Період циклоїди. Чудові криві і їх властивості

Для початку необхідно з'ясувати, яка ж крива називається циклоїдою.

Розглянемо коло радіуса aз центром в точці А. Нехай розглядається коло котиться без ковзання вздовж осі ОХ. Крива, що описується при цьому будь-якою точкою кола, називається циклоїдою.

Це визначення циклоїди ніколи не задовольняло вчених: адже воно спирається на механічні поняття - швидкості, складання рухів і т. Д. Тому геометри завжди прагнули дати циклоїді «чисто геометричне визначення» Але для того, щоб дати таке визначення, потрібно перш за все вивчити основні властивості циклоїди, користуючись її механічним визначенням. Вибравши найбільш просте і характерне з цих властивостей, можна покласти його в основу геометричного визначення.

Почнемо з вивчення дотичній і нормалі до циклоїди. Що таке дотичнадо кривої лінії, кожен уявляє собі досить ясно; тому його приводити тут не будемо. нормаллюназивається перпендикуляр до дотичної, восставленний в точці дотику. На рис. 1.1 зображена дотична і нормаль до кривої АВ в її точці М.

Розглянемо циклоиду (рис.1.2). Коло котиться по прямій АВ. Припустимо, що вертикальний радіус кола, що проходив в початковий момент через нижню точку циклоїди, встиг повернутися на кут ц ​​і зайняв становище ОМ. Іншими словами, ми вважаємо, що відрізок М про Т становить таку частку відрізка М про М 1, яку кут ц ​​становить від повного обороту. При цьому точка М 0 прийшла в точку М.

Точка М і є інформація, що цікавить нас точка циклоїди.

стрілочка OHзображує швидкість руху центру котиться кола. Такий же горизонтальною швидкістю володіють всі точки кола, в тому числі і точка М. Але, крім того, точка М бере участь в обертанні кола. Швидкість МС, яку точка М на окружності отримує при цьому обертанні, спрямована по дотичній МС 1 до кола, т. е. перпендикулярно до радіуса ОМ.А тому в цьому випадку швидкість МС за величиною дорівнює швидкості MP (т. е. швидкості ОН).Тому паралелограм швидкостей в разі нашого руху буде ромбом (ромб МСКР на рис. 1.2). Діагональ МК цього ромба якраз і дасть нам дотичну до циклоїді.

Все сказане дає можливість вирішити таку задачу на побудову: дана спрямовуюча пряма АВ циклоїди, радіус r виробляє кола і точка М, що належить циклоїді (рис. 1.2). Потрібно побудувати дотичну МК до циклоїді.

Маючи точку М, ми без праці будуємо виробляє коло, в тому його положенні, коли точка на окружності потрапляє в М. Для цього попередньо знайдемо центр Проза допомогою радіуса МО = r(Точка Про должка лежати на прямій, паралельної АВ, на відстані r від неї). Потім будуємо відрізок MP довільної довжини, паралельний направляючої прямий. Далі будуємо пряму МС 1 , перпендикулярну до ОМ.На цій прямій відкладаємо від точки Мвідрізок МС, рівний MP. На МС і MP, як на сторонах, будуємо ромб. Діагональ цього ромба і буде дотичній до циклоїди в точці М.

Це побудова - чисто геометричне, хоча отримали ми його, використовуючи поняття механіки. Тепер ми можемо попрощатися з механікою і подальші наслідки отримувати без її допомоги. Почнемо з простої теореми.

теорема 1. Кут між дотичною до циклоїді (В довільній точці)і спрямовуючої прямий дорівнює доповнення до 90 °половини кута повороту радіуса виробляє кола.

Іншими словами, на рис. 1.2

? KLTдорівнює або

Це рівність ми тепер доведемо. Для скорочення мови домовимося кут ц ​​повороту радіуса виробляє кола називати «основним кутом». Значить, кут МОП на рис. 1.2 - основний кут. Будемо вважати основною кут гострим. Для випадку, коли котиться коло зробить більше чверті повного обороту, доказ буде аналогічно.

Розглянемо кут СМР. Сторона СМ перпендикулярна ОМ(Дотична до кола перпендикулярна радіусу). Сторона MP (горизонталь) перпендикулярна до ВІД(До вертикалі). Але кут МОP, за умовою, гострий, а кут СМР - тупий. Значить, кути МОПі СМРскладають в сумі 180 ° (кути із взаємно перпендикулярними сторонами, з яких один гострий, а інший - тупий).

Отже, кут CMP дорівнює 180 ° -ц. Але, як відомо, діагональ ромба ділить кут при вершині навпіл. Отже, уго

КМР = 90 ° -,

що і потрібно було довести.

Звернемо тепер увагу на нормаль до циклоїді. Зобразимо ліву частину рис. 1.2 крупніше, причому проведемо нормаль ME (ME? МК; Мал. 1.3).

З рис. 1.3 випливає, що кут ОМР дорівнює різниці кутів КМЕі КМР, Тобто дорівнює 90 ° - ? KMP.

Але ми тільки що довели, що сам кут КМРдорівнює 90 ° -

Таким чином, отримуємо:

? РМЕ= 90 ° -? КМР= 90 ° - (90 ° -) =

Ми довели просту, але корисну теорему. Дамо її формулювання:

Теорема 2.Кут між нормаллю до циклоїді (В будь-якій її точці)і спрямовуючої прямий дорівнює половині «основного кута».

З'єднаємо »точкою (Т) виробляє кола тепер точку М (« поточну »точку циклоїди) з« нижньої (з точкою дотику виробляє кола і спрямовуючої прямий - рис. 1.3). Трикутник МОП, очевидно, рівнобедрений (ОМ та ВІД- радіуси виробляє кола). Сума кутів при підставі цього трикутника дорівнює 180 ° - ц, а кожен з кутів при підставі - постілці цієї суми. Отже, ? OMT = 90 ° -.

Звернемо увагу на кут РМТ.Він дорівнює різниці кутів ОМТі ОМР. Ми бачили зараз, що ? OMTдорівнює 90 ° -; що стосується кута ОМР, то неважко з'ясувати, чому він дорівнює. адже кут ОМРдорівнює куту DOM(Внутрішні накрестлежащіе кути при паралельних).

Безпосередньо очевидно, що ? DOMдорівнює 90 ° - ц. Значить,? OMP = = 90 ° - ц. Таким чином, отримуємо:

РМТ = ? ОМТ - ? ОМР = 90 ° - - (90 ° - ц) =.

Виходить чудовий результат: кут РМТвиявляється рівним куту РМЕ (по теоремі 2). Отже, прямі ME і МТ зіллються! Наш рис. 1.3 зроблений не зовсім правильно! Правильне розташування ліній дано на рис. 1.4.

Сформулюємо отриманий результат у вигляді теореми 3.

Теорема 3 (перша основна властивість циклоїди).Нормаль до циклоїді проходить через «нижню» точку виробляє кола.

З цієї теореми виходить простий наслідок. Кут між дотичною та нормаллю, за визначенням, - прямий. Це кут, вписаний в окружність виробляє кола. Тому він повинен спиратися на діаметр кола. Отже, ТТ 1 - діаметр, і T 1 - «верхня» точка виробляє кола. Сформулюємо отриманий результат.

Слідство (друга основна властивість циклоїди).Дотична до циклоїді проходить через «верхню» точку виробляє кола.

Щоб пояснити це властивість нам необхідно побудувати циклоиду.

Побудова циклоїди проводиться в такій послідовності:

• 1. На направляючої горизонтальної прямої відкладають відрізок АА 12, рівний довжині виробляє кола радіуса r, (2рr);
• 2. Будують виробляє коло радіуса r, так щоб піднята частина пряма була дотичною до неї в точці А;
• 3. Коло та відрізок АА 12 ділять на кілька рівних частин, наприклад на 12;
• 4. З точок поділів 1 1, 2 1, ... 12 1 відновлюють перпендикуляри до перетину з продовженням горизонтальної осі кола в точках 0 1, 0 2, ... 0 12;
• 5. З точок розподілу окружності 1, 2, ... 12 проводять горизонтальні прямі, на яких роблять зарубки дугами окружності радіуса r;
• 6. Отримані точки А 1, А 2, ... А 12 належать циклоїді.

На рис. 1.6 підставу циклоїди розділене на 6 рівних частин;

Чим число поділок буде більше, тим, креслення вийде точніше. У кожній точці циклоїди, побудованої нами, проведемо дотичну, поєднуючи точку кривої з «верхньої» точкою виробляє кола. На нашому кресленні вийшло сім дотичних (з них дві - вертикальні). Проводячи тепер циклоиду від руки, будемо дбати, щоб вона дійсно стосувалася кожної з цих дотичних: це значно збільшить точність креслення. При цьому сама циклоїда буде огинати всі ці дотичні).

Проведемо на тому ж рис. 1.6 нормалі у всіх знайдених точках циклоїди. Всього буде, не рахуючи направляючої, п'ять нормалей. Можна побудувати від руки огибающую цих нормалей. Якби ми замість шести взяли 12 або 16 точок ділення, то нормалей на кресленні було б більше, і огинає намітилася б ясніше. Така огинає всіх нормалей грає важливу рольпри вивченні властивостей будь-якій кривій лінії. У разі циклоїди виявляється цікавий факт: обвідної нормалей циклоїди служить точно така ж циклоїда, тільки зрушена на 2 aвниз і на равправо. Цей факт характерний саме для циклоїди.

Пам'ятайте помаранчеві пластмасові катафоти - світловідбивачі, що прикріплюються до спиць велосипедного колеса? Прикріпимо катафот до самого обода колеса і простежимо за його траєкторією. Отримані криві належать сімейству циклоїд. Колесо при цьому називається виробляють кругом (або колом) циклоїди. Але давайте повернемося в наше століття і пересядемо на більш сучасну техніку. На шляху байка попався камінчик, який застряг в протекторі колеса.

Провернувшись кілька кіл з колесом, куди полетить камінь, коли вискочить з протектора? Проти напрямки руху мотоцикла або у напрямку? Як відомо, вільний рух тіла починається по дотичній до тієї траєкторії, по якій воно рухалося. Дотична до циклоїді завжди спрямована у напрямку руху і проходить через верхню точку виробляє кола. У напрямку руху полетить і наш камінчик. Пам'ятайте, як Ви каталися в дитинстві по калюжах на велосипеді без заднього крила? Мокра смужка на вашій спині є життєвим підтвердженням щойно отриманого результату.

Століття XVII - це вік циклоїди. Кращі вчені вивчали її дивовижні властивості. Яка траєкторія приведе тіло, що рухається під дією сили тяжіння, з однієї точки в іншу за найкоротший час? Це була одна з перших завдань тієї науки, яка зараз носить назву варіаційне числення. Мінімізувати (або максимізувати) можна різні речі - довжину шляху, швидкість, час. У задачі про Брахістохрона мінімізується саме час (що підкреслюється самою назвою: грец. Βράχιστος - найменший, χρόνος - час). Перше, що спадає на думку, - це прямолінійна траєкторія. Давайте також розглянемо перевернуту циклоиду з точкою повернення у верхній із заданих точок. І, слідуючи за Галілео Галілеєм, - четвертинку кола, що з'єднує наші точки. Зробимо бобслейні траси з розглянутими профілями і простежимо, який з бобів приїде першим. Історія бобслею бере свій початок в Швейцарії. У 1924 році у французькому місті Шамоні проходять перші зимові Олімпійські ігри. На них вже проводяться змагання з бобслею для екіпажів двійок і четвірок.

Єдиний рік, коли на Олімпійських іграх екіпаж бобу складався з п'яти чоловік, був 1928. З тих пір в бобслеї завжди змагаються чоловічі екіпажі двійки і четвірки. У правилах бобслею багато цікавого. Звичайно ж, існує обмеження на вагу бобу і команди, але існують навіть обмеження на матеріали, які можна використовувати в ковзанах бобу (передня пара їх рухлива і пов'язана з кермом, задня закріплена жорстко). Наприклад, радій не може використовуватися при виготовленні ковзанів.

Дамо старт нашим четвірки. Який же боб першим приїде до фінішу? Боб зеленого кольору, який виступає за команду Математичних етюдів і котився по циклоїдальних гірці, приходить першим! Чому ж Галілео Галілей розглядав четвертинку кола і вважав, що це найкраща в сенсі часу траєкторія спуску? Він вписував в неї ламані і зауважив, що при збільшенні числа ланок час спуску зменшується. Звідси Галілей природним чином перейшов до окружності, але зробив невірний висновок, що ця траєкторія найкраща серед усіх можливих. Як ми бачили, найкращою траєкторією є циклоїда. Через дві дані точки можна провести єдину циклоиду з умовою, що у верхній точці знаходиться точка повернення циклоїди. І навіть коли циклоїді доводиться підніматися, щоб пройти через другу точку, вона все одно буде кривої найшвидшого спуску! Ще одна гарна завдання, пов'язане з циклоїдою, - завдання про таутохронность. У перекладі з грецької ταύτίς означає «той же самий», χρόνος, як ми вже знаємо - «час». Зробимо три однакові гірки з профілем у вигляді циклоїди, так, щоб кінці гірок збігалися і розташовувалися в вершині циклоїди. Поставимо три бобу на різні висоти і дамо відмашку.

Дивовижний факт - все боби приїдуть вниз одночасно! Взимку Ви можете побудувати у дворі гірку з льоду і перевірити це властивість наживо. Завдання про таутохронность полягає в знаходженні такої кривої, що, починаючи з будь-якого початкового положення, час спуску в задану точку буде однаковим. Християн Гюйгенс довів, що єдиною таутохронность є циклоїда. Звичайно ж, Гюйгенса не цікавив спуск по крижаних гірках. У той час вчені не мали такої розкоші займатися науками з любові до мистецтва. Завдання, які вивчалися, виходили з життя і запитів техніки того часу. У XVII столітті відбуваються вже далекі морські плавання. Широту моряки вміли визначати вже досить точно, але дивно, що довготу не вміли визначати зовсім. І один із запропонованих способів вимірювання широти був заснований на наявності точних хронометрів. Першим, хто задумав робити маятниковий годинник, які були б точні, був Галілео Галілей. Однак в той момент, коли він починає їх реалізовувати, він уже старий, він сліпий, і за рік, що залишився свого життя вчений не встигає зробити годинник. Він заповідає це синові, проте той зволікає і починає займатися маятником теж лише перед смертю і не встигає реалізувати задум.

Наступною знаковою фігурою був Християн Гюйгенс. Він зауважив, що період коливання звичайного маятника, що розглядався Галілеєм, залежить від початкового положення, тобто від амплітуди. Замислившись про те, якою має бути траєкторія руху вантажу, щоб час кочення по ній не залежало від амплітуди, він вирішує завдання про таутохронность. Але як змусити вантаж рухатися по циклоїді? Перекладаючи теоретичні дослідження в практичну площину, Гюйгенс робить «щічки», на які намотується мотузка маятника, і вирішує ще кілька математичних задач. Він доводить, що «щічки» повинні мати профіль тієї ж самої циклоїди, тим самим показуючи, що еволюта циклоїди є циклоїда з тими ж параметрами. Крім того, запропонована Гюйгенсом конструкція циклоїдальних маятника дозволяє порахувати довжину циклоїди. Якщо синю ниточку, довжина якої дорівнює чотирьом радіусів виробляє кола, максимально відхилити, то її кінець буде в точці перетину «щічки» і циклоїди-траєкторії, тобто в вершині ціклоіди- «щічки». Так як це половина довжини арки циклоїди, то повна довжина дорівнює восьми радіусів виробляє кола. Християн Гюйгенс зробив циклоїдальний маятник, і годинник з ним проходили випробування в морські подорожі, але не прижилися. Втім, так само, як і годинник зі звичайним маятником для цих цілей. Чому ж, однак, до сих пір існують годинникові механізми з звичайним маятником? Якщо придивитися, то при малих відхиленнях, як у червоного маятника, «щічки» циклоїдальних маятника майже не впливають. Відповідно, рух по циклоїді і по колу при малих відхиленнях майже збігаються.

література:
Г. Н. Берман. Циклоїда. М .: Наука, 1980.
С. Г. Гиндикин. Розповіді про фізиків і математиків. М .: МЦНМО, 2006.

Коментарі: 1

Володимир Захаров

Лекція академіка РАН, доктора фізико-математичних наук, голови наукової ради РАН з нелінійної динаміки, зав. Сектором математичної фізики у Фізичному інституті РАН ім. Лебедєва, професора Університету Арізони (США), двічі лауреата Державної премії, лауреата медалі Дірака Володимира Євгеновича Захарова, прочитаної 27 травня 2010 року в Політехнічному музеї в рамках проекту "Публічні лекції Полит.ру".

Сергій Куксін

Міжнародна наукова конференція «Дні класичної механіки» м.Москва, МІАН, вул. Губкіна, б. 8 26 січня 2015 р

Хаос - математичний фільм, що складається з дев'яти глав, по тринадцять хвилин кожна. Це фільм для широкої публіки, присвячений динамічних систем, ефекту метелика і теорії хаосу.

Олександра Скрипченко

Математик Олександра Скрипченко про білліарде як динамічній системі, раціональних кутах і теоремі Пуанкаре.

Юлій Ілляшенко

Теорія Колмогорова-Арнольда-Мозера відповідає на запитання на кшталт «Чи можуть планети впасти на Сонце? Якщо так, то з якою ймовірністю? І через якийсь час? » Математична постановка задачі: припустимо, що маси настільки малі, що їх притяганням один до одного можна знехтувати. Тоді траєкторії руху планет можна порахувати; це зробив ще Ньютон. Якщо перейти до реального випадку, коли взаємне притягання планет впливає на їх орбіти, вийде мале обурення интегрируемой, тобто точно розв'язуваної, системи. Дослідження малих збурень інтегрованих систем класичної механіки Пуанкаре вважав основним завданням теорії диференціальних рівнянь. У лекціях буде розказано, на рівні, доступному старшим школярам, ​​про основні ідеї теорії КАМ. Ми не піднімемося до завдання n тіл і класичної механіки, але обговоримо дифеоморфізмів окружності і основний крок індукційного процесу, запропонованого Колмогоровим для задач небесної механіки.

Ольга Ромаскевич

Якщо надійти дуже жорстоко і відібрати у математика олівець і папір, він буде дивитися на небо в пошуках нових завдань. Питання про рух планет (в математичному світі зустрічається під кодовою назвою «Завдання n тіл») є надзвичайно складним - настільки складним, що навіть для спеціальних подслучаев випадку n = 3 щороку публікується величезна кількість робіт. Розібрати всі аспекти цього завдання неможливо навіть за семестровий курс. Ми, однак, не злякаємося, і спробуємо погратися в математику, яка тут виникає. Основною мотивацією для нас буде завдання двох тіл: завдання про рух однієї планети навколо Сонця в припущенні про те, що нібито ніяких інших планет в окрузі немає.

Дмитро Аносов

У книзі розповідається про диференціальні рівняння. В одних випадках автор пояснює, як вирішуються диференційне рівняння, А в інших-як геометричні міркування допомагають зрозуміти властивості їх рішень. (З цим і пов'язані слова «то вирішуємо, то малюємо» в назві книги.) Розглянуто кілька фізичних прикладів. На максимально спрощеному рівні розказано про деякі досягнення XX століття, включаючи розуміння механізму виникнення «хаосу» в поведінці детермінованих об'єктів. Книга розрахована на цікавляться математикою школярів старших класів. Від них вимагається лише розуміння сенсу похідної як миттєвої швидкості.

Олексій Бєлов

Відома олімпіадні задачі: На плоскому столі лежать монети (опуклі постаті). Тоді одну з них можна стягнути зі столу, не зачіпаючи інших. Довгий час математики намагалися довести просторовий аналог цього твердження, поки не був побудований контрприклад! Виникла ідея: в малому зерні часто немає тріщини, тріщина за кордон зерна не виростає, а тріщини один одного тримають. Ця ідея теоретично дозволяє створювати композити в яких не ростуть тріщини, зокрема, броню з кераміки.

Олексій Сосінскій

Один з найважливіших понять механіки і теоретичної фізики - поняття конфігураційного простору механічної системи - чомусь залишається невідомим не тільки школярам, ​​але і більшості студентів-математиків. У лекції розглянуто дуже простий, але дуже змістовний клас механічних систем - плоскі шарнірні механізми з двома ступенями свободи. Ми виявимо, що в «загальному випадку» їх конфігураційні простору суть двовимірні поверхні, і постараємося зрозуміти - які саме. (Тут є остаточні результати десятирічної давності Діми Звонкіна.) Далі обговорюються невирішені математичні завдання, пов'язані з шарнірними механізмами. (В тому числі дві гіпотези, а точніше - недоведені теореми, американського математика Білла Терстона.)

Володимир Протасов

Варіаційне числення - наука про пошук мінімуму функції в нескінченновимірних просторі. На відміну від звичних нам завдань на мінімум, коли потрібно оптимальним чином вибрати число (параметр), або, скажімо, точку на площині, в варіаційних задачах потрібно знайти оптимальну функцію. При цьому, одним і тим же набором засобів вирішуються завдання самого різного походження: з класичної механіки, геометрії, математичної економіки і т.д. Ми почнемо з старих завдань, відомих з XVII століття, і, перекидаючи місток від однієї задачі до іншої, швидко доберемося до сучасних результатів і невирішених проблем.

«На друге було подано пиріг у формі циклоїди ..»

Дж. Свіфт Подорожі Гуллівера

Дотична і нормаль до циклоїді

Найбільш природним визначенням кола буде, мабуть, наступне: «окружністю називається шлях частинки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі». Це визначення наочно, з нього легко вивести всі властивості окружності, а головне, воно відразу малює нам окружність, як безперервну криву, чого зовсім не видно з класичного визначення кола, як геометричного місця точок площини, рівновіддалених від однієї точки.

Чому ж в школі ми визначаємо коло, до? до геометричне місце точок? Чим погано визначення кола за допомогою руху (обертання)? Подумаймо про це.

Коли ми вивчаємо механіку, ми не займаємося доказом геометричних теорем: ми вважаємо, що вже знаємо їх - ми просто посилаємося на геометрію, як на щось вже відоме.

Якщо і при доказі геометричних теорем ми будемо посилатися на механіку, як на щось вже відоме, то зробимо помилку, яка називається «логічний (порочне) коло»: при доказі пропозиції ми посилаємося на пропозицію В, а сама пропозиція В обгрунтовуємо за допомогою пропозиції А . Грубо кажучи, Іван киває на Петра, а Петро на Івана. Такий стан при викладі наукових дисциплін неприпустимо. Тому намагаються, викладаючи математику, не посилатися на геометрію, викладаючи геометрію, не посилатися на механіку і т. Д. При цьому можна при викладі геометрії безбоязно користуватися арифметикою, а при викладі механіки і арифметикою, і геометрією, логічного кола не вийде.

Визначення циклоїди, з яким ми встигли познайомитися, ніколи не задовольняло вчених: адже воно спирається на механічні поняття - швидкості, складання рухів і т. Д. Тому геометри завжди прагнули дати циклоїді чисто геометричне визначення. Але для того, щоб дати таке визначення, потрібно перш за все вивчити основні властивості циклоїди, користуючись її механічним визначенням. Вибравши найбільш просте і характерне з цих властивостей, можна покласти його в основ) геометричного визначення.

Почнемо з вивчення дотичній і нормалі до циклоїди. Що таке дотична до кривої лінії, кожен уявляє собі досить ясно; точно визначення дотичній дається в курсах вищої математики, і ми його наводити тут не будемо.

Мал. 16. Дотична і нормаль до кривої.

Нормаллю називається перпендикуляр до дотичної, восставленний в точці дотику. На рис. 16 зображена дотична і нормаль до кривої АВ в її точці Розглянемо циклоиду (рис. 17). Гурток котиться по прямій АВ.

Припустимо, що вертикальний радіус кола, що проходив в початковий момент через нижню точку циклоїди, встиг повернутися на кут (грецька буква «фе») і зайняв становище ОМ. Іншими словами, ми вважаємо, що відрізок МСТ становить таку частку відрізка яку кут становить від 360 ° (від повного обороту). При цьому точка прийшла в точку М.

Мал. 17. Дотична до циклоїді.

Точка М і є інформація, що цікавить нас точка циклоїди.

Стрілочка ОН зображує швидкість руху центру котиться кола. Такий же горизонтальною швидкістю володіють всі точки кола, в тому числі і точка М. Але, крім того, точка М бере участь в обертанні кола. Швидкість МС, яку точка М на окружності отримує при цьому обертанні, спрямована по дотичній до окружності, т. Е. Перпендикулярно до радіуса ОМ. Ми вже знаємо з «розмови двох веюсіпедістов» (див. Стор. 6), що швидкість МС за величиною дорівнює швидкості МР (т. Е. Швидкості ОН). Тому паралелограм швидкостей в разі нашого руху буде ромбом (ромб МСКР на рис. 17). Діагональ МК цього ромба якраз і дасть нам дотичну до циклоїді.

Тепер ми можемо відповісти на питання, поставлене в кінці бесіди Сергія і Васі (стор. 7). Комок бруду, який відірвався від велосипедного колеса, рухається по дотичній до траєкторії тієї частки колеса, від якої він відокремився. Але траєкторією буде не окружність, а циклоїда, тому що колесо не просто обертається, а котиться, т. Е. Робить рух, що складається з поступального руху і обертання.

Все сказане дає можливість вирішити наступну «завдання на побудову»: дана спрямовуюча пряма АВ циклоїди, радіус виробляє кола і точка М, що належить циклоїді (рис. 17).

Потрібно побудувати дотичну МК до циклоїді.

Маючи точку М, ми без праці будуємо виробляє коло, в тому його положенні, коли точка на окружності потрапляє в М, Для цього попередньо знайдемо центр Про за допомогою радіуса (точка Про повинна лежати на прямій, паралельної АВ на відстані від неї). Потім будуємо відрізок МР довільної довжини, паралельний направляючої прямий. Далі будуємо пряму перпендикулярну до ОМ На цій прямій відкладаємо від точки М відрізок МС, рівний МР. На МС і МР, як на сторонах, будуємо ромб. Діагональ цього ромба і буде дотичній до циклоїди в точці М.

Це побудова - чисто геометричне, хоча отримали ми його, використовуючи поняття механіки. Тепер ми можемо попрощатися з механікою і подальші наслідки отримувати без її допомоги. Почнемо з простої теореми.

Теорема 1. Кут між дотичною до циклоїді (в довільній точці) і направляє прямий дорівнює доповненню до 90 ° половини кута повороту радіуса виробляє кола.

Іншими словами, на нашому рис. 17 кут KLT дорівнює або. Це рівність ми тепер доведемо. Для скорочення мови домовимося кут повороту радіуса виробляє кола називати «основним кутом». Значить, кут МОП на рис. 17 - основний кут. Будемо вважати основною кут гострим. Читач сам видоизменит міркування для випадку тупого кута, т. Е. Для випадку, коли котиться коло зробить більше чверті повного обороту.

Розглянемо кут СМР. Сторона СМ перпендикулярна до ОМ (дотична до кола перпендикулярна до радіуса). Сторона МР (горизонталь) перпендикулярна до ОТ (до вертикалі). Але кут МОП, за умовою, гострий (ми домовилися розглядати першу чверть обороту), а кут СМР - тупий (чому?). Значить, кути МОП і СМР складають в сумі 180 ° (кути із взаємно перпендикулярними сторонами, з яких один гострий, а інший - тупий).

Отже, кут СМР дорівнює Але, як відомо, діагональ ромба ділить кут при вершині навпіл.

Отже, кут що й треба було довести.

Звернемо тепер увагу на нормаль до циклоїді. Ми говорили вже, що нормаллю до кривої називається перпендикуляр до дотичної, проведений в точці дотику (рис. 16). Зобразимо ліву частину рис. 17 крупніше, причому проведемо нормаль (див. Рис. 18).

З рис. 18 випливає, що кут ОМР дорівнює різниці кутів КМЕ і КМР, т. Е. Дорівнює 90 ° - к. КМР.

Мал. 18. До теоремі 2.

Але ми тільки що довели, що сам кут КМР дорівнює. Таким чином, отримуємо:

Ми довели просту, але корисну теорему. Дамо її формулювання:

Теорема 2. Кут між нормаллю до циклоїді (в будь-якій її точці) і направляє прямий дорівнює половині «основного кута».

(Згадаймо, що «основним кутом» називається кут повороту радіуса котиться кола)

З'єднаємо тепер точку М ( «поточну» точку циклоїди) з «нижньої» точкою (Т) виробляє кола (з точкою дотику виробляє кола і спрямовуючої прямий - см. Рис. 18).

Трикутник МОП, очевидно, рівнобедрений (ОМ та ОТ - радіуси виробляє кола). Сума кутів при підставі цього трикутника дорівнює, а кожен з кутів при підставі - половині цієї суми. Отже,

Звернемо увагу на кут РМТ. Він дорівнює різниці кутів ОМТ і ОМР. Ми бачили зараз, що дорівнює 90 ° - що стосується кута ОМР, то неважко з'ясувати, чому він дорівнює. Адже кут ОМР дорівнює куту DOM (внутрішні навхрест лежачі кути при паралельних).

Мал. 19. Основні властивості дотичній і нормалі до циклоїди.

Безпосередньо очевидно, що дорівнює. Значить,. Таким чином, отримуємо:

Виходить чудовий результат: кут РМТ виявляється рівним куту РМЕ (див. Теорему 2). Отже, прямі ME і МТ зіллються! Наш рис. 18 зроблений не зовсім правильно! Правильне розташування ліній дано на рис. 19.

Як же сформулювати отриманий результат? Ми сформулюємо його у вигляді теореми 3.

Теорема 3 (перша основна властивість циклоїди). Нормаль до циклоїді проходить через «нижню» точку виробляє кола.

З цієї теореми виходить простий наслідок. Кут між дотичною та нормаллю, за визначенням, - прямий. Це кут, вписаний в окружність

Тому він повинен спиратися на діаметр кола. Отже, - діаметр, і - «верхня» точка виробляє кола. Сформулюємо отриманий результат.

Слідство (друга основна властивість циклоїди). Дотична до циклоїді проходить через «верхню» точку виробляє кола.

Відтворимо тепер побудова циклоїди по точках, як ми це робили на рис. 6.

Мал. 20. Циклоїда - огинає своїх дотичних.

На рис. 20 підстава циклоїди розділене на 6 рівних частин; ніж число поділок буде більше, тим, як ми знаємо, креслення вийде точніше. У кожній точці циклоїди, побудованої нами, проведемо дотичну, поєднуючи точку кривої з «верхньої» точкою виробляє кола. На нашому кресленні вийшло сім дотичних (з них дві - вертикальні). Проводячи тепер циклоиду від руки, будемо дбати, щоб вона дійсно стосувалася кожної з цих дотичних: це значно збільшить точність креслення. При цьому сама циклоїда буде огинати всі ці дотичні

Проведемо на тому ж рис. 20 нормалі у всіх знайдених точках циклоїди. Всього буде, не рахуючи направляючої, п'ять нормалей. Можна побудувати від руки згинаються цих нормалей.

Якби ми замість шести взяли 12 або 16 точок ділення, то нормалей на кресленні було б більше, і огинає намітилася б ясніше. Така огинає всіх нормалей грає важливу роль при вивченні властивостей будь-якій кривій лінії. У разі циклоїди виявляється цікавий факт: обвідної нормалей циклоїди служить точно така ж циклоїда, тільки зрушена на 2а вниз і на на вправо. З цим цікавим результатом, характерним саме для циклоїди, нам ще доведеться мати справу.

Властивості дотичної і нормалі до циклоїди були вперше викладені Торічеллі (1608-1647) в його книзі «Геометричні роботи» (1644 рік). Торічеллі використовував при цьому додавання рухів. Трохи пізніше, але повніше, розібрав ці питання Роберваль (псевдонім французького математика Жилля персон, 1602-1672). Властивості дотичної до циклоїди вивчав також Декарт; він виклав свої результати, не вдаючись до допомоги механіки.

Пам'ятай-ті оран-же-ші пласт-мас-со-ші ка-та-фо-ти - све-то-від-ра-жа-ті-ли, при-креп-ля-ю щі е-ся до спи-цям ве-ло-си-пед-но-го ко-ле-са? При-кре-пім ка-та-фот до са-мо-му обо-ду ко-ле-са і про-сле-дим за його тра-ек-то-ри-їй. За-лу-чен-ні кри-ші при-над-ле-жать се-мей-ству цик-ло-ід.

Ко-ле-со при цьому на-зи-ва-ет-ся про-з-під-дя-щим кру-гом (або окруж-но-стю) цик-ло-і-ди.

Але так-вай-ті вер-ньому-ся в наше століття і пе-ре-ся-дем на бо-леї сучас-мен-ву тех-ні-ку. На пу-ти бай-ка по-пал-ся ка-му-шек, ко-то-рий за-стрял в про-тек-то-ре ко-ле-са. Про-вер-нув-шись неяк-до кру-гов з ко-ле-сом, ку-да по-ле-тит ка-мень, ко-ли ви-ско-чит з про-тек-то-ра? Про-тив на-прав-ле-ня дви-же-ня мо-то-цик-ла або по на-прав-ле-нию?

Як з-вест-но, сво-бод-ве дві-же-ня ті-ла на-чи-на-ет-ся по ка-са-тель-ний до тієї тра-ек-то-рії, по ко то-рій воно дві-га-лось. Ка-са-тель-ва до цик-ло-і-де все-гда на-прав-ле-на по на-прав-ле-нию дві-же-ня і про-хо-дить через верх-ню точ- ку про-з-під-дя-щей окруж-но-сті. За на-прав-ле-нию дві-же-ня по-ле-тит і наш ка-му-шек.

Пам'ятай-ті, як Ви ка-та-лись в дет-стве одер-жам на ве-ло-си-пе-де без зад-ні-го даху-ла? Мок-раю по-лос-ка на ва-ший спині яв-ля-ет-ся жи-тей-ським під-твер-жде-ні-му толь-ко що по-лу-чен-но-го ре-зуль -та-та.

Століття XVII - це вік цик-ло-і-ди. Луч-шие учё-ні изу-ча-ли її вудь-ві-тель-ні свій-ства.

Ка-кая тра-ек-то-рія при-ве-дет ті-ло, дві-жу-ще-е-ся під дей-стві третьому сі-ли тя-же-сти, з од-ної точ-ки в дру-гую за крат-чай-шиї ча-ма? Це б-ла од-на з пер-вих за-дач тієї на-у-ки, ко-то-раю сей-годину но-сит на-зва-ня ва-ри-а-ци-он-ве ис чис-ле-ня.

Мі-ні-мі-зи-ро-вать (або мак-си-мі-зи-ро-вать) мож-но раз-ні ве-щі - дли-ну пу-ти, ско-кість, ча-ма. В за-да-че про бра-хі-сто-Хроні мі-ні-мі-зи-ру-ет-ся імен-но час-ма (що під-чёр-ки-ва-ет-ся са-мим на -зва-ні-ем: грец. βράχιστος - най-мен-ший, χρόνος - ча-ма).

Пер-ше, що при-хо-дить на думку, - це пря-мо-ли-ней-ва тра-ек-то-рія. Так-вай-ті так-же рас-смот-рим пе-ре-вёр-ну-ту цик-ло-і-ду з точ-кою воз-вра-та в верх-ній через-дан-них то- чек. І, сле-дуючи за Га-ли-лео Га-ли-ле-му, - чет-вер-тин-ку окруж-но-сті, з-оди-ня-ю-щую на-ши точ-ки.

Як і че-му ж Га-ли-лео Га-ли-лей рас-гля-ри-вал чет-вер-тин-ку окруж-но-сті і вва-тал, що це най-промінь-Шая в смис- ле ча-ме-ні тра-ек-то-рія СПОВ-ка? Він ВПІ-си-вал в неї ло-ма-ні та за-ме-тил, що при збіль-ли-че-ванні чис-ла зве-Ньєво ча-ма СПОВ-ка умень-ша ет ся. От-сю-да Га-ли-лей есте-ного-ним об-ра-зом пе-ре-йшов до окруж-но-сті, але зро-лал невер-ний ви-вод, що ця тра-ек-то -рія най-промінь-шая сере-ді всіх мож-ли-вих. Як ми ви-де-ли, най-промінь-шей тра-ек-то-ри-їй яв-ля-ет-ся цик-ло-і-так.

Через дві дан-ні точ-ки мож-но про-ве-сти єдиний-ного-ву цик-ло-і-ду з усло-ві-ем, що в верх-ній точ-ке на-хо-дить-ся точ-ка мож-вра-та цик-ло-і-ди. І так-же ко-ли цик-ло-і-де при-хо-дить-ся під-ні-мати-ся, щоб прой-ти через вто-рую точ-ку, вона все рав-но бу-дет кри -вой най-ско-рей-ше-го СПОВ-ка!

Ще од-на кра-си-вая за-да-ча, свя-зан-ва з цик-ло-і-дою, - за-да-ча про та-у-то-Хроні. У пе-ре-во-де з греко-чого ско го ταύτίς озна-ча-ет «той же са-мий», χρόνος, як ми вже зна-му - «ча-ма».

Сде-ла-му три оди-на-ко-ві гір-ки з про-фі-лем в ві-де цик-ло-і-ди, так, щоб кон-ци го-рок сов-па-да-ли і рас-по-ла-га-лись в вер-шині цик-ло-і-ди. Як і ста-вим три бо-ба на раз-ні ви-со-ти і так-дим від-маш-ку. Уди-ві-тель-ней-ший факт - все бо-б при-їдуть вниз од-Новра-мен-но!

Зі-мій Ви мо-же-ті по-будів-ить у дво-ре гір-ку з льоду і про-ве-рить це свій-ство вжи-ву.

За-да-ча про та-у-то-Хроні со-сто-ит в на-хо-де-ванні той-який кри-вої, що, на-чи-ва з лю-бо-го на-чаль- но-го по-ло-же-ня, ча-ма СПОВ-ка в за-дан-ву точ-ку бу-дет оди-на-ко-вим.

Хри-сті-ан гюй-Генс до-ка-зал, що єдиний-ного-ний та-у-то-хро-ної яв-ля-ет-ся цик-ло-і-так.

Ко-неп-но ж, гюй-ген-са НЕ ін-те-ре-со-вал спуск по ле-дя-ним гір-кам. У той ча-ма учё-ні не ма-ли той-який ріс-ко-ши за-ні-мати-ся на-у-ка-ми з люб-ві до ис-кус-ству. За-да-чи, ко-то-які изу-ча-лись, ис-хо-ді-ли з жит-ні та за-про-сов тих-ні-ки то-го вре-ме-ні. У XVII ве-ке з-вер-ша-ють-ся вже даль-ня мор-ські пла-ва-ня. Ши-ро-ту мо-ря-ки розумі-ли визна-де-лять вже до-ста-точ-но точ-но, але вудь-ві-тель-но, що дол-го-ту НЕ розумі-ли визна -де-лять з-всім. І один з пред-ла-гав-ших-ся спо-со-бов через ме-ре-ня ши-ро-ти був ос-но-ван на на-ли-ності точ-них хро-но-мет рів.

Пер-вим, хто за-ду-малий де-лать ма-ят-ні-ко-ві ча-си, ко-то-які б-ли б точ-ни, був Га-ли-лео Га-ли-лей . Од-на-ко в той мо-мент, ко-ли він на-чи-на-ет їх ре-а-лі-зо-ви-вать, він уже старий, він сліпий, і за залишати-ший-ся рік сво-го жит-ні учё-ний не встигнемо-ва-ет зро-лать ча-си. Він за-ве-ща-ет це си-ну, од-на-ко той мед-літ і на-чи-на-ет за-ні-мати-ся ма-ят-ні-кому то-же лише пе- ред смер-тю і не успе-ва-ет ре-а-лі-зо-вать за-ми-сіл. Сле-ду-ю-щей зна-ко-вий фігу-рою був Хри-сті-ан гюй-Генс.

Він за-ме-тил, що пе-ри-од ко-ле-ба-ня зви-но-го ма-ят-ні-ка, рас-гля-ри-вав-ше-го-ся Га-ли ле-му, за ві сит від з-ну-чат ко-но-го по-ло-же-ня, тобто від ам-пли-ту-ди. За-ду-мав-шись про те, ка-ко-ва долж-на бути тра-ек-то-рія дві-же-ня гру через, щоб ча-ма ка-че-ня по ній не за-ві -се-ло від ам-пли-ту-ди, він ре-ша-ет за-да-чу про та-у-то-Хроні. Але як за-ста-вить вантаж дві-гать-ся по цик-ло-і-де? Пе-ре-во-дя тео-ре-ти-че-ські ис-сле-до-ва-ня в прак-ти-че-ську пло-кістка, гюй-Генс де-ла-ет «щёч-ки» , на ко-то-які на-ма-ти-ва-ет-ся ве-рев-ка ма-ят-ні-ка, і ре-ша-ет ще неяк-до ма-те-ма-ти-че -скіх за-дач. Він до-ка-зи-ва-ет, що «щёч-ки» долж-ни мати про-філь тієї ж са-мій цик-ло-і-ди, тим са-мим по-ка-зи-вая, що ево-лю-тій цик-ло-і-ди яв-ля-ет-ся цик-ло-і-так з те-ми ж па-ра-мет-ра-ми.

Кро-ме то-го, перед-ло-дружин-ва гюй-ген-сом кон-струк-ція цик-ло-і-даль-но-го ма-ят-ні-ка поз-по-ля-ет по -счі-тать дли-ну цик-ло-і-ди. Ес-ли си-нюю ні точ-ку, котрі три-на ко-то-рій рав-на че-ти-Рем ра-ди-у-сам про-з-під-дя-ще-го кру-га, мак-си-маль-но від-кло-нить, то її ко-нец бу-дет в точ-ке пе-ре-се-че-ня «щёч-ки» і цик-ло-і-ди-тра- ек-то-рії, тобто в вер-шині цик-ло-і-ди «щёч-ки». Так як це по-ло-ві-на тривале-ни ар-ки цик-ло-і-ди, то пів-ва дли-на рав-на вось-ми ра-ди-у-сам про-з-во- дя-ще-го кру-га.

Хри-сті-ан гюй-Генс зро-лал цик-ло-і-даль-ний ма-ят-ник, і ча-си з ним про-хо-ді-ли іс-пи-та-ня в мор-ських пу-ті-ше-стві-ях, але не при-жи-лись. Впро-ніж, так само, як і ча-си з зви-ним ма-ят-ні-кому для цих це-лей.

От-чо-го ж, од-на-ко, до сих пір су-ще-ству-ють ча-со-ші ме-ха-низ-ми з обик-но-вен-ним ма-ят-ні-кому ? Ес-ли при-гля-діти-ся, то при ма-лих від-кло-ні-ні-ях, як у крас-но-го ма-ят-ні-ка, «щёч-ки» цик-ло- і-даль-но-го ма-ят-ні-ка по-шануй НЕ ока-зи-ва-ють впли-я-ня. З-від-вет-ного-но, дві-же-ня по цик-ло-і-де і за окруж-но-сті при ма-лих від-кло-ні-ні-ях по-шануй сов-па- да-ють.

(В перекладі з грец. колоподібний) - плоска трансцендентна крива, яку описує точка окружності радіуса r, Що котиться по прямій без ковзання (трансцендентної кривої називається крива, яка в прямокутних координатахне може бути описана алгебраїчним рівнянням). Її параметричне рівняння

x = rt – r sin t,
y= R - r cos t

Точки перетину циклоїди з прямою, по якій котиться коло (це коло називається виробляє, а пряма, по якій вона котиться, - направляючої), називаються точками повернення, а найвищі точки на циклоїді, розташовані посередині між сусідніми точками повернення, називаються вершинами циклоїди.

Першим вивчати циклоиду почав Галілео Галілей. Довжина однієї арки циклоїди була визначена в 1658 англійським архітектором і математиком Крістофером Реном, автором проекту і будівельником купола собору Святого Павла в Лондоні. Виявилося, що довжина циклоїди дорівнює 8-ми радіусів виробляє кола.
Одне з чудових властивостейциклоїди, що дало їй назву - брахістохрони (від грецьких слів «найкоротший» і «час) пов'язане з вирішенням завдання про якнайшвидшому спуску. Стало зрозуміло, яку форму треба надати добре відшліфованому (щоб практично виключити тертя) жолобу, що з'єднує дві точки, щоб кулька скотився вниз від однієї точки до іншої в найкоротший час. Брати Бернуллі довели, що жолоб повинен мати форму перекинутої вниз циклоїди.

Споріднені циклоїді криві можна отримати, розглядаючи траєкторії точок, які не перебувають на виробляє кола.

нехай точка З 0знаходиться всередині кола. Якщо провести через З 0допоміжну коло з тим же центром, що і у що виробляє кола, то при коченні виробляє кола по прямій АВмаленька окружність буде котитися по прямій A´ В', Але її кочення буде супроводжуватися ковзанням, і точка З 0описує криву, яка називається скороченою циклоїдою.

Аналогічним чином визначається подовжена циклоїда - це траєкторія точки, розташованої на продовженні радіуса виробляє кола, при цьому кочення супроводжується ковзанням в протилежному напрямку.

Циклоїдальні криві застосовуються при багатьох технічних розрахунках і властивості їх використовуються, наприклад, при побудові профілів зубів шестерень, в циклоїдальних маятниках, в оптиці і, таким чином, вивчення цих кривих важливо з прикладної точки зору. Не менш важливо і те, що, вивчаючи ці криві і їх властивості, вчені 17 ст. розробляли прийоми, які привели до створення диференціального й інтегрального числення, а завдання про Брахістохрона стала кроком до винаходу варіаційного обчислення.

Олена Малишевська