Частки, прості дроби, визначення, позначення, приклади, події з дробами. Основна властивість дробу: формулювання, доказ, приклади застосування Для чого потрібна основна властивість дробу

Детально розібрано основна властивість дробу, Дана його формулювання, наведено доказ і пояснювальний приклад. Також розглянуто застосування основної властивості дробу при скороченні дробів та приведенні дробів до нового знаменника.

Навігація на сторінці.

Основна властивість дробу – формулювання, доказ та пояснювальні приклади

Давайте розглянемо приклад, що ілюструє основну властивість дробу. Нехай у нас є квадрат, розділений на 9 «великих» квадратів, а кожен із цих «великих» квадратів розділений на 4 «маленькі» квадрати. Таким чином, можна також говорити, що вихідний квадрат розділений на 4 · 9 = 36 «маленьких» квадратів. Зафарбуємо 5 великих квадратів. У цьому зафарбованими виявляться 4·5=20 «маленьких» квадратів. Наведемо малюнок, який відповідає нашому прикладу.

Зафарбована частина становить 5/9 вихідного квадрата, або, що те саме, 20/36 вихідного квадрата, тобто, дроби 5/9 і 20/36 рівні: або . З цих рівностей, і навіть з рівностей 20=5·4 , 36=9·4 , 20:4=5 і 36:4=9 випливає, як і .

Для закріплення розібраного матеріалу розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Чисельник та знаменник деякого звичайного дробу помножили на 62 , після чого чисельник і знаменник отриманого дробу розділили на 2 . Чи дорівнює отриманий дріб вихідним?

Рішення.

Примноження чисельника та знаменника дробу на будь-яке натуральне число, зокрема на 62 , дає дріб, який в силу основної властивості дробу дорівнює вихідному. Основна властивість дробу дозволяє стверджувати і те, що після поділу чисельника і знаменника отриманого дробу на 2 вийде дріб, який дорівнюватиме вихідного дробу.

Відповідь:

Так, отриманий дріб дорівнює вихідному.

Застосування основної властивості дробу

Основна властивість дробу переважно застосовується у двох випадках: по-перше, при приведенні дробів до нового знаменника, і, по-друге, при скороченні дробів.

Основна властивість дробу дозволяє проводити скорочення дробів і в результаті переходити від вихідного дробу до рівного їй дробу, але з меншим чисельником і знаменником. Скорочення дробу полягає в розподілі чисельника і знаменника вихідного дробу на будь-який відмінний від одиниці позитивний чисельник і знаменник (якщо таких спільних дільників немає, то вихідний дріб нескорочий, тобто не підлягає скороченню). Зокрема, розподіл на приведе вихідний дріб до нескоротного виду.

Список літератури.

• Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика: підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
• Віленкін Н.Я. та ін Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх закладів.

Copyright by cleverstudents

Всі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту, включаючи внутрішні матеріали та зовнішнє оформлення, не можна відтворювати у будь-якій формі або використовувати без попереднього письмового дозволу правовласника.

У цій статті розберемо, у чому полягає основна властивість дробу, сформулюємо його, наведемо доказ та наочний приклад. Потім розглянемо, як застосовувати основну властивість дробу під час здійснення дій скорочення дробів та приведення дробів до нового знаменника.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Всі звичайні дроби мають найважливішу властивість, яку ми і називаємо основною властивістю дробу, і звучить воно наступним чином:

Визначення 1

Якщо чисельник і знаменник одного дробу помножити чи розділити одне й те саме натуральне число, то результаті вийде дріб, рівна заданої.

Уявімо основну властивість дробу у вигляді рівності. Для натуральних чисел a , b і m будуть справедливими рівність:

a · m b · m = a b і a: m b: m = a b

Розглянемо доказ основної якості дробу. Спираючись на властивості множення натуральних чисел та властивості розподілу натуральних чисел, запишемо рівності: (a · m) · b = (b · m) · a та (a: m) · b = (b: m) · a . Таким чином, дроби a · m b · m та a b а також a: m b: m і a b є рівними за визначенням рівності дробів.

Розберемо приклад, який графічно проілюструє основну властивість дробу.

Приклад 1

Припустимо, ми маємо квадрат, розділений на 9 «великих» частин-квадратів. Кожен «великий» квадрат розділений на 4 менші за розміром. Можна сказати, що заданий квадрат поділений на 4 · 9 = 36 «маленьких» квадратів. Виділимо кольором 5 "великих" квадратів. При цьому забарвленими будуть 4 · 5 = 20 «маленьких» квадратів. Покажемо малюнок, який демонструє наші дії:

Забарвлена ​​частина - це 5 9 вихідної фігури або 20 36, що є тим самим. Таким чином, дроби 59 і 2036 є рівними: 5 9 = 20 36 або 20 36 = 5 9 .

Ці рівності, і навіть рівності 20 = 4 · 5 , 36 = 4 · 9 , 20: 4 = 5 і 36: 4 = 9 дають можливість зробити висновок, що 5 9 = 5 · 4 9 · 4 та 20 36 = 20 · 4 36 · 4 .

Щоб закріпити теорію, розберемо приклад.

Приклад 2

Задано, що чисельник і знаменник деякого звичайного дробу помножили на 47 після чого ці чисельник і знаменник розділили на 3 . Чи дорівнює отримана внаслідок цих процесів дріб заданої?

Рішення

Спираючись на основну властивість дробу, можна говорити про те, що множення чисельника та знаменника заданого дробу на натуральне число 47 дасть у результаті дріб, рівний вихідному. Те саме ми можемо стверджувати, виробляючи подальший поділ на 3 . Зрештою ми отримаємо дріб, рівний заданому.

Відповідь:так, отримана в результаті дріб дорівнюватиме вихідної.

Застосування основної властивості дробу

Основна властивість застосовується, коли потрібно привести дроби до нового знаменника і скорочення дробів.

Приведення дробу до нового знаменника – це дія заміни заданого дробу рівним їй дробом, але з великим чисельником і знаменником. Щоб привести дріб до нового знаменника, потрібно помножити чисельник і знаменник дробу на потрібне натуральне число. Дії зі звичайними дробами були б неможливі без способу спричинити дроби до нового знаменника.

Визначення 2

Скорочення дробу– дія переходу до нового дробу, що дорівнює заданому, але з меншими чисельником та знаменником. Щоб скоротити дріб, потрібно розділити чисельник і знаменник дробу на те саме необхідне натуральне число, яке називатиметься спільним дільником.

Можливі випадки, коли подібного спільного дільника немає, тоді говорять про те, що вихідний дріб нескоротний або не підлягає скороченню. Зокрема, скорочення дробу за допомогою найбільшого загального дільника призведе до дробу нескоротного виду.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Говорячи про математику, не можна не згадати дробу. Їхньому вивченню приділяють чимало уваги та часу. Згадайте, скільки прикладів вам доводилося вирішувати, щоб засвоїти ті чи інші правила роботи з дробами, як ви запам'ятовували та застосовували основну властивість дробу. Скільки нервів було витрачено для знаходження спільного знаменника, особливо якщо в прикладах було більше двох доданків!

Згадаймо, що це таке, і трохи освіжимо в пам'яті основні відомості та правила роботи з дробами.

Визначення дробів

Почнемо, мабуть, із найголовнішого - визначення. Дроб - це число, яке складається з однієї або більше частин одиниці. Дробове число записується у вигляді двох чисел, розділених горизонтальною або косою межею. У цьому верхнє (чи перше) називається чисельником, а нижнє (друге) - знаменником.

Варто зазначити, що знаменник показує, на скільки частин розділена одиниця, а чисельник - кількість взятих часток чи частин. Найчастіше дроби, якщо вони правильні, менше одиниці.

Тепер давайте розглянемо властивості даних чисел та основні правила, які використовуються під час роботи з ними. Але перш ніж ми будемо розбирати таке поняття, як "основна властивість раціонального дробу", поговоримо про види дробів та їх особливості.

Якими бувають дроби

Можна виділити кілька видів таких чисел. Насамперед це звичайні та десяткові. Перші є вже зазначений нами вид запису з допомогою горизонтальної чи косої черты. Другий вид дробів позначається за допомогою так званого позиційного запису, коли спочатку йде вказівка ​​цілої частини числа, а потім після коми вказується дробова частина.

Тут слід зазначити, що у математиці однаково застосовуються як десяткові, і прості дроби. Основна властивість дробу при цьому дійсна тільки для другого варіанту. Крім того, у звичайних дробах виділяють правильні та неправильні числа. У перших чисельник завжди менше знаменника. Зазначимо також, що такий дріб менше одиниці. У неправильному дробі навпаки - чисельник більший за знаменник, а сам він більший за одиницю. У цьому із неї можна назвати ціле число. У цій статті ми розглянемо лише прості дроби.

Властивості дробів

Будь-яке явище, хімічне, фізичне чи математичне, має свої характеристики та властивості. Не стали винятком і дрібні числа. Вони мають одну важливу особливість, за допомогою якої над ними можна проводити ті чи інші операції. Яка основна властивість дробу? Правило свідчить, що й її чисельник і знаменник помножити або розділити одне й те раціональне число, ми отримаємо новий дріб, величина якої дорівнюватиме величині вихідної. Тобто, помноживши дві частини дробового числа 3/6 на 2 ми отримаємо новий дріб 6/12, при цьому вони будуть рівні.

Виходячи з цієї властивості, можна скорочувати дроби, а також підбирати спільні знаменники для тієї чи іншої пари чисел.

Операції

Незважаючи на те, що дроби здаються нам більш складними, порівняно з ними також можна виконувати основні математичні операції, такі як додавання та віднімання, множення та поділ. Крім того, є й така специфічна дія, як скорочення дробів. Звичайно, кожна з цих дій здійснюється згідно з певними правилами. Знання цих законів полегшує роботу з дробами, робить її легшою та цікавішою. Саме тому далі ми з вами розглянемо основні правила та алгоритм дій під час роботи з такими числами.

Але перш ніж говорити про такі математичні операції, як додавання та віднімання, розберемо таку операцію, як приведення до спільного знаменника. Ось тут нам якраз і знадобиться знання того, яка основна властивість дробу існує.

Спільний знаменник

Щоб число призвести до спільного знаменника, спочатку знадобиться найменше загальне кратне для двох знаменників. Тобто найменше число, яке одночасно ділиться на обидва знаменники без залишку. Найбільш простий спосіб підібрати НОК (найменше загальне кратне) - виписати в рядок для одного знаменника, потім для другого і знайти серед них число, що збігається. У разі, якщо НОК не знайдено, тобто ці цифри не мають загального кратного числа, слід перемножити їх, а отримане значення вважати за НОК.

Отже, ми знайшли НОК, тепер потрібно знайти додатковий множник. Для цього потрібно по черзі розділити НОК на знаменники дробів та записати над кожною з них одержану кількість. Далі слід помножити чисельник та знаменник на отриманий додатковий множник та записати результати у вигляді нового дробу. Якщо ви сумніваєтеся в тому, що отримане число дорівнює колишньому, згадайте основну властивість дробу.

Додавання

Тепер перейдемо безпосередньо до математичних операцій над дрібними числами. Почнемо з найпростішої. Є кілька варіантів складання дробів. У першому випадку обидва числа мають однаковий знаменник. У такому разі залишається лише скласти чисельники між собою. Але знаменник не змінюється. Наприклад, 1/5 + 3/5 = 4/5.

Якщо у дробів різні знаменники, слід привести їх до спільного і лише потім виконувати додавання. Як це зробити, ми з вами розібрали трохи вище. У цій ситуації вам якраз і знадобиться основна якість дробу. Правило дозволить навести числа до спільного знаменника. При цьому значення аж ніяк не зміниться.

Як варіант, може статися, що дріб є змішаним. Тоді слід скласти між собою цілі частини, а потім вже дробові.

множення

Не вимагає ніяких хитрощів, і для того, щоб виконати дану дію, необов'язково знати основну властивість дробу. Достатньо спочатку перемножити між собою чисельники та знаменники. У цьому твір чисельників стане новим чисельником, а знаменників - новим знаменником. Як бачите, нічого складного.

Єдине, що від вас вимагається - знання таблиці множення, а також уважність. Крім того, після отримання результату слід обов'язково перевірити, чи можна скоротити це чи ні. Про те, як скорочувати дроби, ми розповімо трохи згодом.

Віднімання

Виконуючи слід керуватися тими самими правилами, як і додаванні. Так, у числах з однаковим знаменником достатньо від чисельника зменшуваного відібрати чисельник віднімається. У тому випадку, якщо у дробів різні знаменники, слід привести їх до спільного, а потім виконати цю операцію. Як і в аналогічному випадку з додаванням, вам знадобиться використовувати основну властивість алгебраїчного дробу, а також навички у знаходженні НОК та спільних дільників для дробів.

Поділ

І остання, найцікавіша операція при роботі з такими числами – розподіл. Вона досить проста і не викликає особливих труднощів навіть у тих, хто погано розуміється, як працювати з дробами, особливо виконувати операції складання та віднімання. При розподілі діє таке правило, як множення на зворотний дріб. Основна властивість дробу, як і у випадку з множенням, задіяна для цієї операції не буде. Розберемо докладніше.

При розподілі чисел ділене залишається без змін. Дроб-ділитель перетворюється на зворотний, тобто чисельник із знаменником змінюються місцями. Після цього числа перемножуються між собою.

Скорочення

Отже, ми з вами вже розібрали визначення та структуру дробів, їх види, правила операцій над цими числами, з'ясували основну властивість дробу алгебри. Тепер поговоримо про таку операцію, як скорочення. Скороченням дробу називається процес її перетворення - розподіл чисельника і знаменника на те саме число. Таким чином, дріб скорочується, не змінюючи своїх властивостей.

Зазвичай при здійсненні математичної операції слід уважно подивитися на отриманий результат і з'ясувати, чи можливо скоротити отриманий дріб чи ні. Пам'ятайте, що в підсумковий результат завжди записується дробове число, що не вимагає скорочення.

Інші операції

Насамкінець зазначимо, що ми перерахували далеко не всі операції над дробовими числами, згадавши лише найвідоміші і найнеобхідніші. Дроби також можна зрівняти, перетворити на десяткові та навпаки. Але в цій статті ми не стали розглядати дані операції, оскільки в математиці вони здійснюються набагато рідше, ніж ті, що були наведені вище.

Висновки

Ми з вами поговорили про дрібні числа і операції з ними. Розібрали також основну властивість Але зауважимо, що всі ці питання були розглянуті нами побіжно. Ми навели лише найвідоміші та вживані правила, дали найважливіші, на наш погляд, поради.

Ця стаття покликана швидше освіжити забуті вами відомості про дроби, ніж дати нову інформацію і "забити" голову нескінченними правилами і формулами, які, найімовірніше, вам так і не знадобляться.

Сподіваємося, що матеріал, представлений у статті просто та лаконічно, став для вас корисним.

На даному уроці буде розглянуто основну властивість дробу алгебри. Уміння правильно і без помилок застосовувати цю властивість є одним з найважливіших базових умінь у всьому курсі шкільної математики і буде зустрічатися не тільки протягом вивчення даної теми, а й практично у всіх розділах математики, що вивчаються в подальшому. Раніше було вивчено скорочення звичайних дробів, але в даному уроці буде розглянуто скорочення раціональних дробів. Незважаючи на досить велику зовнішню відмінність, що існує між раціональними та звичайними дробами, у них дуже багато спільного, а саме – і звичайним, і раціональним дробам притаманні однакова основна властивість та загальні правила виконання арифметичних дій. У рамках уроку ми зіткнемося з поняттями: скорочення дробу, множення і розподіл чисельника і знаменника на один і той самий вираз - і розглянемо приклади.

Згадаймо основне властивість звичайного дробу: значення дробу не зміниться, якщо його чисельник і знаменник одночасно помножити або розділити на те саме відмінне від нуля число. Нагадаємо, що розподіл чисельника і знаменника дробу на те саме відмінне від нуля число називається скороченням.

Наприклад: , у своїй значення дробів не змінюється. Однак найчастіше при застосуванні даної властивості багато припускаються стандартних помилок:

1) - у наведеному прикладі допущено помилку поділу тільки одного складеного з чисельника на 2, а не всього чисельника. Правильна послідовність дій має такий вигляд: або .

2) - тут ми бачимо схожу помилку, проте, крім цього, ще в результаті поділу отримано 0, а не 1, що є ще більш частою і грубою помилкою.

Тепер потрібно перейти до розгляду алгебраїчного дробу. Згадаймо це поняття з попереднього уроку.

Визначення.Раціональний (алгебраїчний) дріб- Дробове вираз виду, де - многочлени. - чисельник знаменник.

Алгебраїчні дроби є, у певному сенсі, узагальненням звичайних дробів і з них можна проводити самі операції, як і над звичайними дробами.

І чисельник, і знаменник дробу можна множити і ділити на той самий багаточлен (одночлен) або число, відмінне від нуля. Це буде тотожне перетворення алгебраїчного дробу. Згадаймо, що як і раніше, розподіл чисельника і знаменника дробу на те саме відмінне від нуля вираз називається скороченням.

Основна властивість алгебраїчного дробудозволяє скорочувати дроби та приводити їх до найменшого спільного знаменника.

Для скорочення звичайних дробів ми вдавалися до основний теоремі арифметики, Розкладали і чисельник, і знаменник на прості множники.

Визначення.Просте число- Натуральне число, яке ділиться тільки на одиницю і саме себе. Усі інші натуральні числа називаються складовими. 1 не є ні простим, ні складовим числом.

приклад 1.а), де множники, на які розкладено чисельники та знаменники зазначених дробів, є простими числами.

Відповідь.; .

Отже, для скорочення дробівнеобхідно попередньо розкласти на множники чисельник і знаменник дробу, та був розділити їх у загальні множники. Тобто. слід мати методами розкладання многочленів на множники.

приклад 2.Скоротити дріб а) , б), в).

Рішення. а). Слід зазначити, що у чисельнику перебуває повний квадрат, а знаменнику різниця квадратів. Після скорочення необхідно вказати, що , щоб уникнути поділу на нуль.

б) . У знаменнику виноситься загальний числовий множник, що корисно робити практично у будь-якому випадку, коли це можливо. Аналогічно з попереднім прикладом вказуємо, що .

в) . У знаменнику виносимо за дужки мінус (або формально). Не забуваймо, що при скороченні .

Відповідь.;; .

Тепер наведемо приклад на приведення до спільного знаменника, робиться це аналогічно до звичайних дробів.

приклад 3.

Рішення.Для знаходження найменшого спільного знаменника потрібно знайти найменше загальне кратне (НОК) двох знаменників, тобто. НОК (3; 5). Іншими словами, знайти найменше число, яке ділиться на 3 та 5 одночасно. Очевидно, що це число 15, записати це можна таким чином: НОК (3; 5) = 15 - це буде загальний знаменник зазначених дробів.

Щоб перетворити знаменник 3 в 15, його необхідно помножити на 5, а для перетворення 5 в 15, його необхідно помножити на 3. За основною властивістю дробу алгебри слід помножити на ті ж числа і відповідні чисельники зазначених дробів.

Відповідь.; .

приклад 4.Привести до спільного знаменника дробу та .

Рішення.Проведемо аналогічні попередньому прикладу дії. Найменше загальне кратне знаменників НОК (12; 18) = 36. Приведемо до цього знаменника обидва дроби:

і .

Відповідь.; .

Тепер розглянемо приклади, які демонструють застосування техніки скорочення дробів їхнього спрощення у складніших випадках.

Приклад 5.Обчислити значення дробу: а), б), в).

а) . При скороченні користуємося правилом поділу ступенів.

Після того, як ми повторили використання основної якості звичайного дробуможна перейти до розгляду алгебраїчних дробів.

Приклад 6.Спростити дріб та обчислити при заданих значеннях змінних: а) ; , б);

Рішення.При підході до рішення можливий наступний варіант - відразу ж підставити значення змінних і почати розрахунок дробу, але в такому випадку рішення сильно ускладнюється і необхідне його рішення час збільшується, не кажучи вже про небезпеку помилитися в складних обчисленнях. Тому зручно спочатку спростити вираз у буквеному вигляді, а потім уже підставити значення змінних.

а) . При скороченні на множник необхідно перевірити, чи не звертається він у нуль у зазначених змінних значеннях. При підстановці отримуємо , що дозволяє скорочення на даний множник.

б). У знаменнику виносимо мінус, як ми це вже робили у приклад 2. При скороченні знову перевіряємо чи не ділимо ми на нуль: .

Відповідь.; .

Приклад 7.Привести до спільного знаменника дробу а) та , б) та , в) та .

Рішення.а) В даному випадку підійдемо до рішення наступним чином: не користуватимемося поняттям НОК, як у другому прикладі, а просто помножимо знаменник першого дробу на знаменник другого і навпаки – це дозволить привести дроби до однакового знаменника. Звичайно ж, не забуваємо при цьому множити і чисельники дробів на такі ж вирази.

. У чисельнику розкрили дужки, а знаменнику скористалися формулою різниці квадратів.

. Аналогічні події.

Видно, що такий спосіб дозволяє помножити знаменник і чисельник одного дробу на той елемент із знаменника другого дробу, якого не вистачає. З іншим дробом проводяться аналогічні дії, і знаменники наводяться до спільного.

б) Виконаємо аналогічні з попереднім пунктом дії:

. Помножимо чисельник і знаменник на той елемент знаменника другого дробу, якого не вистачало (в даному випадку на весь знаменник).

. Аналогічно.

в) . В даному випадку ми помножили на 3 (множник який є у знаменнику другого дробу і відсутній у першому).

.

Відповідь. а); , б); , в); .

На цьому уроці ми вивчили основна властивість алгебраїчного дробута розглянули основні завдання з його використанням. На наступному уроці ми детальніше розберемо приведення дробів до спільного знаменника з використанням формул скороченого множення та методу угруповання при розкладанні на множники.

Список літератури

1. Башмаков М.І. Алгебра 8 клас. - М: Просвітництво, 2004.
2. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 8. - 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.
3. Микільський С.М., Потапов М.А., Решетніков Н.М., Шевкін А.В. Алгебра 8 клас. Підручник для загальноосвітніх установ. - М: Просвітництво, 2006.

1. ЄДІ з математики ().
2. Фестиваль педагогічних ідей "Відкритий урок" ().
3. Математика у школі: поурочні плани ().

Домашнє завдання

У математиці дріб - це число, що складається з однієї або кількох частин (часток) одиниці. За формою запису дроби поділяються на звичайні (приклад frac(5)(8)) і десяткові (наприклад 123,45).

Визначення. Звичайний дріб (або простий дріб)

Звичайним (простим) дробомназивається число виду \ pm \ frac (m) (n) де m і n - натуральні числа. Число m називається чисельникомцього дробу, а число n – його знаменником.

Горизонтальна або коса риса означає знак поділу, тобто \frac(m)(n)=()^m/n=m:n

Звичайні дроби поділяються на два види: правильні та неправильні.

Визначення. Правильний та неправильний дроби

Правильноюназивається дріб, у якого модуль чисельника менший від модуля знаменника. Наприклад, \frac(9)(11) , адже 9

Неправильноюназивається дріб, у якого модуль чисельника більший або дорівнює модулю знаменника. Такий дріб є раціональним числом, за модулем більше або дорівнює одиниці. Прикладом будуть дроби \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1)

Поряд з неправильним дробом існує інший запис числа, який називається змішаним дробом (змішаним числом). Такий дріб не є звичайним.

Визначення. Змішаний дріб (змішане число)

Змішаним дробомназивається дріб, записана у вигляді цілого числа та правильного дробу і розуміється як сума цього числа та дробу. Наприклад, 2\frac(5)(7)

(запис у вигляді змішаного числа) 2frac(5)(7)=2+frac(5)(7)=frac(14)(7)+frac(5)(7)=frac(19) )(7) (запис у вигляді неправильного дробу)

Дріб є лише записом числа. Одному й тому числі можуть відповідати різні дроби, як звичайні, і десяткові. Сформуємо ознаку рівності двох звичайних дробів.

Визначення. Ознака рівності дробів

Два дроби \frac(a)(b) і \frac(c)(d) є рівними, якщо a cdot d = b cdot c . Наприклад, \frac(2)(3)=\frac(8)(12) так як 2cdot12=3cdot8

З вказаної ознаки випливає основна властивість дробу.

Властивість. Основна властивість дробу

Якщо чисельник і знаменник даного дробу помножити або розділити на те саме число, нерівне нулю, то вийде дріб, рівний даній.

\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K); \quad C \ne 0,\quad K \ne 0

За допомогою основної властивості дробу можна замінити цей дріб іншим дробом, що дорівнює даному, але з меншими чисельником і знаменником. Така заміна називається скороченням дробу. Наприклад, \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (тут чисельник і знаменник розділили спочатку на 2, а потім ще на 2). Скорочення дробу можна провести тоді й лише тоді, коли його чисельник і знаменник є взаємно простими числами. Якщо ж чисельник і знаменник даного дробу взаємно прості, то дроб скоротити не можна, наприклад \frac(3)(4) – нескоротний дріб.

Правила для позитивних дробів:

Із двох дробів з однаковими знаменникамибільший той дріб, чисельник якого більший. Наприклад, \frac(3)(15)

Із двох дробів з однаковими чисельникамибільший той дріб, знаменник якого менший. Наприклад, \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .

Щоб порівняти два дроби з різними чисельниками та знаменниками, потрібно перетворити обидва дроби так, щоб їх знаменники стали однаковими. Таке перетворення називається приведенням дробів до спільного знаменника.