо твір двох функцій:, а за «ве» - логарифм:. Чому так можна зробити? А хіба - це не твір двох множників і правило не працює ?! Нічого складного немає:

Тепер залишилося вдруге застосувати правило до дужки:

Можна ще поізвращаться і винести що-небудь за дужки, але в даному випадку відповідь краще залишити саме в такому вигляді - легше буде перевіряти.

Розглянутий приклад можна вирішити другим способом:

Обидва способи вирішення абсолютно рівноцінні.

приклад 5

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення, в зразку воно вирішено першим способом.

Розглянемо аналогічні приклади з дробом.

приклад 6

Знайти похідну функції

Тут можна піти декількома шляхами:

Або так:

Але рішення запишеться більш компактно, якщо в першу чергу керуватися правилом диференціювання приватного , Прийнявши за весь чисельник:

В принципі, приклад вирішене, і якщо його залишити в такому вигляді, то це не буде помилкою. Але при наявності часу завжди бажано перевірити на чернетці, а чи не можна відповідь спростити? Наведемо вираз чисельника до спільного знаменника і позбудемося триповерховий дроби:

Мінус додаткових спрощень полягає в тому, що є ризик припуститися помилки вже не при знаходженні похідної, а при банальних шкільних перетвореннях. З іншого боку, викладачі нерідко бракують завдання і просять «довести до розуму» похідну.

Більш простий приклад для самостійного рішення:

приклад 7

Знайти похідну функції

Продовжуємо освоювати прийоми знаходження похідної, і зараз ми розглянемо типовий випадок, коли для диференціювання запропонований «страшний» логарифм

приклад 8

Знайти похідну функції

Тут можна піти довгим шляхом, використовуючи правило диференціювання складної функції:

Але перший же крок відразу засмучує - належить узяти неприємну похідну від дробу ступеня, а потім ще й від дробу.

Тому перед тимяк брати похідну від «крутого» логарифма, його попередньо спрощують, використовуючи відомі шкільні властивості:

! Якщо під рукою є зошит з практикою, перепишіть ці формули прямо туди. Якщо зошити немає, перемалюють їх на листочок, оскільки залишилися приклади уроку буду обертатися навколо цих формул.

Саме рішення можна оформити приблизно так:

Перетворимо функцію:

Знаходимо похідну:

Попереднє перетворення самої функції значно спростило рішення. Таким чином, коли для диференціювання запропонований подібний логарифм, то його завжди доцільно «розвалити».

А зараз пара нескладних прикладів для самостійного рішення:

приклад 9

Знайти похідну функції

приклад 10

Знайти похідну функції

Всі перетворення і відповіді в кінці уроку.

логарифмічна похідна

Якщо похідна від логарифмів - це така солодка музика, то виникає питання, а чи не можна в деяких випадках організувати логарифм штучно? Можна, можливо! І навіть потрібно.

приклад 11

Знайти похідну функції

Схожі приклади ми недавно розглянули. Що робити? Можна послідовно застосувати правило диференціювання приватного, а потім правило диференціювання твори. Недолік методу полягає в тому, що вийде величезна триповерхова дріб, з якої зовсім не хочеться мати справи.

Але в теорії і практиці є така чудова річ, як логарифмічна похідна. Логарифми можна організувати штучно, «навісивши» їх на обидві частини:

Примітка : Тому що функція може приймати негативні значення, то, взагалі кажучи, потрібно використовувати модулі: , Які зникнуть в результаті диференціювання. Однак припустимо і поточне оформлення, де за замовчуванням беруться до уваги комплекснізначення. Але якщо з усією строгістю, то і в тому і в іншому випадку слід зробити застереження, що.

Тепер потрібно максимально «розвалити» логарифм правій частині (формули перед очима?). Я розпишу цей процес дуже докладно:

Власне приступаємо до диференціювання.
Укладаємо під штрих обидві частини:

Похідна правій частині досить проста, її я коментувати не буду, оскільки якщо ви читаєте цей текст, то повинні впевнено впоратися з цим завданням.

Як бути з лівою частиною?

У лівій частині у нас складна функція. Передбачаю запитання: «Чому, там же одна буква« ігрек »під логарифмом?».

Справа в тому, що ця «одна буква ігрек» - САМА ПО СОБІ Є ФУНКЦІЄЮ(Якщо не дуже зрозуміло, зверніться до статті Похідна від функції, заданої неявно). Тому логарифм - це зовнішня функція, а «ігрек» - внутрішня функція. І ми використовуємо правило диференціювання складної функції :

У лівій частині як за помахом чарівної палички у нас «намалювалася» похідна. Далі за правилом пропорції перекидаємо «ігрек» з знаменника лівій частині наверх правій частині:

А тепер згадуємо, про який такий «ігрек» -функції ми міркували при диференціюванні? Дивимося на умова:

Остаточна відповідь:

приклад 12

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення. Зразок оформлення прикладу даного типу в кінці уроку.

За допомогою логарифмічною похідною можна було вирішити будь-яке із прикладів № 4-7, інша справа, що там функції простіше, і, може бути, використання логарифмічною похідною не дуже-то і виправдано.

Похідна статечно-показовою функції

Дану функцію ми ще не розглядали. Статечно-показова функція - це функція, у якій і ступінь і підстава залежать від «ікс». Класичний приклад, який вам приведуть в будь-якому підручнику або на будь-який лекції:

Як знайти похідну від статечно-показовою функції?

Необхідно використовувати тільки що розглянутий прийом - логарифмічну похідну. Навішуємо логарифми на обидві частини:

Як правило, в правій частині з-під логарифма виноситься ступінь:

В результаті в правій частині у нас вийшло твір двох функцій, яке буде диференціюватися за стандартною формулою .

Знаходимо похідну, для цього робимо висновок обидві частини під штрихи:

Подальші дії нескладні:

остаточно:

Якщо якесь перетворення не зовсім зрозуміло, будь ласка, уважно перечитайте пояснення Прімера № 11.

У практичних завданнях статечно-показова функція завжди буде складніше, ніж розглянутий лекційний приклад.

приклад 13

Знайти похідну функції

Використовуємо логарифмічну похідну.

У правій частині у нас константа і твір двох множників - «ікси» і «логарифма логарифма ікс» (під логарифм вкладений ще один логарифм). При диференціюванні константу, як ми пам'ятаємо, краще відразу винести за знак похідної, щоб вона не заважала під ногами; і, звичайно, застосовуємо знайоме правило :

Вам здається, що до іспиту ще багато часу? Це місяць? Два? Рік? Практика показує, що учень найкраще справляється з іспитом в тому випадку, якщо почав готуватися до нього завчасно. В ЄДІ чимало складних завдань, який стоять на шляху школяра і майбутнього абітурієнта до вищих балів. Ці перешкоди потрібно навчитися долати, до того ж, робити це нескладно. Вам необхідно зрозуміти принцип роботи з різними завданнями з квитків. Тоді і з новими не виникне проблем.

Логарифми на перший погляд здаються неймовірно складними, але при детальному розборі ситуація значно спрощується. Якщо ви хочете здати ЄДІ на вищий бал, вам варто розібратися в даному понятті, що ми і пропонуємо зробити в цій статті.

Для початку розділимо ці визначення. Що таке логарифм (log)? Це показник ступеня, в яку треба звести підстава, щоб отримати вказану кількість. Якщо незрозуміло, розберемо елементарний приклад.

У цьому випадку підстава, що стоїть внизу, необхідно звести до другого степеня, щоб отримати число 4.

Тепер розберемося з другим поняттям. Похідна функції в будь-якому вигляді називається поняття, що характеризує зміну функції в наведеній точці. Втім, це шкільна програма, і якщо ви відчуваєте проблеми з даними поняттями окремо, варто повторити тему.

похідна логарифма

В завдання ЄДІпо цій темі можна навести кілька завдань в якості прикладу. Для початку найпростіша логарифмічна похідна. Необхідно знайти похідну наступної функції.

Нам потрібно знайти наступну похідну

Існує спеціальна формула.

У цьому випадку x = u, log3x = v. Підставляємо значення з нашої функції в формулу.

Похідна x буде дорівнювати одиниці. З логарифмом трохи важче. Але принцип ви зрозумієте, якщо просто підставите значення. Нагадаємо, що похідною lg x називається похідна десяткового логарифма, а похідна ln х - це похідна від натурального логоріфма (по підставі e).

Тепер просто підставте отримані значення в формулу. Спробуйте самі, далі звіримо відповідь.

У чому тут може бути проблема для деяких? Ми ввели поняття натурального логарифма. Розповімо про нього, а заодно розберемося, як вирішувати завдання з ним. Нічого складного ви не побачите, особливо, коли зрозумієте принцип його роботи. До нього вам варто звикнути, так як він нерідко використовується в математиці (в вищих навчальних закладах тим більше).

Похідна натурального логарифма

За своєю суттю, це похідна логарифма за основою e (це ірраціональне число, яке дорівнює приблизно 2,7). На ділі ln дуже простий, тому часто використовується в математиці в цілому. Власне, рішення задачі з ним теж не стане проблемою. Варто запам'ятати, що похідна від натурального логарифма за основою е дорівнюватиме одиниці поділеної на x. Найпоказовішим буде рішення наступного прикладу.

Уявімо її як складну функцію, що складається з двох простих.

досить перетворити

Шукаємо похідну від u по x

Продовжимо з другої

Використовуємо спосіб вирішення похідною складної функції, підставляючи u = nx.

Що вийшло в результаті?

А тепер давайте згадаємо, що в цьому прикладі означало n? Це будь-яке число, яке може зустрітися в натуральний логарифм перед x. Вам важливо зрозуміти, що від неї не залежить відповідь. Підставляйте, що завгодно, відповідь все одно буде 1 / x.

Як бачите, нічого складного тут немає, достатньо лише зрозуміти принцип, щоб швидко і ефективно вирішувати завдання по цій темі. Тепер ви знаєте теорію, залишилося закріпити на практиці. Тренуйтеся у вирішенні завдань, щоб надовго запам'ятати принцип їх вирішення. Бути може, вам і не знадобиться це знання після закінчення школи, але на іспиті воно буде як ніколи актуальним. Удачі вам!