Чудові криві і їх властивості. Циклоїда Обчислити довжину однієї арки циклоїди онлайн

Федеральне агентство з освіти

ГОУ ВПО «Красноярський державний педагогічний університетім. В.П. Астаф'єва

Факультет математики та інформатики

Кафедра математичного аналізу і методики її викладання

Курсова робота

з математичного аналізу на тему

«Циклоїда»

Виконала студентка 43 групи

Ковальчук М.В.

Науковий керівник

доцент кафедри мат. аналізу і мп

Шатохіна М.П

Красноярськ 2010

1. Введення

2. Історичні відомості

3. Основні властивості циклоїди

4. Побудова циклоїди

5. Геометричне визначення циклоїди

6. Параметрическое рівняння циклоїди і рівняння в декартових координата

7. Задачі на знаходження частин циклоїди і фігур, утворених циклоїдою

8. Висновок

Крива циклоїда дуже цікава для вивчення, однак не так просто знайти літературу їй присвячену. У більшості таких джерел циклоїда згадується тільки побіжно або розглядається не досить повно. Однак вона використовується при вирішенні різних завдань. З причини того, що в школах вводиться поглиблене вивчення математичних дисциплін, незабаром може знадобитися докладна інформація про різні кривих, в тому числі і про циклоїді. Так само завдання пов'язані з циклоїдою зустрічаються і в фізиці і у вищій математиці. Тому я вважала цю тему актуальною і цікавою для вивчення.

Мета роботи: описати основні властивості циклоїди, привести рішення геометричних завдань, пов'язаних з циклоїдою.

1. історичні відомості

Першим хто став вивчати циклоиду, був Галілео Галілей (1564-1642) _ знаменитий італійський, астроном, фізик і просвітитель. Він же і придумав назву «циклоїда», що означає: «нагадує про коло». Сам Галілей про циклоїді нічого не писав, але про його роботах в цьому напрямку згадують учні та послідовники Галілея: Вівіані, Торрічеллі і інші.

Великий античний філософ - «батько логіки» - Аристотель з Стагире (384-322 роки до н. Е.), Займаючись логічним обґрунтуванням поняття руху, розглядав, між іншим, наступний парадокс.

Мал. 1

Нехай гурток, зображений на рис. 1 жирною лінією, котиться по прямій АВ. Коли гурток цей зробить повний оборот, точка М повернеться на пряму АВі займе положення М х.При цьому, як ми знаємо, відрізок ММ Хбуде дорівнює довжині «жирної» кола. Розглянемо накреслений гурток з центром О, зображений тонкою лінією. Коли точка М прийде в стан М 1цей маленький гурток теж зробить повний оборот і його точка К прийде в положення К1. При цьому в кожен момент часу якась одна єдина точка маленької окружності поєднується з єдиною ж точкою відрізка КК 1. Кожній точці кола відповідає єдина точка відрізка і кожній точці відрізка - єдина точка окружності. Тому напрошується висновок: довжина маленької «тонкої» кола дорівнює довжині відрізка КК 1 - ММ 1 т. Е. Дорівнює довжині великої ( «жирної») окружності. Отже, кола різних радіусів мають окружності однакової довжини! В цьому і полягає парадокс Аристотеля.

Помилка тут в наступному. З того, що кожній точці кола радіуса ОКвідповідає єдина точка відрізка КК 1 зовсім не випливає, що довжина цієї окружності дорівнює КК 1.Так, наприклад, на рис. 2 точки відрізка АВ наведені за допомогою променів, що проходять через точку D, у «взаємно однозначне» відповідність з точками вдвічі більшого відрізка РЄ,але нікому в голову не прийде стверджувати, що відрізки АВ і РЄ мають однакову довжину! Це саме можна сказати як до відрізків прямих, але і кривих ліній. Парадоксу Аристотеля можна надати наступну, більш грубу, а тому і більш ясну форму: розглянемо дві концентричні кола (рис. 3). На них «порівну» точок: відповідні точки з'єднані на рис. 3 прямими лініями (радіусами). І все ж ніхто не стане стверджувати, що довжини цих кіл однакові.

рис 2 рис. 3

Аристотель розглядав саме той рух, який через 1900 років призвело Галілея до відкриття циклоїди; але він не зацікавився кривими, які викреслюються точками кола, що котиться кола.

На самому початку XVII століття юний Галілей намагався експериментально перевірити свою здогадку про те, що вільне падіння - рівноприскореного руху. Коли він переніс спостереження з Пізанської вежі в лабораторії, йому стало дуже заважати те, що тіла падають «занадто швидко». Щоб уповільнити цей рух, Галілей вирішив замінити вільне падіння тіл їх рухом по похилій площині, припустивши, що і воно буде рівноприскореному. Проводячи ці досліди, Галілей звернув увагу на те, що в кінцевій точці величина швидкості тіла, що скотився по похилій площині, не залежить від кута нахилу площини, а визначається тільки висотою Hі збігається з кінцевою швидкістю тіла, вільно що впав з тієї ж висоти (як ви добре знаєте, в обох випадках | v̄|=

Вивчивши руху по похилих площинах, Галілей перейшов до розгляду руху матеріальної точки під дією сили тяжіння по ламаним лініям. Порівнюючи часи руху по різним ламаним, що з'єднує фіксовану пару точок Аі В, Галілей помітив, що якщо через ці дві точки А, Впровести чверть кола і вписати в неї дві ламані М і L, такі, що ламана L«Вписана» в ламану М, то матеріальна точка з Ав Вшвидше потрапляє по ламаній М, ніж по ламаній L. Збільшуючи у ламаної число ланок і переходячи до межі, Галілей отримав, що по чверті кола, що з'єднує дві задані точки, матеріальна точка спуститься швидше, ніж по будь-вписаною в цю чверть окружності ламаної. З цього Галілей зробив нічим не аргументований висновок, що чверть окружності, що з'єднує пару заданих точок А, В (не лежать на одній вертикалі), і буде для матеріальної точки, що рухається під дією сили тяжіння, лінією найшвидшого спуску(Пізніше лінію найшвидшого спуску стали називати брахістохрони).Згодом з'ясувалося, що це твердження Галілея було не тільки необгрунтованим, але і помилковим.

Властивості дотичної і нормалі до циклоїди були вперше викладені Торічеллі (1608-1647) в його книзі «Геометричні роботи» (1644 рік). Торічеллі використовував при цьому додавання рухів. Трохи пізніше, але повніше, розібрав ці питання Роберваль (псевдонім французького математика Жилля персон, 1602-1672). У 1634 році Роберваль -вичісліл площа, обмежену аркою циклоїди і її підставою. Властивості дотичної до циклоїди вивчав також Декарт; він виклав свої результати, не вдаючись до допомоги механіки.

2. Основні властивості циклоїди

Визначення циклоїди, введене раніше, ніколи не задовольняло вчених: адже воно спирається на механічні поняття - швидкості, складання рухів і т. Д. Тому геометри завжди прагнули дати циклоїді чисто геометричне визначення »Але для того, щоб дати таке визначення, потрібно перш за все вивчити основні властивості циклоїди, користуючись її механічним визначенням. Вибравши найбільш просте і характерне з цих властивостей, можна покласти його в основу геометричного визначення.

Почнемо з вивчення дотичній і нормалі до циклоїди. Що таке дотичнадо кривої лінії, кожен уявляє собі досить ясно; точно визначення дотичній дається в курсах вищої математики, і ми його наводити тут не будемо. нормаллюназивається перпендикуляр до дотичної, восставленний в точці дотику. На рис. 16 зображена дотична і нормаль до кривої АВ в її точці М

Розглянемо циклоиду (рис. 17), коло котиться по прямій АВ. Припустимо, що вертикальний радіус кола, що проходив в початковий момент через нижню точку циклоїди, встиг повернутися на кут φ і зайняв становище ОМ. Іншими словами, ми вважаємо, що відрізок М про Т становить таку частку відрізка М про М 1, яку кут φ становить від 360 ° (від повного обороту).

Дотична до циклоїді

При цьому точка М 0 прийшла в точку М. Точка М і є інформація, що цікавить нас точка циклоїди.

СтрелочкаOH зображує швидкість руху центру котиться кола. Такий же горизонтальною швидкістю володіють всі точки кола, в тому числі і точка М. Але, крім того, точка М бере участь в обертанні кола. Швидкість МС, яку точка М на окружності отримує при цьому обертанні, спрямована по дотичній МС 1 до окружності, т. Е. Перпендикулярно до радіуса ОМ. А тому в цьому випадку швидкість МС за величиною дорівнює швидкості MP (т. е. швидкості ОН). Тому паралелограм швидкостей в разі нашого руху буде ромбом (ромб МСКР на рис. 17). Діагональ МК цього ромба якраз і дасть нам дотичну до циклоїді.

Все сказане дає можливість вирішити наступну «завдання на побудову»: дана спрямовуюча пряма АВ циклоїди, радіус г виробляє кола і точка М, що належить циклоїді (рис. 17). Потрібно побудувати дотичну МК до циклоїді.

Маючи точку М, ми без праці будуємо виробляє коло, в тому його положенні, коли точка на окружності потрапляє в М. Для цього попередньо знайдемо центр Про за допомогою радіуса МО = r (точка Про должка лежати на прямій, паралельної АВ на відстані г від неї). Потім будуємо відрізок MP довільної довжини, паралельний направляючої прямий. Далі будуємо пряму МС 1, перпендикулярну до ОМ На цій прямій відкладаємо від точки М відрізок МС, рівний MP. На МС і MP, як на сторонах, будуємо ромб. Діагональ цього ромба і буде дотичній до циклоїди в точці М.

(В перекладі з грец. колоподібний) - плоска трансцендентна крива, яку описує точка окружності радіуса r, Що котиться по прямій без ковзання (трансцендентної кривої називається крива, яка в прямокутних координатах не може бути описана алгебраїчним рівнянням). Її параметричне рівняння

x = rt – r sin t,
y= R - r cos t

Точки перетину циклоїди з прямою, по якій котиться коло (це коло називається виробляє, а пряма, по якій вона котиться, - направляючої), називаються точками повернення, а найвищі точки на циклоїді, розташовані посередині між сусідніми точками повернення, називаються вершинами циклоїди.

Першим вивчати циклоиду почав Галілео Галілей. Довжина однієї арки циклоїди була визначена в 1658 англійським архітектором і математиком Крістофером Реном, автором проекту і будівельником купола собору Святого Павла в Лондоні. Виявилося, що довжина циклоїди дорівнює 8-ми радіусів виробляє кола.
Одне з чудових властивостейциклоїди, що дало їй назву - брахістохрони (від грецьких слів «найкоротший» і «час) пов'язане з вирішенням завдання про якнайшвидшому спуску. Стало зрозуміло, яку форму треба надати добре відшліфованому (щоб практично виключити тертя) жолобу, що з'єднує дві точки, щоб кулька скотився вниз від однієї точки до іншої в найкоротший час. Брати Бернуллі довели, що жолоб повинен мати форму перекинутої вниз циклоїди.

Споріднені циклоїді криві можна отримати, розглядаючи траєкторії точок, які не перебувають на виробляє кола.

нехай точка З 0знаходиться всередині кола. Якщо провести через З 0допоміжну коло з тим же центром, що і у що виробляє кола, то при коченні виробляє кола по прямій АВмаленька окружність буде котитися по прямій A´ В', Але її кочення буде супроводжуватися ковзанням, і точка З 0описує криву, яка називається скороченою циклоїдою.

Аналогічним чином визначається подовжена циклоїда - це траєкторія точки, розташованої на продовженні радіуса виробляє кола, при цьому кочення супроводжується ковзанням в протилежному напрямку.

Циклоїдальні криві застосовуються при багатьох технічних розрахунках і властивості їх використовуються, наприклад, при побудові профілів зубів шестерень, в циклоїдальних маятниках, в оптиці і, таким чином, вивчення цих кривих важливо з прикладної точки зору. Не менш важливо і те, що, вивчаючи ці криві і їх властивості, вчені 17 ст. розробляли прийоми, які привели до створення диференціального й інтегрального числення, а завдання про Брахістохрона стала кроком до винаходу варіаційного обчислення.

Олена Малишевська

Цікломіда (від греч.кхклпейдЮт - круглий) - плоска трансцендентна крива. Циклоїда визначається кінематично як траєкторія фіксованої точки виробляє кола радіуса r, що котиться без ковзання по прямій.

рівняння

Приймемо горизонтальну вісь координат як прямий, по якій котиться виробляє коло радіуса r.

· Циклоїда описується параметричними рівняннями

рівняння в декартових координатах:

· Циклоїда може бути отримана як рішення диференціального рівняння:

властивості

• · циклоїда -періодична функція по осі абсцис, з періодом 2рr. За межі періоду зручно прийняти особливі точки (точки повернення) виду t = 2рk, де k - довільне ціле число.
• · Для проведення дотичній до циклоїди в довільній її точці A досить з'єднати цю точку з верхньою точкоювиробляє кола. Поєднавши A з нижньою точкою виробляє кола, ми отримаємо нормаль.
• · Довжина арки циклоїди дорівнює 8r. Це властивість відкрив Крістофер Рен (одна тисяча шістсот п'ятьдесят вісім).
• · Площа під кожною аркою циклоїди втричі більше, ніж площа породжує кола. Торрічеллі запевняє, що цей факт був відкритий Галілеєм.
• · Радіус кривизни у першій арки циклоїди дорівнює.

• · «Перевернута» циклоїда є кривою якнайшвидшого спуску (брахістохрони). Більш того, вона має також властивість таутохронность: важке тіло, поміщене в будь-яку точку арки циклоїди, досягає горизонталі за одне і те ж час.
• · Період колебанійматеріальной точки, ковзної по перевернутої циклоїді, не залежить від амплітуди, цей факт був використаний Гюйгенсом для створення точних механічних годинників.
• · Еволюта циклоїди є циклоїдою, конгруентної вихідної, а саме - паралельно зрушеною так, що вершини переходять в «вістря».
• · Деталі машин, які здійснюють одночасно рівномірний обертальний і поступальний рух, описують циклоїдальні криві (циклоїда, епіциклоїда, гіпоциклоїда, трохоїда, астроїда) (пор. Побудова лемніскати Бернуллі).

Розбирання приклади допомогли нам звикнути до нових понять еволюти і евольвенти. Тепер ми достатньо підготовлені, щоб зайнятися дослідженням розгорток циклоїдальних кривих.

Вивчаючи ту чи іншу криву, ми нерідко будували допоміжну криву - «супутницю» даної кривої.

Мал. 89. Циклоїда і її супроводжує.

Так, ми будували конхоїда прямої та кола, розгортку окружності, синусоїду - супутницю циклоїди. Тепер, виходячи з даної циклоїди, ми побудуємо нерозривно пов'язану з нею допоміжну циклоиду ж. Виявляється, спільне вивчення такої пари циклоїд в деяких відносинах простіше, ніж вивчення однієї окремо взятої циклоїди. Таку допоміжну циклоиду ми будемо називати супроводжує циклоїдою.

Розглянемо половину арки циклоїди АМВ (рис. 89). Нас не повинно бентежити, що циклоїда ця розташована незвичним чином ( «догори ногами»).

Проведемо 4 прямі, паралельні направляючої прямий АК на відстанях а, 2а, 3а і 4а. Побудуємо виробляє крутий в положенні, відповідному точці М (на рис. 89 центр цього кола позначений буквою О). Кут повороту МОН позначимо через. Тоді відрізок АН дорівнюватиме (кут виражений в радіанах).

Діаметр НТ виробляє кола продовжимо за точку Т до перетину (в точці Е) з прямою РР. На ТЕ як на діаметрі побудуємо коло (з центром). Побудуємо дотичну в точці М до циклоїді АМВ. Для цього точку М потрібно, як ми знаємо, з'єднати з точкою Т (стор. 23). Продовжимо дотичну МТ за точку Т до перетину з допоміжною окружністю, і точку перетину назвемо. Ось це-то точкою ми і хочемо тепер зайнятися.

Кут МОН ми позначили через Тому кут МТН буде дорівнювати (вписаний кут, що спирається на ту ж дугу). Трикутник очевидно, рівнобедрений. Тому не тільки кут а й кут будуть кожен дорівнювати Таким чином, на частку кута в трикутнику залишається рівно радіанів (згадаємо, що кут 180 ° дорівнює радіанів). Зауважимо ще, що відрізок НК дорівнює, очевидно, а ().

Розглянемо тепер коло з центром, зображену на рис. 89 штриховий лінією. З креслення ясно, що це за коло. Якщо котити її без скільки-"вання по прямій СВ, то її точка В опише циклоиду ВВ. Коли штриховий коло повернеться на кут, центр прийде в точку, а радіус займе положення Таким чином, побудована нами точка виявляється точкою циклоїди ВВ,

Описане побудова ставить у відповідність кожній точці М циклоїди АМВ точку циклоїди На рис. 90 це відповідність показано більш наочно. Отримана таким шляхом циклоїда і називається супроводжує. На рис. 89 і 90 циклоїди, зображені жирними штриховими лініями, є супроводжуючими по відношенню до циклоидам, зображеним жирними суцільними лініями.

З рис. 89 видно, що пряма є нормаллю в точці до супроводжувальної циклоїді. Дійсно, ця пряма проходить через точку циклоїди і через точку Т торкання виробляє кола і спрямовуючої прямий ( «наинизший» точку виробляє кола, як ми говорили колись, а тепер вона виявилася «найвищої», тому що креслення повернуть).

Але ця ж пряма, з побудови, є дотичною до «основної» циклоїді АМВ. Таким чином, вихідна циклоїда стосується кожної нормалі супроводжує циклоїди. Вона є обвідної для нормалей супроводжує циклоїди, т. Е. Її еволюта. А «супроводжує» циклоїда виявляється просто напросто евольвентою (рядків) вихідної циклоїди!

Мал. 91 Відповідність між точками циклоїди і її супроводжує.

Займаючись цим громіздким, але по суті простим побудовою, ми довели чудову теорему, відкриту голландським вченим Гюйгенсом. Ось ця теорема: еволюта циклоїди служить точно така ж циклоїда, тільки зрушена.

Побудувавши еволюта немає однієї арці, а до всієї циклоїді (що можна, зрозуміло, зробити тільки подумки), зятем еволюта до цієї еволюта і т. Д., Отримаємо рис. 91, нагадує черепицю.

Звернемо увагу на те, що при доведенні теореми Гюйгенса ми не користувалися ні нескінченно малими, ні неподільними, ні приблизними оцінками. Навіть механікою ми не користувалися, хогя вживали іноді запозичені з механіки вираження. Доказ це абсолютно в дусі тих міркувань, якими користувалися вчені XVII століття, коли хотіли строго обгрунтувати результати, отримані за допомогою різних навідних міркувань.

З теореми Гюйгенса виходить відразу важливий наслідок. Розглянемо відрізок АВ на рис. 89. Довжина цього відрізка дорівнює, очевидно, 4а. Уявімо собі тепер, що на дугу АМВ циклоїди намотана нитка, закріплена в точці А і забезпечена олівцем в точці В. Якщо ми будемо «змотувати» нитка, то олівець рухатиметься по розгортці циклоїди АМВ, т. Е. По циклоїді ВМВ.

Мал. 91 Послідовні еволюти циклоїди.

Довжина нитки, рівна довжині полуарки циклоїди, буде, очевидно, дорівнює відрізку АВ, т. Е., Як ми бачили, 4а. Отже, довжина всієї арки циклоїди буде дорівнює 8а, і формулу можна вважати тепер досить строго доведеною.

З рис. 89 можна побачити більше: формулу не тільки для довжини всієї арки циклоїди, а й для довжини будь-якій її дуги. Дійсно, очевидно, що довжина дуги MB дорівнює довжині відрізка, т. Е. Подвоєному відрізку дотичній у відповідній точці циклоїди, укладеним всередині виробляє крута.

Пам'ятай-ті оран-же-ші пласт-мас-со-ші ка-та-фо-ти - све-то-від-ра-жа-ті-ли, при-креп-ля-ю щі е-ся до спи-цям ве-ло-си-пед-но-го ко-ле-са? При-кре-пім ка-та-фот до са-мо-му обо-ду ко-ле-са і про-сле-дим за його тра-ек-то-ри-їй. За-лу-чен-ні кри-ші при-над-ле-жать се-мей-ству цик-ло-ід.

Ко-ле-со при цьому на-зи-ва-ет-ся про-з-під-дя-щим кру-гом (або окруж-но-стю) цик-ло-і-ди.

Але так-вай-ті вер-ньому-ся в наше століття і пе-ре-ся-дем на бо-леї сучас-мен-ву тех-ні-ку. На пу-ти бай-ка по-пал-ся ка-му-шек, ко-то-рий за-стрял в про-тек-то-ре ко-ле-са. Про-вер-нув-шись неяк-до кру-гов з ко-ле-сом, ку-да по-ле-тит ка-мень, ко-ли ви-ско-чит з про-тек-то-ра? Про-тив на-прав-ле-ня дви-же-ня мо-то-цик-ла або по на-прав-ле-нию?

Як з-вест-но, сво-бод-ве дві-же-ня ті-ла на-чи-на-ет-ся по ка-са-тель-ний до тієї тра-ек-то-рії, по ко то-рій воно дві-га-лось. Ка-са-тель-ва до цик-ло-і-де все-гда на-прав-ле-на по на-прав-ле-нию дві-же-ня і про-хо-дить через верх-ню точ- ку про-з-під-дя-щей окруж-но-сті. За на-прав-ле-нию дві-же-ня по-ле-тит і наш ка-му-шек.

Пам'ятай-ті, як Ви ка-та-лись в дет-стве одер-жам на ве-ло-си-пе-де без зад-ні-го даху-ла? Мок-раю по-лос-ка на ва-ший спині яв-ля-ет-ся жи-тей-ським під-твер-жде-ні-му толь-ко що по-лу-чен-но-го ре-зуль -та-та.

Століття XVII - це вік цик-ло-і-ди. Луч-шие учё-ні изу-ча-ли її вудь-ві-тель-ні свій-ства.

Ка-кая тра-ек-то-рія при-ве-дет ті-ло, дві-жу-ще-е-ся під дей-стві третьому сі-ли тя-же-сти, з од-ної точ-ки в дру-гую за крат-чай-шиї ча-ма? Це б-ла од-на з пер-вих за-дач тієї на-у-ки, ко-то-раю сей-годину но-сит на-зва-ня ва-ри-а-ци-он-ве ис чис-ле-ня.

Мі-ні-мі-зи-ро-вать (або мак-си-мі-зи-ро-вать) мож-но раз-ні ве-щі - дли-ну пу-ти, ско-кість, ча-ма. В за-да-че про бра-хі-сто-Хроні мі-ні-мі-зи-ру-ет-ся імен-но час-ма (що під-чёр-ки-ва-ет-ся са-мим на -зва-ні-ем: грец. βράχιστος - най-мен-ший, χρόνος - ча-ма).

Пер-ше, що при-хо-дить на думку, - це пря-мо-ли-ней-ва тра-ек-то-рія. Так-вай-ті так-же рас-смот-рим пе-ре-вёр-ну-ту цик-ло-і-ду з точ-кою воз-вра-та в верх-ній через-дан-них то- чек. І, сле-дуючи за Га-ли-лео Га-ли-ле-му, - чет-вер-тин-ку окруж-но-сті, з-оди-ня-ю-щую на-ши точ-ки.

Як і че-му ж Га-ли-лео Га-ли-лей рас-гля-ри-вал чет-вер-тин-ку окруж-но-сті і вва-тал, що це най-промінь-Шая в смис- ле ча-ме-ні тра-ек-то-рія СПОВ-ка? Він ВПІ-си-вал в неї ло-ма-ні та за-ме-тил, що при збіль-ли-че-ванні чис-ла зве-Ньєво ча-ма СПОВ-ка умень-ша ет ся. От-сю-да Га-ли-лей есте-ного-ним об-ра-зом пе-ре-йшов до окруж-но-сті, але зро-лал невер-ний ви-вод, що ця тра-ек-то -рія най-промінь-шая сере-ді всіх мож-ли-вих. Як ми ви-де-ли, най-промінь-шей тра-ек-то-ри-їй яв-ля-ет-ся цик-ло-і-так.

Через дві дан-ні точ-ки мож-но про-ве-сти єдиний-ного-ву цик-ло-і-ду з усло-ві-ем, що в верх-ній точ-ке на-хо-дить-ся точ-ка мож-вра-та цик-ло-і-ди. І так-же ко-ли цик-ло-і-де при-хо-дить-ся під-ні-мати-ся, щоб прой-ти через вто-рую точ-ку, вона все рав-но бу-дет кри -вой най-ско-рей-ше-го СПОВ-ка!

Ще од-на кра-си-вая за-да-ча, свя-зан-ва з цик-ло-і-дою, - за-да-ча про та-у-то-Хроні. У пе-ре-во-де з греко-чого ско го ταύτίς озна-ча-ет «той же са-мий», χρόνος, як ми вже зна-му - «ча-ма».

Сде-ла-му три оди-на-ко-ві гір-ки з про-фі-лем в ві-де цик-ло-і-ди, так, щоб кон-ци го-рок сов-па-да-ли і рас-по-ла-га-лись в вер-шині цик-ло-і-ди. Як і ста-вим три бо-ба на раз-ні ви-со-ти і так-дим від-маш-ку. Уди-ві-тель-ней-ший факт - все бо-б при-їдуть вниз од-Новра-мен-но!

Зі-мій Ви мо-же-ті по-будів-ить у дво-ре гір-ку з льоду і про-ве-рить це свій-ство вжи-ву.

За-да-ча про та-у-то-Хроні со-сто-ит в на-хо-де-ванні той-який кри-вої, що, на-чи-ва з лю-бо-го на-чаль- но-го по-ло-же-ня, ча-ма СПОВ-ка в за-дан-ву точ-ку бу-дет оди-на-ко-вим.

Хри-сті-ан гюй-Генс до-ка-зал, що єдиний-ного-ний та-у-то-хро-ної яв-ля-ет-ся цик-ло-і-так.

Ко-неп-но ж, гюй-ген-са НЕ ін-те-ре-со-вал спуск по ле-дя-ним гір-кам. У той ча-ма учё-ні не ма-ли той-який ріс-ко-ши за-ні-мати-ся на-у-ка-ми з люб-ві до ис-кус-ству. За-да-чи, ко-то-які изу-ча-лись, ис-хо-ді-ли з жит-ні та за-про-сов тих-ні-ки то-го вре-ме-ні. У XVII ве-ке з-вер-ша-ють-ся вже даль-ня мор-ські пла-ва-ня. Ши-ро-ту мо-ря-ки розумі-ли визна-де-лять вже до-ста-точ-но точ-но, але вудь-ві-тель-но, що дол-го-ту НЕ розумі-ли визна -де-лять з-всім. І один з пред-ла-гав-ших-ся спо-со-бов через ме-ре-ня ши-ро-ти був ос-но-ван на на-ли-ності точ-них хро-но-мет рів.

Пер-вим, хто за-ду-малий де-лать ма-ят-ні-ко-ві ча-си, ко-то-які б-ли б точ-ни, був Га-ли-лео Га-ли-лей . Од-на-ко в той мо-мент, ко-ли він на-чи-на-ет їх ре-а-лі-зо-ви-вать, він уже старий, він сліпий, і за залишати-ший-ся рік сво-го жит-ні учё-ний не встигнемо-ва-ет зро-лать ча-си. Він за-ве-ща-ет це си-ну, од-на-ко той мед-літ і на-чи-на-ет за-ні-мати-ся ма-ят-ні-кому то-же лише пе- ред смер-тю і не успе-ва-ет ре-а-лі-зо-вать за-ми-сіл. Сле-ду-ю-щей зна-ко-вий фігу-рою був Хри-сті-ан гюй-Генс.

Він за-ме-тил, що пе-ри-од ко-ле-ба-ня зви-но-го ма-ят-ні-ка, рас-гля-ри-вав-ше-го-ся Га-ли ле-му, за ві сит від з-ну-чат ко-но-го по-ло-же-ня, тобто від ам-пли-ту-ди. За-ду-мав-шись про те, ка-ко-ва долж-на бути тра-ек-то-рія дві-же-ня гру через, щоб ча-ма ка-че-ня по ній не за-ві -се-ло від ам-пли-ту-ди, він ре-ша-ет за-да-чу про та-у-то-Хроні. Але як за-ста-вить вантаж дві-гать-ся по цик-ло-і-де? Пе-ре-во-дя тео-ре-ти-че-ські ис-сле-до-ва-ня в прак-ти-че-ську пло-кістка, гюй-Генс де-ла-ет «щёч-ки» , на ко-то-які на-ма-ти-ва-ет-ся ве-рев-ка ма-ят-ні-ка, і ре-ша-ет ще неяк-до ма-те-ма-ти-че -скіх за-дач. Він до-ка-зи-ва-ет, що «щёч-ки» долж-ни мати про-філь тієї ж са-мій цик-ло-і-ди, тим са-мим по-ка-зи-вая, що ево-лю-тій цик-ло-і-ди яв-ля-ет-ся цик-ло-і-так з те-ми ж па-ра-мет-ра-ми.

Кро-ме то-го, перед-ло-дружин-ва гюй-ген-сом кон-струк-ція цик-ло-і-даль-но-го ма-ят-ні-ка поз-по-ля-ет по -счі-тать дли-ну цик-ло-і-ди. Ес-ли си-нюю ні точ-ку, котрі три-на ко-то-рій рав-на че-ти-Рем ра-ди-у-сам про-з-під-дя-ще-го кру-га, мак-си-маль-но від-кло-нить, то її ко-нец бу-дет в точ-ке пе-ре-се-че-ня «щёч-ки» і цик-ло-і-ди-тра- ек-то-рії, тобто в вер-шині цик-ло-і-ди «щёч-ки». Так як це по-ло-ві-на тривале-ни ар-ки цик-ло-і-ди, то пів-ва дли-на рав-на вось-ми ра-ди-у-сам про-з-во- дя-ще-го кру-га.

Хри-сті-ан гюй-Генс зро-лал цик-ло-і-даль-ний ма-ят-ник, і ча-си з ним про-хо-ді-ли іс-пи-та-ня в мор-ських пу-ті-ше-стві-ях, але не при-жи-лись. Впро-ніж, так само, як і ча-си з зви-ним ма-ят-ні-кому для цих це-лей.

От-чо-го ж, од-на-ко, до сих пір су-ще-ству-ють ча-со-ші ме-ха-низ-ми з обик-но-вен-ним ма-ят-ні-кому ? Ес-ли при-гля-діти-ся, то при ма-лих від-кло-ні-ні-ях, як у крас-но-го ма-ят-ні-ка, «щёч-ки» цик-ло- і-даль-но-го ма-ят-ні-ка по-шануй НЕ ока-зи-ва-ють впли-я-ня. З-від-вет-ного-но, дві-же-ня по цик-ло-і-де і за окруж-но-сті при ма-лих від-кло-ні-ні-ях по-шануй сов-па- да-ють.