Розглянемо розрахункову схему балки з довільної розподіленим навантаженням (рис.2).

Рис.2. Схема вигину балки:
а) розрахункова модель, б) фрагмент балки

Складемо рівняння рівноваги:

Таким чином, дійсно: перша похідна від внутрішнього згинального моменту по лінійної координаті дорівнює поперечній силі в перерізі.

Це відоме властивість функції і її першої похідної успішно використовується при перевірці правильності побудови епюр. Так, для розрахункової схеми консольної балки (рис.1) цей зв'язок дає наступні перевірочні результати:

І Мубуває від 0 до - Pl.

І М х.

Розглянемо другий характерний приклад вигину двухопорной балки (рис.3).

а) розрахункова схема, б) модель першої ділянки, в) модель другої ділянки, г) епюра поперечних сил, д) епюра згинальних моментів

Рис.3. Вигин двухопорной балки:

Очевидно, що опорні реакції R A \u003d R B:

• < б) (рис.3 участка первого>

• для другої ділянки (рис.3 в) -

Епюри внутрішніх зусиль представлені відповідно на рис.3 г і 3 д.

На основі диференціальної зв'язку Q і М, Отримаємо:

• для першої ділянки:

Q\u003e 0і Мзростає від нуля до.

Q \u003d Const і M x

• для другої ділянки:

Q< 0 і Мубуває з до нуля.

Q \u003d constі Mтакож пропорційний х, Тобто змінюється за лінійним законом.

Небезпечним в даному прикладі є перетин балки в центрі прольоту:

Третій характерний приклад пов'язаний з використанням розподіленої по довжині балки навантаження (рис.4). Дотримуючись методикою, прийнятою раніше, очевидно рівність опорних реакцій:, а для шуканого перетину (рис.4 б) вираження для внутрішніх зусиль набувають вигляду:

а) розрахункова схема, б) відтята частина, в) епюра поперечних сил, г) епюра внутрішніх згинальних моментів

рис.4 Двухопорного балка з рівномірно розподіленим навантаженням:

На обох опорах вигинає момент відсутня. Тим не менш небезпечним перетином балки буде центр прольоту при. Дійсно, виходячи з властивості функції і похідною при, внутрішній згинальний момент досягає екстремуму. Для знаходження вихідної координати х 0 (Рис.4 в) в загальному випадку прирівняємо вираз поперечної сили до нуля. В результаті отримаємо

Після підстановки в вираз згинального моменту отримаємо:

Таким чином,

Необхідно відзначити, що техніка побудови епюр при вигині найбільш важко засвоюється слухачами. Вам надається можливість навчитися «швидкому» побудови епюр на Тесторе-тренажері, наведеному в Додатку і вирішити в вихідних тестах з опору матеріалів Вам знайомі з постановки задачі позиції.

Лекція № 5. Поняття про напруги і деформації

Як зазначалося вище, внутрішні сили, що діють в деякому перетині з боку відкинутої частини тіла, можна привести до головного вектору та головного моменту. зафіксуємо точку М в перерізі з одиничним вектором нормалі n. В околиці цієї точки виділимо малу площадку F. Головний вектор внутрішніх сил, що діють на цьому майданчику, позначимо через P (Рис. 1 а). При зменшенні розмірів майданчика відповідно

Рис.1. Композиція вектора напруги.
а) вектор повної напруги б) вектор нормального і дотичного напружень

зменшуються головний вектор і головний момент внутрішніх сил, причому головний момент зменшується більшою мірою. У межі при одержимо

Аналогічний межа для головного момент дорівнює нулю. Введений таким чином вектор р n називається вектором напруги в точці. Цей вектор залежить не тільки від діючих на тіло зовнішніх сил і координат даної точки, але і від орієнтації в просторі майданчики F, Яка характеризується вектором п. Сукупність усіх векторів напруг в точці М для всіляких напрямків вектора п визначає напружений стан в цій точці.

У загальному випадку напрямок вектора напружень р nне збігається з напрямком вектора нормалі п. Проекція векторар n на напрямок вектора п називається нормальним напругою, а проекція на площину, що проходить через точку М і ортогональную векторуn , - дотичним напруженням(Рис. 1 б).

Розмірність напружень дорівнює відношенню розмірності сили до розмірності площі. У міжнародній системі одиниць СІ напруги вимірюються в паскалях: 1 Па \u003d 1 Н / м 2.

При дії зовнішніх сил поряд з виникненням напруг відбувається зміна обсягу тіла і його форми, т. Е. Тіло деформується. При цьому розрізняють початкове (недеформоване) і кінцеве (деформований) стану тіла.

Віднесемо недеформоване тіло до декартовій системі координат Oxyz (Рис. 2). Положення деякої точки М в цій системі координат визначається радіус-вектором r (х, у, z). У деформованому стані точка М займе нове положення М /,характеризується радіус-вектором r" (Х, у, z). вектор u \u003d r "-r називається вектором, переміщень точки М. проекції вектора u на координатні осі визначають компоненти вектора переміщень і (х, у, z), v (х, у, z), w (х, у, z), рівні різниці декартових координат точки тіла після і до деформації.

Переміщення, при якому взаємне розташування точок тіла не змінюється, не супроводжується деформаціями. У цьому випадку говорять, що тіло переміщається як жесткоецелое (лінійне переміщення в просторі або поворот щодо деякої точки). З іншого боку, деформація, пов'язана зі зміною форми тіла і його обсягу, неможлива без переміщення його точок.

Рис.2. Композиція вектора переміщення

Деформації тіла характеризуються зміною взаємного розташування точок тіла до і після деформації. Розглянемо, наприклад, точку М і близьку до неї точку N, відстань між якими в недеформованому стані вздовж напрямку вектора s позначимо через (рис. 2). У деформованому стані точки М і N перемістяться в нове положення (точки М " і N '), Відстань між якими позначимо через s ". границя відношення

називається відносної лінійної деформацією в точці Мв напрямку вектора s, рис.3. Розглядаючи три взаємно перпендикулярних напрямки, наприклад, уздовж координатних осей Ох, Оу і Oz, Отримаємо три компоненти відносних лінійних деформацій характеризують зміну обсягу тіла в процесі деформації. , Пов'язаних з поворотами відрізків

Внутрішні сили визначаються методом перетинів. Для демонстрації цього методу розглянемо тіло, що знаходиться в рівновазі (рис.1.4).

Подумки проводимо переріз деякої площиною в місці, де необхідно визначити внутрішні зусилля. Так як зв'язку між частинками усунені, то необхідно дію правій частині на ліву і лівої на праву замінити системою сил в перерізі. Ними і є внутрішні сили, які за принципом дії і протидії завжди взаємні. Незалежно від того, як ці сили розподілені по перерізу, вони приводяться до центру ваги перерізу у вигляді головного вектора внутрішніх сил і головного моменту внутрішніх сил
. Визначаються вони з рівнянь рівноваги залишеної в розгляді байдуже якій частині елемента (в даному випадку лівої). Для складання рівнянь рівноваги в с ечень вибирають систему координат, і вектора і розкладаються по цих осях на шість складових: три сили (поздовжнє внутрішнє зусилля
і поперечні зусилля , ) І три моменти (крутний момент
і згинальні моменти
,
), Які визначаються з шести рівнянь рівноваги (рис. 1.5).

Таким чином, за допомогою методу перетинів можна визначити не закон розподілу внутрішніх зусиль по перетину, а тільки їх рівнодіюча. Для вирішення завдань міцності потрібно знати характер розподілу сил по перетину, тобто ввести числову міру. За таку міру приймається напруга.
^

1.6 Напруги. Зв'язок напружень з внутрішніми силовими факторами. Принцип Сен-Венана

напруги - інтенсивність дії зусиль в даній точці або внутрішнє зусилля, що припадає на одиницю площі

Е кщо виділити малу площадку
в перетині і позначити внутрішнє зусилля, що діє на неї
(Рис. 1.6), вектор повної напруги в точці тіла буде визначатися формулою

, (1.1)

Здається вектор повної напруги своїми проекціями на осі
, , . Для цього позначимо проекції вектора на осі
,
,
(Рис. 1.7) і знайдемо відповідні проекції повного напруги:

Нормальна напруга

, (1.2)

Мал. 1.7 - дотичне напруження уздовж осі

, (1.3)

Дотичне напруження уздовж осі

. (1.4)

Якщо закон розподілу напружень по перерізу відомий, то за допомогою формул (1.2) - (1.4) і малюнків (1.8), (1.5) можна отримати зворотній зв'язок між напруженнями і внутрішніми силовими факторами

, (1.5)
Напруги, викликані локальної навантаженням в точках тіла, досить віддалених від місця додатка до нього цього навантаження, мало залежать від конкретного характеру розподілу навантаження, а визначаються тільки її головним вектором і моментом.

Навантаження називається локальної, якщо розміри майданчика, до якої вона прикладена, малі в порівнянні з розмірами тіла.

При визначенні внутрішніх силових факторів їх вважають прикладеними в центрі ваги перерізу. Насправді внутрішні сили, будучи результатом взаємодії частинок тіла, безперервно розподілені по перерізу. Інтенсивність цих сил в різних точках перетину може бути різною. При збільшенні навантаження на елемент конструкції збільшуються внутрішні сили і відповідно збільшується їх інтенсивність у всіх точках перетину. Якщо в деякій точці інтенсивність внутрішніх сил досягне певного для даного матеріалу значення, в цій точці виникає тріщина, розвиток якої призведе до руйнування елемента, або виникнуть неприпустимі пластичні деформації. Отже, про міцність елементів конструкцій слід судити не за значенням внутрішніх силових факторів, а по їх інтенсивності. Міру інтенсивності внутрішніх сил називають напругою.

В околиці довільної точки, що належить перетину деякого навантаженого тіла, виділимо елементарну площадку, в межах якої діє внутрішнє зусилля (рис. 1.6, а).

Середнє значення інтенсивності внутрішніх зусиль на майданчику, зване середнім напругою, визначають за формулою

Зменшуючи площу, в межі отримуємо справжнє напруга в даній точці перетину

Векторна величина називається повним напругою в точці. У міжнародній системі одиниць (СІ) за одиницю напруги прийнятий паскаль (Па) - це напруга, при якому на майданчику 1 м 2 діє внутрішня сила 1 Н.

Так як ця одиниця дуже мала, в розрахунках використовують кратну одиницю напруги - мегапаскалей (1 МПа \u003d 10 6 Па).

Розкладемо вектор повної напруги на дві складові (рис.1.6, б).

Проекція вектора повної напруги на нормаль до даної майданчику позначається через і називається нормальним напругою.

Мал. 1.6

Складову, що лежить в перетині в даному майданчику позначається через і називається дотичним напруженням.

Нормальна напруга, спрямоване від перетину, вважають позитивним, спрямоване до перетину - негативним.

Нормальні напруги виникають, коли під дією зовнішніх сил частинки, розташовані по обидва боки від перетину, прагнуть піти одна від одної або зблизитися. Дотичні напруження виникають, коли частинки прагнуть зрушити одна відносно іншої в площині перетину.

Дотичне напруження можна розкласти по координатним осях на дві складові і (рис.1.6, в). Перший індекс при показує, яка вісь перпендикулярна перетину, другий - паралельно якій осі діє напруга. Якщо в розрахунках напрямок дотичного напруження не має значення, його позначають без індексів.

Між повним напругою і його складовими існує залежність

Через точку тіла можна провести нескінченне число перетинів і для кожного з них напруги мають своє значення. Отже, при визначенні напружень необхідно вказувати положення не тільки точки тіла, але і перетину, проведеного через цю точку.

Сукупність напруг для безлічі майданчиків, що проходять через дану точку, утворює напружений стан в цій точці.

Напруження в поперечних перетинах пов'язані з внутрішніми силовими факторами певними залежностями.

Візьмемо в перерізі нескінченно малу площадку площею. З цієї майданчику в загальному випадку діють нескінченно малі (елементарні) внутрішні сили (рис. 1.7)

ріс.1.7

Відповідні елементарні моменти щодо координатних осей,, мають вигляд.

1. Основні поняття в спрямують.

Завдання і методи опору матеріалів.

Всі елементи конструкції мають міцність і твердість.

Завдання опору: створення методів оцінки міцності.

Спрямують характеризується наближеними прийомами розрахунку.

Розрахункові схеми і моделі.

Оцінка міцності проводиться за схемою (моделі).

Модель - сукупність основних уявлень від основного опису об'єкта.

Для однієї і тієї ж деталі можна скласти кілька подібних схем. У той же час для однієї розрахункової схеми можна знайти різні деталі схем матеріалу, форм, навантаження і розвантаження сил.

Моделі надійності.

Моделі матеріалу.

Матеріал буває однорідним, суцільним, безперервним (можна застосувати математичні формули), ізотропним.

Однорідність матеріалу - матеріал, по всьому об'єму однаковий.

Розрахункова модель матеріалу має властивості пружності, пластичності і повзучості.

пружність - властивість матеріалу відновлювати форму.

пластичність - властивість тіла зберігати змінену форму.

повзучість - властивість тіла змінювати форму з плином часу (смола).

Моделі форми.

Геометрична форма тел дуже складна. Врахувати в формулах всі форми не можливо, тому їх приводять до 4 схемами:

1.Стержень, брус.

2.Пластіна.

3.Оболочка.

Різновиди форми.

стрижень - форма деталі, у якій один розмір на порядок більше, ніж два інших.

пластина - форма деталі, у якій один розмір менше на порядок, ніж два інших.

масив - всі розміри різні, але відрізняються менше, ніж на порядок.

Моделі навантаження.

сила - міра взаємодії двох тіл.

Сила буває зовнішня і внутрішня. Зовнішня в сою чергу буває зосередженої, розподіленої і об'ємною.

Зосереджена - сила, прикладена на малій площі, яку можна вважати точкою.

Розподілена - сила, що діє на значній поверхні, розмір якої потрібно враховувати.

Об'ємна - сила, розподілена по всій масі тіла.

Моделі часу дії сил.

розрізняють

1. Статичні

2. Змінні

a) низьким показником циклової

b) багатоциклових (більше 100 тис. змін)

Моделі руйнування.

руйнування деталі - зміна її форми в плоть до поділу на частини.

Зміна форми і поділ на частини відбудеться тоді, коли внутрішні сили перевищать сили зчеплення окремих частин матеріалу.

Для судження про міцність порівнюють внутрішні сили з межами міцності. Внутрішні сили представляють собою сили міжатомної взаємодії виникають при дії зовнішніх сил.

Розглянемо тіло (а), що знаходиться в рівновазі під дією зовнішніх сил подумки розсічемо це тіло на 2 частини площиною П і розглянемо 1-у з них (б). Дія однієї з них на іншу слід замінити системою внутрішніх сил в перерізі. Внутрішні сили в перетинах частин тіла завжди взаємні (дія дорівнює протидії). У спрямують вивчаються тіла знаходяться в рівновазі.

Для знаходження рівнодіюча (R) і моменту (M) скористаємося рівняннями рівноваги.

Проектуємо R і М на вибрані осі координат.

Відтята частина знаходиться в рівновазі

Візьмемо систему координат xyz і розкладемо і на складові частини.

Тоді проекції і М на ці осі називаються внутрішніми силовими факторами.

Поздовжня сила, - поперечні сили.

Крутний момент, - згинальні моменти.

Для обчислення внутрішніх сил. Факторів необхідно вирішити 6 рівнянь рівноваги.

Напруга і деформація.

напруга - інтенсивність внутрішніх сил. чинників.

- повне напруга в точці.

Напруга в точці

Дотичні і нормальні напруження.

Силу ΔR розкладемо на складові ΔN - нормальна і ΔQ - дотична сили.

σ - нормальне і τ - дотичне напруження.

Напруга має найменування сили поділеній на площу (Н /).

В системі СІ виражається в паскалях (Па).

Зв'язок напруги з внутрішніми силовими факторами.

N-поздовжня сила, що викликає напругу стержня

Поперечні сили, що викликають зрушення.

Крутний момент - скручування

Згинальні моменти - викривлення поздовжньої осі.

Якщо на тіло діє сила, значить, воно деформується. У спрямують всі тіла деформуються, але вони вкрай малі.

Центральне розтягання - стискання.

Поздовжня сила.

розтягування - вид деформації, при якому в поперечному перерізі стержня виникає внутрішня поздовжня сила N, при цьому довжина збільшується, а ширина зменшується.

В умовах розтягування буде знаходитися стрижень під дією осьових сил на краях (а). Рівнодіюча системи дорівнює F.

Для визначення поздовжньої внутрішньої сили N використовують метод перетинів.

Для визначення N в довільному перетині x стрижня а) розглянемо рівновагу верхньої відсіченої частини б). Складаємо рівняння рівноваги, підставляючи значення отримаємо

Знак «+» показує, що стрижень розтягнутий.

Епюра поздовжніх сил.

Для судження про міцність стрижня потрібно знати поздовжню силу в будь-якій точці.

Графік (епюру) зміни внутрішніх сил стоїть на лінії проведеної паралельно осі стержня. Кожна ордината епюри дорівнює N.

ділянка - деяка довжина стержня, на якому відсутня зміна площі або сил.

Нехай стрижень ОАВ навантажений силами і має 2 ділянки ОА і АВ, на них обрані перетину на відстані і від початку координат. У перетині поздовжня сила

в перетині

Напруги.

Сила N, прикладена в центрі ваги довільного перетину стрижня є рівнодіюча внутрішніх сил, що діють на нескінченно малу площу dA поперечного перерізу площі А і. тоді,

У межах дії закону Гука () плоскі поперечні перерізи стержня при деформації зміщуються паралельно початкового стану, залишаючись плоскими (гіпотеза плоских перетинів), тоді норм. напруга у всіх точках перетину однаково, тобто (Гіпотеза Бернуллі) і тоді

При стисненні стрижня напруга мають лише інший (негативний) знак (нормальна сила спрямована в тіло стрижня).

Деформація.

Стрижень постійного перетину площею А під дією осьових розтягуючих сил подовжується на величину, де - довжини стержня в деформованому і не деформованому стані. Це збільшення довжини називається повним або абсолютним подовженням.

Відносне подовження - подовження віднесене до первісної довжині стрижня звані. лінійною деформацією. Вимірюється ε в%.

При розтягуванні (стисканні) виникає не тільки поздовжня, але і поперечна деформація стрижня, де а - поперечний розмір.

Ставлення поперечної деформації до поздовжньої узяте по абсолютній величині, називається коефіцієнтом Пуассона.

Закон Гука. Подовження стрижня.

Між напругою і малої деформацією існує лінійна залежність, звана законом Гука. Для розтягування (стиснення) вона має вигляд σ \u003d Еε, де Е - коефіцієнт пропорційності, модуль пружності.

Е - напруга, яке викликає деформацію.

Закон Гука для розтягування (стиснення) стрижня.

Δl \u003d Fe / EA \u003d λF, де λ - коефіцієнт поздовжньої податливості стрижня.

ЕА - жорсткість перерізу стержня при розтягуванні.

Для стрижня змінного (ступеневої) перетину подовження визначається по ділянках (сходами) і результати підсумовують алгебраїчно:

Діаграм випробування матеріалу.

У розрахунках міцності стрижня при розтягуванні і стисненні необхідно знати механічні. Властивості матеріалу, які виявляються при випробуваннях зразків на розтягнення під навантаженням. Випробування на розтягнення дозволяє судити про поведінку матеріалу і при стисненні, зсуві, крученні та згині. Графік залежності між розтягує силою F і подовженням зразка Δl називають діаграмою розтягування.

Для виключення залежності від розмірів діаграму перестаіваться в координатах σ - ε.

Характеристики міцності і плинності.

Т.А - ділянку пропорційності (закон збереження Гука).

До т. З - плинність матеріалу.

Т. В - max значення.

ОА - пружності,

АТ - пластичності,

ДВ - зміцнення,

ВМ - місцевої плинності.

У зоні ОА справедливий закон Гука

Величина границі пружності близька до межі пропорційності.

Зона АТ - зона загальної пластичності. Для неї характерно істотне збільшення деформації (довжини) зразка без помітного збільшення навантаження - майданчик плинності (СД). Освіта пластичної деформації викликано зрушенням в кристалічній решітці.

Для оцінки напруженості використовують характеристику механ. властивостей матеріалу - межа плинності - напруга, при якому в матеріалі з'являється помітне подовження без збільшення напруги.

Межа міцності.

Зона ДВ - зона зміцнення; тут подовження зразка зростає більш інтенсивно зі збільшенням навантаження в порівнянні з зоною ОА. У т. В напруга σ досягає максимуму.

Якщо навантажити зразок в т. F, то при подальшому навантаженні матеріал набуває здатність сприймати без залишкових деформацій сприймати великі навантаження.

Явище підвищення пружних властивостей матеріалу в результаті попереднього деформування носить назву наклепу.

Зону ВМ називають зоною місцевої плинності. Тут подовження зразка відбувається зі зменшенням сили і супроводжується утворенням місцевого звуження - шийки. Напруга в поперечному перерізі шийки зростає. У т. М настає руйнування зразка. Максимальна напруга на діаграмі, яке здатний витримати зразок, називають межею міцності (тимчасовий опір).

Пластичність і крихкість.

під пластичністюрозуміють здатність матеріалу отримувати великі залишкові деформації без руйнування.

крихкість - здатність матеріалу руйнуватися без утворення помітних залишкових деформацій.

Допустимі напруги. Розрахункові конструкції.

Умова міцності при розтягуванні запишеться у вигляді, де [σ] - допустиме напруження, що є характеристикою конструкційний матеріал, яка залежить від прийнятого коефіцієнта запасу міцності n.

n - величина показує, у скільки разів максимальне напруження для даного матеріалу більше робочих [σ]

Як правило, за максимальне напруження беруть межу плинності (міцності).

Зрушення і крутіння.

Основні питання:

1. Поняття зсуву

2. Закон Гука при зсуві

3. Інженерні розрахунки на зрушення матеріалу бруса

4. Поняття крутіння бруса круглого перетину

5. Вирази дотичних напружень кутів закручування

6. Умова міцності і жорсткості

7. Визначення небезпечних перетинів

8. Інженерні розрахунки на кручення.

Внутрішні силові фактори і деформації.Зрушення - вид деформації, коли в поперечному перерізі стержня діє тільки перерізуюча сила, інші силові фактори - отсутствуют.Елементарние кубики спотворюються, на бічних гранях виникає напруга.

Схема зсуву. Закон Гука.Напружений стан, при к-м на гранях виділено. елемента виникає тільки дотичні напруження, називають чистим зсувом. а-абсолютний зсув, -кут, на к-й змінюються прямі кути елемента, називають відносним зсувом.

Рівняння рівноваги відсіченої частини, де G - модуль пружності, GA- жорсткість при зсуві -з-н Гука при зсуві,

Розрахунок конструкцій на зрушення.Багато деталей (склеєні, зварені, ...) схильні до зсуву.

Умова міцності, - допустиме напруження на зріз.

\u003d (0,5 ... 0,6) -для пластич. матеріалів

\u003d (0,7 ... 1,0) - для крихких матеріалів

Кручення.

Крученіе- вид деформації, при к-м діє тільки крутний момент.

Внутрішні силові фактори.Щоб побудувати епюру, розбивають на ділянки, розсікаючи перетинами на відстанях х 1, х 2, ... діаграму, яка показує расраспределеніе значень крутий. моментів по довжині вала, називають епюр крутних моментів. Правило знаків: момент, спрямований проти годинникової стрелкі- позитивний, по стрелке- негативні.

Побудова епюри крутних моментів.Ур-е рівноваги або -права частина аналогічно розглядають всі перетину.

Висновок: в будь-якому перетині вала діє крутний момент, \u003d сумі обертаючих моментів, що лежать по одну сторону від цього перетину. Епюра крутних моментів - ступінчаста лінія, к-я показує ступінь нагружаемості кожного з ділянок вала.

Деформації при крученні.При крученні утворюють циліндра звертаються в гвинтові лінії, круглі і плоскі перетину зберігають свою форму, поворот одного перетину щодо іншого відбувається на деякий кут закручування, відстань між поперечними перетинами майже не змінюється. Перетину, плоскі до закручування, залишаються плоскими після закручування, радіуси поперечних перерізів при деформації залишаються прямими.

Кручення - результат зрушень при взаємному повороті перетинів.

Схема навантаження бруса.

Де -кут закручування на одиничному довжині стрижня.

Відносить. кут закручування.

Геометрія зсуву.

Значення касатся. напруг в точках перетину пропорційні расст. її від осі стержня.

момент крутіння.

Напруга при крученні.

Геометричний. характеристика- полярний момент інерції перерізу.

Кут закручування на од. стрижня. -полярний момент опору перерізу.

Полярний момент інерції і опору.

Поляр. момент інерції. , Для круглого сеченія-

Розрахункові формули. , Умова жорсткості:

Розрахунки на міцність і жорсткість.

Умова міцності: .Діаметр вала суцільного перерізу

Кут закручіванія- визначає жорсткість.

Вал розраховують по 2 умов і зі знайдених значень знаходять більше.

Вигин.

Основні питання:

1. класифікація вигинів

2. навантаження і внутрішні силові фактори

3. побудова епюр навантажень, правило знаків

4. нормальні напруження при чистому вигині

5. дотичні напруження при чистому вигині

6. переміщення при вигині

7. диференціальне рівняння пружної лінії балки

8. визначення переміщень методом безпосереднього інтегрування

Класифікація вигинів.Вигин - вид деформації, коли під дією зовнішніх сил в поперечному перерізі стержня (бруса) виникають згинальні моменти.

Якщо згинальний момент в перерізі є єдиним силовим фактором, а поперечні і нормальні сили відсутні, наз-ся чистим. Якщо в поперечних перетинах стрижня поряд з изгибающими моментами діють і поперечні сили, вигин наз-ся поперечним.

Іноді в поперечному стрижні виникає кілька силових факторів. Це складне опір. Розрахунки стержнів грунтуються на принципі незалежності дії сил.

Опори і їх реакції. Для передачі навантажень стрижень повинен бути зафіксований щодо корпусу за допомогою опор- пристроїв, що сприймають зовнішні сили.

Розрізняють 3 основних види опор- жорстке защемлення: 1) заделка- а) виключає осьові, кутові зміщення і сприймає осьові сили і моментную навантаження,

2) шарнірно-нерухома опора -б), - допускає поворот навколо осі і не сприймає момент,

3) шарнірно- рухлива опопра -н), - не допускає зміщення стержня, тільки в напрямку 1 з осей і передає навантаження уздовж цієї сили.

Опорні реакції.Під дією зовн. Навантажень в місцях закріплення стержня виникає опорна реакції. х знаходять з умов рівноваги. Аналіз внутрішніх сил починається після визначення реакції.

Внутрішні силові фактори.Стрижень на 2-х опорах, навантажений силами F. З умови рівноваги знайдемо опорні реакції:. Під дією зовн. сил і опорних реакцій стрижень б) буде знаходитися в рівновазі. Для визначення внутрішніх силових факторів в перерізі m1-mi ділянки CD стрижня подумки розрізати на 2 частини, розглянемо рівновагу лівої в). Щоб вона була в рівновазі, докладемо до т. Сi невідомі внутрішні силові фактори: нормальну силу Nx (xi), що перерізують, вигинає момент.

Правило знаків.Покладе. вигинає момент згинає горизонтально розташований стрижень (балку) опуклістю вниз (а), а негативні. - опуклістю вгору (б).

Покладе. поперечна сила прагне зрушити лівий перетин стрижня вгору щодо правого або праве вниз щодо лівого (а). Отриц. поперечна сила має протилежний зміст (б).

Визначення силових факторів.Перерізуюча сила в перерізі стержня \u003d сумі проекцій на вісь у всіх зовнішніх сил, що діють на подумки відсічену частина, тобто . Згинальний момент в перерізі стержня дорівнює сумі моментів зовнішніх сил, що діють на відсічену частина, взятих щодо центра ваги розглядуваного перерізу, тобто

Ур-я статики:, (чистий вигин). Якщо зробити перетин m2-m2 на ділянці АС і розглянути рівновагу лівої частини, то знайдемо, що при силові фактори: (поперечний вигин)

Схема чистого вигину.Поля прилож. М поздовжньої сили - дуги окружності, поперечного перерізу залишаються плоскими, тобто гіпотеза плоских перетинів справедлива. При чистому вигині волокна на опуклій стороні розтягуються, на увігнутій - стискаються. Існує шар, в якому подовження відсутня, його називають нейтральним шаром - нейтральної лінією.

Зв'язок напружень і внутрішніх факторів.Припускаємо, стрижень - сукупність розтягнутих і стиснутих елементів стрижнів довгою l, Які вільно подовжуються і коротшають. Нормальні напруги застосовують постійними по ширині перетину.

Статична частина завдання. Умова рівноваги між силовими факторами:

Умови б), в), г) удовлет-ся тотожне, умови а), е), д) мають вигляд:.

Деформація волокон. , - відносне подовження шару.

Деформація деякого шару залежить від його координат z, відлічуваної від нейтрального шару. Використовуємо з-н Гука:. Ставлення - постійно для конкретного матеріалу і конкретного випадку вигину. Тому напруги - лінійна функція координат z. Для знаходження величини потрібно знати положення нейтрального шару або радіус кривизни.

Нормальна напруга при вигині.

З рівнянь а), д), е) з урахуванням к.

З ур-я а), тому що то - це статичний момент площі поперечного перерізу. Нейтральна вісь є центральною віссю. З ур-я е) отримаємо Це відцентровий момент інерції, якщо він \u003d 0 - осі головні, центральні. З ур-я д):

де. Розрахункова формула отримання шляхом підстановки в останню залежності з формули к.

Розрахункові формули.

умова міцності:

Як випливає з характеристики розподілу, напружені внутрішні шари матеріалу виявляються недовантаженими.

Силові чинники при поперечному вигині.Гіпотези опору поширюються на поперечний вигин.

Формула дотичних напружень.Висловимо сили через нормальне напруга, а напруга - через згинальні моменти, з урахуванням поздовжньої сили, що викликає дотичне напруження отримуємо:

Де А0- площа відсіченої частини. -Статичний момент відсіченої частини. На поверхні в центрі \u003d max.

Характер переміщення при вигині.При вигині є 2 типу переміщень: лінійні і кутові.

При малих переміщеннях.

Рівняння зігнутої осі.

Диференціальне Ур-е зігнутої осі балки.

Основи спрямованого стану матеріалу.

Основні питання:

1. види напруженого стану

3. закон парності дотичних напружень

4. Основні майданчики і головні напруження

5. об'ємна деформація. закон Гука

6. питома потенційна енергія

7. критерії пластичності і руйнування

8. еквівалентні напруги

9. гіпотези міцності

Види напруженого стану. Оцінка міцності деталі - це сукупність напруженого стану в «небезпечній» точки конструкції з межею міцності матеріалу. Така оцінка виявляється досить точною при одноосновними напруженому стані (розтягнення, стиснення).

Однак багато елементів конструкції працюють в умовах складного напруженого стану. Тоді сукупність напружень в точці елемента зіставляється з механічними характеристиками його матеріалу, тобто вводиться еквівалентне напруження, тобто напруга в розтягнутому зразку при якому стан равноопасно з заданим.

Зусилля на похилих площадках. Розтягнутий стрижень розсічений площиною похилій до поперечного перерізу під кутом. З рівняння рівноваги слід рівнодіюча внутрішніх сил, в похилому перерізі напрямок по осі стрижня і дорівнює зовнішній силі, Тобто

Розкладемо її на складові:

нормальну

І дотичну

Площа похилого перерізу (А- площа нормального перетину).

Нормальні і дотичні напруження розподілені по похилому перерізу рівномірно. Максимальні нормальні напруження діють в поперечних перетинах стрижня (α \u003d 0)

Напруження на похилих взаємно перпендикулярних площинах. У похилих перетинах діють одночасно нормальні і дотичні напруження, які залежать від кута нахилу α. На майданчиках при α \u003d 45 і 135 градусів. При α \u003d 90 як нормальні, так і дотичні напруження відсутні. Легко показати, що перпендикулярний переріз при

Висновок: 1) в 2-х взаємно перпендикулярних площинах алгебраїчна сума нормальних напружень дорівнює нормальному напрузі в поперечному перерізі

2) дотичні напруження дорівнюють між собою за абсолютною величиною і пропорційні у напрямку (знаку) закон парності напруг

Двохосновний розтягнення. Нехай на елемент, виділений з тіла, діють нормальні напруження. Очевидно, що напрямок δ1і δ2 є головним напругою. Такий напружений стан називається двохосьовим або плоским. Проведемо похилий переріз α, нормаль до якого утворює з великим з нормальних напружень δ, кут α, вважаючи позитивним кутом проти годинникової стрілки.

За майданчику α будуть діяти нормальні і дотичні напруження. При дії тільки δ1 отримуємо

При дії δ2:

Напруження при двухосном розтягуванні. При спільній дії δ1і δ2 неважко бачити:

На майданчику β:

Якщо одне напруга приймає максимум, то друге мінімум. У цьому положенні дотичне напруження дорівнює нулю.

Головні площадки. Виділимо з елемента похилу трикутну призму і розглянемо її рівновагу, проектуючи сили на нормаль і дотичну до похилій площадці. ; ;

Досліджуючи на екстремум вираження можна переконається, що умова екстремуму для δα збігається з умовою рівності нулю дотичних напружень на цих майданчиках.

Головні напруги . Нормальні напруги на цих майданчиках називаються головними. Головні напруги і положення головних площадок можна знайти з першого рівняння. Для визначення головних майданчиків прирівнюємо друге рівняння до нуля.

Величина напружень на цих майданчиках

Об'ємна деформація матеріалу . Об'ємної називають деформації елемента під дією взаємно перпендикулярах напруг, причому прийнято δ1\u003e δ2\u003e δ3

Для визначення деформації в напрузі головних напружень використовують закон Гука. Для лінійного напруженого стану, залежність між поздовжньої і поперечної деформації і принцип незалежності дії сил.

Напруга δ1 викликає поздовжнє деформацію і поперечну в напрямках δ2 і δ3:

Аналогічно від дії δ2 і δ3:

Узагальнений закон Гука.

Підсумовуючи деформації одного напруги має вигляд після перетворення головні деформації:

ВСЕ рівняння це узагальнений закон Гука для об'ємного напруженого стану. Змінений обсяг елемента при деформації єдиного розміру:

Відносна зміна об'єму:

Потенційна енергія. еквівалентні напруги . На розтягнення бруса витрачається робота рівна:

ДЛЯ еденічние ЕЛЕМЕНТА

Узагальнена формула для об'ємної деформації:

Для оцінки міцності треба зіставити напрузі в точці конструкції при складному (плоскому, об'ємному) напрузі стану треба зіставити з механічними хара-ми його матеріалу тобто необхідно встановити деякий еквівалентне напруження, яке слід створити в розтягнутому зразку, щоб його напружений стан було равноопасно з заданим.

Гіпотези міцності. 1-я гіпотеза. Розроблено ряд гіпотез міцності, для оцінки небезпеки матеріалу при складному напрузі. Важливих 4:

1. найбільших нормальних напружень, тобто δеквівал. \u003d Δ1, δ2, δ3 відкинуті. Його ми і порівнюємо з граничним δеквів.≤δ0 (граничне), тобто δ1≤ [δ] добре узгоджується при розтягуванні стержня.

2. теорія найбільших лінійних деформації руйнується, тоді, коли εмах \u003d ε1≤ε0 після підстановки δеквів. \u003d Δ1-ν (δ2 + δ3) ≤ [δ] Може застосовуватися для тендітних матеріалів.

3. Теорія найбільших дотичних напружень. Матеріал руйнується, якщо дотичні напруження досягне межі. При деформації бруса від напруги δ1, δ2, δ3 дотичне напруження визначається

Після заміни напруг їх значень δ1\u003e δ2\u003e δ3, то найбільшими перепонами дотичне напруження

Добре підтверджується для пластичних матеріалів (стали).

4. енергетична теорія: якщо енергія зміни обсягу не перевищує межі і матеріал міцний. З теорії зміни обсягу

Для випадку кручення з вигином застосовується вид

Складне навантаження. Косий вигин. Вигин з крученням .

Основні питання :

1. складне навантаження

2. косою вигин

3. нейтральна вісь

4. визначення переміщень і напружень.

5. позацентровий розтягнення

6. визначення напружень при відцентровому розтягуванні

7. вигин з крученням валів

8. визначення зусиль

9. визначення напружень і розрахунок валів

Поняття про складне опорі.Складним опором називається вид навантажений, при якому в поперечних перетинах бруса діє 2 або більше силових фактора. Поперечний вигин також є складним опором.

Загалом випадки в перерізі діють 6 силових факторів. Раніше розглянуті методи розрахунку напружень і переміщень від кожного з цих факторів.

При дії декількох факторів використовує принцип суперпозиції для певного сумарного результату.

До найбільш поширених видів складного опору відносяться косою вигин, позацентровий розтягнення і вигин з крученням. Найбільш поширене застосування і теорія міцності для деталей.

Схема складного навантаження.Стрижень навантажений силою F має кути α, β, γ з осями координат, початок яких знаходиться в центрі ваги поперечного перерізу. Осі Y і Z є головними центральними осями інерції. Знаходяться проекції сили F на осі координат. Застосовуючи метод перетинів, встановлюємо, що стрижень працює на вигин в 2-х площинах і на осьовий розтяг. Якщо сила F буде розташована в площині поперечного перерізу, то Fx буде відсутній.

Косий вигин.Під косим вигином розуміється такий випадок вигину, при якому площина згинального моменту не збігається ні з однією з головних площин інерції стержня.

Завдання косого згину зводять до одночасного розгляду двох плоских (прямих) вигинів, розкриваючи вигинає момент в перерізі на 2 моменти, діючи в головних площинах (проходять через головні осі перетину) Т.к. напруга від сили Q є другого напруги порядку від вигину.

Схема сил при косому вигині.

На рис. показаний консольний стержень, навантажений силою F, що діє перпендикулярно його осі і складовою кут φ з головною площиною ху. Напруга в деякій точці В поперечного перерізу на відстані х від незакріпленого торця. Моменти, згинальні стрижень у вертикальній і горизонтальній площинах х.

Де Fу і Fz - вертикаль і горизонталь, складові сили.

F, M- складові моменти в перерізі

Напруги і нейтральна вісь при косому вигині.Нормальна напруга в нейтральній точці з координатами у і z визначаються сумою напруг від моментів Му і Мz тобто

Максимальна напруга буде діяти в точках найбільш віддалених від нейтральної лінії.

Положення нейтральної лінії при косому вигині знайдемо з рівняння полога δ \u003d 0 позначаючи координати нейтральної лінії Y0 і Z0 отримаємо

Видно що нейтральна лінія є прямою проходить через початок координат (центр ваги поперечного перерізу) позначаючи через α кут нахилу нейтральної лінії до осі Z знайдемо

позацентровий розтягуванні. При відцентровому розтягуванні стержня рівнодіюча зовнішніх сил не збігається з віссю бруса, а зміщена щодо осі Х.

У довільному поперечному перерізі стержня буде діяти внутрішні силові фактори:

YF, ХF - КООРДИНАТИ ДОВІЛЬНОЇ ТОЧКИ

MX, MY- згинальні моменти щодо осей перетину

Схема сил і напружень у перерізі.Для визначення нормального напруги в довільній точці знайдемо його складові від кожного фактора для випадку позацентрового розтягування.

Нормальне напруга дорівнює:

Тобто епюра напружень є площиною.

Положення точки К і епюри напруги від кожного фактора показано на рис. Для визначення нейтральної осі замінимо моменти сил їх значенням і прирівняємо: Звідси знаходимо координати yк, XК

Вигин з розтяганням.Загалом, випадки на стрижень можуть діяти як поздовжні, так і поперечні навантаження.

Якщо уявити собі поєднання розглянутого вище косого згину з осьовим розтягуванням або стисненням, то таке навантаження призводить до появи в поперечних перетинах стрижня згинальних моментів MX, MY поперечних сил Qz Qy і поздовжньої сили N. Наприклад в перерізі консольного стрижня буде діяти такі силові фактори (без обліку правила знаків).

Напруга в стрижні.Нормальна напруга викликає розтягувальну силу FX, у всіх поперечних перетинах стрижня однаково і рівномірно розподіляється по перетину. Ця напруга визначається за формулою: , де А- площа поперечного перерізу стержня

Застосовуючи принцип незалежності дії сил з урахуванням раніше отриманої формули нормальна напруга в довільній точці С

Тоді найбільшу напругу δмах в поперечному перерізі:

Умова поперечности по напрузі, що допускається в розрахунковому випадки має вигляд: δмах≤ [δ]

Вигин з крученням валів.Багато елементи конструкції машин працюють в умовах кручення і вигину. Наприклад, вали зубчастої передачі від сил в зачепленні зубів передають крутний і згинальні моментів, вали пасової передачі мають такі ж навантаження від різниці напруг ременів.

Для вирішення питань працездатності матеріалу будуються епюри крутних і згинальних моментів, а потім напружень.

Схема вала зубчастої передачі. Для визначення навантажень будуємо схему вала і навантажуємо його изгибающими і крутять моментами і будуємо епюри крутних і згинальних моментів.

Напруга в поперечному перерізі.Знаходимо небезпечну тугу С і для неї обчислюємо , де Z - відстань від нейтральної осі ; ρ - радіус вектор від початку осей координат

Тоді еквівалентні напруги по 4-тій теорії міцності

Стійкість стиснутих стержнів

1) Загальні поняття про стійкість систем

2) Поздовжній вигин. Критична сила. Формула Ейлера.

3) Кінцеві кріплення стрижнів

4) Межа застосовності формули Ейлера.

5) Практичні розрахунки на стиск.

Основні поняття про стійкість. Під стійкістю рівноваги розуміється властивість системи зберігати свій стан при відхиленні її від вихідного стану взаємодії зовнішніх сил. В реальних умовах є причина, по якій відбувається відхилення системи від вихідного рівноваги. Якщо після припинення дії зовнішніх сил система повертається у вихідне положення, то такий стан називається стійким, якщо не повертається, переходить в новий стан - нестійким. Перехід з одного стану в інше в цьому випадку - втрата стійкості. Втрата стійкості залежить від величини впливає сили. Сила (або інший параметр) характеризується переходом зі стійкого стану в нестійке - критична сила. Для забезпечення працездатності системи необхідно щоб реальна частина становила лише частину від критичної сили.

Стійкість стиснутих стержнів.Деформуємі тіла, в тому числі стрижні знаходяться в стійкому або нестійкому стані. Інші тіла, так само як і тверді тіла, можуть перебувати в стійкому рівновазі. Якщо тонкий прямий стрижень стискати уздовж геометричної осі постійно збільшуючи силу, то спочатку він буде прямим під дією напружень стиснення, де А -площа поперечного перерізу стержня. А потім при деякій навантаженні Fкр, званої критичної, стрижень різко згинається, напруги в ньому швидко зростають, і виникає небезпека руйнування. Це явище називають втратою стійкості. Якщо стрижень розтягувати поздовжньою силою, то він завжди знаходиться в стійкому (єдиному) положенні рівноваги.

Завдання Ейлера.Для з'ясування умов, при яких стають можливими різні стану рівноваги, розглянемо приклад (завдання Ейлера) про стиснення стрижня. Критична сила в цьому завданні буде дорівнює такій осьової силі, при якій стрижень може перебувати в злегка зігнутому стані.

При малих прогинах стержня можна використовувати диференціальне рівняння зігнутої осі у вигляді. Знак мінус у правій частині показує, що момент сили прагне збільшити негативну кривизну пружною лінії. Рівняння можна переписати у вигляді,.

Вирішення рівняння. , де C 1і З 2 - довільні постійні, які визначаються з крайових умов: 1) при х = 0 у(0) \u003d 0; 2) при х \u003d l у (1) = 0.

Звідси слідує що З 2 \u003d 0; друга умова може бути виконане лише за умови, що З 1sin kx = 0 . Таким чином рівняння має два рішення: а) З 1 \u003d 0, б)sin kl = 0 .

при З 1 \u003d З 2 = 0 переміщення у тотожно рівні нулю і стрижень зберігає прямолінійну форму. Цей випадок не задовольняє умовам задачі, так як розглядається вигнутий стрижень. Отже, стрижень може зігнутися лише за умови при kl \u003d np, де п -довільне ціле число.

При малій силі F, поки величина, значення і стрижень буде зберігати прямолінійну форму. Як тільки, стрижень втратить стійкість і зігнеться.

Ця сила, відповідна n \u003d 1, називається ейлерову силою, або першої критичної силою. При цьому стрижень згинається по полуволне синусоїди.

Форми прогинів стрижнів. Стрижень згинається по полуволне синусоїди . При n \u003d 1, з максимальним вигином З 1. При п\u003e 1 пружна лінія стрижня зображується кривої, що включає пполуволн. Однак ці нестійкі форми рівноваги не мають практичного значення, оскільки вже за часів п \u003d1 стрижень «втрачає» несучу здатність.

Вплив закріплення стержня.Величина Fкр залежить від умов закріплення стержня, характеру навантаження і форми перетинів (моменту інерції) стрижня. Наприклад, якщо шарнірно закріплений стержень зв'язати з ще однією опорою посередині (а), то при втраті стійкості він зігнеться по 2-м півхвилю (як двухопорний стрижень довжиною) і. Стрижень жорстко закріплений на одному кінці і вільний на іншому, навантаженому кінці матиме таку ж критичну силу як і двухопорний стрижень з умовною довжиною 2 l.

Формула Ейлера.

У загальному випадку формулу Ейлера можна представити у формі, де m - коефіцієнт приведення довжини. Критичному навантаженні відповідає напруга стиснення

Де l - коефіцієнт, що характеризує наведену стійкість (з урахуванням умов його навантаження і спирання):, де i- радіус інерції перерізу:. Відзначимо, що критичну силу і напруги визначають за мінімальним моменту інерції перерізу.

граничні напруги. Критичні напруги - характеристика конструкцій (залежить від λ). Крива 1 (гіпербола Ейлера) це для пружного стану. Для дуже гнучких стрижнів (λ\u003e 100) втрата стійкості настає при напрузі нижче межі текучості, тобто критерій працездатності конструкцій. Нехай гнучкість при напружених межі пропорційної, тоді вона залежить тільки від механічних характеристик матеріалу.

Межа застосовності формули Ейлера. При малих значеннях λ<40 стержень теряет работоспособность из-за наступления пластических деформаций, потери устойчивости не происходит и предельное напряжение равно пределу текучести. При средних значениях (40< λ<100) для стержня из стали (Ст3) наблюдается потеря устойчивости стержня, сопровождаемая упругопластическими деформациями (2). Для этого случая нагружения формула Эйлера не справедлива, и критические напряжения вычисляют по эмпирической формуле Ясинского: , основанной на аппроксимации кривой, отрезком прямой. Коэффициент и для сталей марок Ст2, Ст3 и Ст5. В реальных деталях стержневой формы (винтах, стойках и др.) неизбежны отклонения оси стержня от прямолиней­ного направления и внецентренное приложение сжимающих сил, поэтому потеря устойчивости стержня происходит при напряжениях, меньших критических.

Практичні розрахунки. Розрахунок стиснутих стрижнів ведеться також, як і розтягнутих стрижнів, але допустимі напруження приймають в залежності від гнучкості:, де φ- коефіцієнт зниження допустимих напружень. Фактичний коефіцієнт запасу стійкості в цьому випадку визначається як:.

Втома матеріалів.

1. Цикли змінних напруг

2. Втома матеріалів

3. Крива втоми

4. Межа витривалості

5. Вплив конструктивних і технологічних факторів на межу витривалості

6. Розрахунок міцності при змінних напругах.

Змінні напруги.Більшість деталей машин в робочих умовах відчувають змінні напруги, циклічно змінюються в часі (циклічні напруги). Вони виникають в деталях від зміни навантаження, а також у зв'язку зі зміною положення їх перетинів по відношенню до постійного навантаження (напр., При обертанні деталі). З-ни зміни змінних напруг можуть бути різними, але всі їх можна представити у формі найпростіших гармонік синусоїди і косинусоид.

Періодична зміна напружень в часі походить від найбільшого значення σ max до найменшого σ min і назад. Змінні напруги можуть бути також дотичними.

Число циклів напружень в секунду називається частотою навантаження.

цикли напружень

Цикли можуть бути знакопостоянного (а і в) або знакозмінними, пульсуючими.

Будь-який цикл може хар-ся середнім напругою σ m \u003d (σ max + σ min) / 2

і амплітудою змінної напруги σ а \u003d (σ max - σ min) / 2

Ставлення r \u003d σ min / σ max наз-ся коефіцієнтом асиметрії циклу.

У циклі бсередня напруга \u003d 0, такий цикл наз-ся симетричним.

(Σ max ≥ σ а ≥ σ min; r \u003d -1) Якщо max або min напруга циклу \u003d 0, то його називають пульсуючим або нульовим (для циклу в, r \u003d 0)

Втома матеріалів.Змінні напруги, що з'являються в деталях машин від зміни навантаження або зміни їх положення по відношенню до постійного навантаження. (Напр., При обертанні) призводять до раптового руйнування деталі, хоча величина цих напружень істотно нижче межі текучості (допустимих напружень). Це явище отримало назву втоми. Втомне руйнування починається з накопичення пошкоджень, появи тріщин, поступово розвиваються всередину, що призводить до збільшення напруги неушкодженою частини.

Межа витривалості.Число циклів до моменту руйнування залежить від амплітуди напружень в досить широких межах. Здатність матеріалу протистояти дії змінних навантажень наз-ся опором втоми (мають місце випадки, коли деталь руйнується при великій напрузі через кілька циклів, а при менших здатна працювати необмежено довго).

Оцінюють опір втоми за допомогою межі витривалості, що визначається експериментально на спец. машинах або стендах. ( межа витривалості- число циклів до руйнування)

Методика випробувань.Якщо сталевий зразок витримав 10млн. циклів, то вважають, що він може витримати без разруш-я і більше число циклів. 10 7 - базове число.

Діаграма втоми.За результатами випробувань будують криву втоми. Найбільше значення напруги циклу, яке зразок витримує до бази випробувань, називають межею витривалості. При симетричному циклі межа витривалості позначається через σ -1, при пульсуючому -σ 0, при асиметричному -σ r. Для розрахунку деталей не призначених на тривалий термін служби вводиться поняття обмеженого межі витривалості σ rN, N - задане (менше базового) число циклів

Наближені значення між межами витривалості при вигині і межами витривалості для інших видів деформації:,.

Рівняння кривої втоми.Залежність між змінною напругою σ max і числом циклів до руйнування досить точно описується рівнянням σ max m N \u003d C, де m і з - постійні для даного матер-ла, температури і окр. середовища ; N σ-базова число циклу.

У логаріфміч.коорд. ур-е кривої уст-ти lgσ max \u003d (I / m) lgN + (1 / m) lgC

Тангенс кута нахилу прямої β | tgβ | \u003d 1 / m

З увеліч.знач-я m нахил прямої до осі lg \u003d N уменьш-ся і при m → ∞ пряма стає горизонтальною. Зазвичай m \u003d 4 ... 10

Ур-е справедливо і для точки перегину А кривої уст-ти, тобто

С \u003d σ r m N σ тоді отримаємо (σ max / σ 1) m \u003d N σ / N, звідки N \u003d N σ (σ max / σ 1) m

Ця завис-ть викор-ся для визначення ресурсу роботи Ел-тов констр-цій при відомому рівні роботи змінних напряж-ий σ max і знач. N σ і σ

Діаграма граничних напряж-ий

Межі витривалості завіс.от коеф.ассіметріі циклу. За рез-там випробувань будують діагр.предельних амплітуд напряж-ий. Апроксимуємо її, отримуємо лінейн.завіс-ть s а0 = s -1 - s т, де - коеф., хар-щий чувствит-ть матер.к ассім-ії циклу (для касат.ілі норм.напряж-ий), залежить від межі міцності матер.

Вплив концентраторів напряж-ий.

Дослідами встановлено, що в зонах різких вим-ий конст-ий вознік.повиш.напряж-я - концентрація напряж-я. Їх величина σ max \u003d α σ σ n

α σ - коеф.конц-ии, σ n - номінальне знач-е.

Ефективний коеф.конц-ії.

Експеримент-но в реал.матер. коеф.конц-ії до s = s -1 / s -1 к, де s -1 к - межа з конц-ром напряж-я.
Коеф.конц. для валів з галтетью.

чим<ρ, тем конц.напряж-ий выше.

Масштабний ефект.

На конц.вліяет розмір деталі, кіт. вчить-ють коеф.масштаб.еффекта.

Стан пов-ти.

Вчить-ся коеф.качества β. коефіцієнт b< 1 характеризует снижение предела выносливости при ухудшении обработки по сравнению с полировкой. Значения коэффициента b наводяться в довідковій літературі.

Умови міцності при перемен.напряж-ях.

Рівняння граничній прямій на діаграми граничних напружень

s а0 = s -1 - s т,

для виявлення граничного стану матеріалу перетворимо до виду

s а0 + s f т,£  s -1 .

Якщо ввести, як зазвичай, поняття еквівалентного змінної напруги

s екв= s а + f ss т,

то умовою надійності матеріалу буде вираз

s екв £ s -1 .

Вплив концентрації напружень, масштабного ефекту і стану поверхні слід відносити, як показали експериментальні дослідження, тільки до змінної складової циклу.

З урахуванням цього

s е кв = s адо s / e sb s + f ss т

і умова опору втоми набуде вигляду

s екв = s адо s / e sb s + f ss т£ s -1.

Прі дії дотичних напружень умова опору втоми буде

s екв = τ а до τ /e τ b τ + f τ τ т ≤ τ -1

Запаси ін-ти при переем.напряж-ях.

Для оцінки надійності елемента визначають запас міцності. Приймаємо, що в процесі роботи змінне і постійне напруження змінюються пропорційно. Запас міцності деталі в точці - це відношення граничного значення напруг в точці до діючих еквівалентним (нормальних і дотичних) напруженням.

Тоді підставляючи відповідні напруги з умов міцності, отримаємо

При спільній дії нормальних і дотичних напружень запас міцності знаходять за формулою

Отримані значення запасів міцності слід зіставляти з їх допустимими значеннями. зазвичай приймають п³ 1,5.

Розрахунок оболонок оберт-я. Розрахунки за межами пружності.

Поняття тонкостние оболонки оберт-я

Визначення напряж-ий

аналіз міцності

Розрахунок міцності стрижня при вигині і крученні за предел.упр-ти.

Тонкос.обол.вращ-я.

При оцінці прочностной надеж-ти ряд распростр.ел-тов констр-ий схематизує-ють у формі тонкост.обол.вращ-я.

Якщо навантаження на обол.осесімметрічна, то опр-е напряж-ий в стінках не викликає ускладнень. При товщині стінки не більше 0,1 мінімал.радіуса її кривизни з пріемл.для практики точністю приймають, що в стінках від внеш.нагрузкі вознік.только норм.напряж-я, кот.постоянни по товщині.

У кач-ве прикладу можна рассм.сосуд під тиском.

Рассм.сосуд (а) під давл.Двумя попереч.і двома продол.сеч-ями виріжемо з стінки беск.малий ел-т з довжиною граней dl (б) У цих перетинах действ.осевие s т і окружні (кільцеві) σ β напряж-я, тобто вирез.ел-ти знаходячи-ся в плоскому напруженому стані.

Напруга-я в оболонці.

Осьові напряж-я, визив.осевой силою:

N \u003d qπR 2 \u003d π Dδ σ m

R-внутр.радіус сферіч.часті, звідси D≈ 2R - сред.діаметр ціліндр.часті судини

δ - товщина стінки.

Площа кільцевого перерізу А m \u003d π DS, з цього ур-я σ m \u003d N / А m \u003d qD / 4 δ

Окружні напряж-я викликаючи-ся силами dN 0 \u003d δ 0 ⌠ ∂ l, кот.должни уравновеш.сілу dF R, обусловл. Тиском q, действ.на пов-ть ел-та dF R \u003d q dl 2

Состав.ур-е равновес., Проектуючи сили dN 0 і dF R на напр.радіуса в середині ел-та 2 dN 0 sin (dQ / 2) -dF R \u003d 0

Аналіз напряж-ий.

Тоді 2σ 0 δ dl sin (dQ / 2) \u003d q dl 2

dl \u003dRd0 і sin (dQ / 2) ≈ dQ / 2

Отримаємо σ 0 \u003d qD / 2 δ.

Порівнюючи з попередн. σ m напряж-му в попереч.напр. (по кільцю), січ. В 2 рази більше (в продол.сост.), Ніж уздовж труби (попереч.сеч.) Це обст-під учіт.на практиці при ізготов.составних резервуарів. Подол.сварние шви виконують більш міцними, ніж попереч.шви. У сферіч.сосуде напряж-я на гранях будуть одинак.

Схема напряж-ия при розрахунках за межею пружності матеріалу.

Max касат.напряж-я при крученні дійств. У крайніх волокнах і пластіч.деформ.вознік.сначала на контурі перерізу. Пластичні перша зона при зр. навантаження буде розвиватися всередину перетину. Для ідеал. Упругопластічни матеріалу перехід в предел.состояніе показаний на рис.

На а) показ.распределеніе напряж-ий для упруг.сост-я, сохр-ся до τ max \u003d τ т,

На б) при τ max \u003d τ т, коли вперше поява ся пластич. Деформ.,

На рис в) - граничний стан.

Граничний момент крутіння.

Предел.знач-е моменту легко устанавл-ся з умови рівноваги.

T кр \u003d А ∫ dT \u003d А ∫ ρ d F т \u003d А ∫ ρ τ т dA \u003d А ∫ ρ2πρ τ т ρ dρ \u003d π τ т ρ 3/3 | a 0 \u003d (πD 3/12) τ т

Знайдемо відношення T кр до max знач. T m моменту в упруг.сост.

T m \u003d T т W p \u003d τ т W p

Отримаємо T кр / T т \u003d 4/3.

Розрахунок на вигин за предел.упруг-ти.

Експеримент. Встановлено, що при упругопласт.ізгібе з-н плоских перетинів сохр-ся. Поет.деф.лін.завісят від корд. y. На рис. А) показ. попереч.сеч .; пружне распеределеніе деф. І напруга-ий по висоті січ-я (б і в); упругопласт. (г) і граничний стан (д).

Висновок: Розрахунок предел.момента.Зона пласт.деф. розпод-ся всередину сеч.і, коли в усьому сеч.норм.напряж-я достіг.предела плинності, обр-ся предел.состояніе і балка не може передавати більшого навантаження. Предел.момент знаходять шляхом інтегрування:

M перед \u003d А ∫ dM \u003d h / 2 ∫ σ т b y d y \u003d σ т b h 2/4

Max знач.ізгіб.момента для упруг.распределенія напруга, коли тільки в крайньому волокні буде: М τ \u003d σ т b h 2/6

Ставлення M перед / М τ \u003d 3/2

Контактні напряж-я.

Контакт.назив.напряж. в зоні контакту дет.машін. на практиці часто поява ся необх-ть визна-я напряж-ий і деформ.в цих зонах, як при розрахунку на контакт.прочность (зубч. і фрикційні передачі), так і для оцінки межі витривалості (різьбові і пресові соед-я ).

Конструкційні контакт. завдання вирішують методами теорії купругості, як пр-ло, наближено. Точні реш-я отримані лише для задач про пружний. Контакте деталей простої форми (циліндри, кулі і т.д.)

Для розуміння принципу підходу при вирішенні контактних задач рассм.взаімодействіе циліндра (завдання Герца)

Схема контакту двох циліндрів.

Розглянути. Напряж.сост. 2-х довгих циліндрів з || осями, стислих распредел.по довжині радіальними навантаженнями р.на відстані Е від пл-ти проход.через осі циліндра, візьмемо дві точки А1 і А2.

Якщо контакт циліндрів без навантаження проісх.по лінії || їх осях, через т.В, то при навантаженні по майданчику 2a * l (l - довжина стрижня).

Контакт однород.матеріалов.

Якщо циліндри ізготов.із матер., У кіт. Е1 \u003d Е2 і μ1 \u003d μ2, то

q max \u003d 0,418√ (pE (R1 + R2) / R1R2)

a \u003d 1,52√ (p / E * (R1R2) / (R1 + R2))

δ \u003d 2 (1-ν 2) / πE * p * (ln (4R1R2 / a 2) + 0,815)

а залежить від р, то зсув δ явл-ся нелінійної ф-цією від p, хоча матер.ціл.упругій.

Це завдання вперше вирішена Герцем.

Статично невизначені системи. Поняття статіч.неопредел-ти.

З матем.ізвестно, що число ур-ий має бути \u003d числу невідомих. Величин, інакше система не вирішується. (Статіч.неопределіма) .В спрямують статіч.неолпр-мимі наз-ся системи, в кіт. для опр-я р-ций (або внутр.сіл.факторов) недостатньо ур-я рівноваги. Число відсутніх Ур-ий - ступінь неопр-ти.

Метод розкриття статіч.неопр-ти.

Включення в число ур-ий ур-ий спільності деформації стрижнів. Наіб.распр.метод сил, коли Ур-я спільності деформ. Вир-ся через діючі сили.

Наприклад, завдання про складеному стрижні.

Нехай стрижень сост.із двох частин.

З ур-ий статики 1 ур-е Σy \u003d 0.

Σy \u003d R K + R B -F \u003d 0.

Завдання статично не вирішується

Додамо Ур-е спільності деформ.

ΔА \u003d - F l 2 / E 2 A 2;

Δx \u003d x l 1 / E 1 A 1 + x l 2 / E 2 A 2;

x \u003d R K \u003d F / (1 + l 1 / l 2 * E 2 A 2 / E 1 A 1);

Динамічні навантаження. удар .

1) Динамічні навантаження

2) Облік сил інерції

4) Ударні навантаження. Визначення напружень і переміщень.

Температурна завдання. Друга група завдань статистики невизначених систем полягає в обліку зусиль від сорому температурної деформації. Визначимо зусилля і напруги в закріпленому стрижні довжиною l, З перетином А при зміні температури на, якщо коефіцієнт лінійного розширення дорівнює α, а модуль пружності Е. Статистична сторона завдання зводиться до. Звернемося до геометричній стороні завдання. Вільна температурна деформація стрижня дорівнює і реалізується при звільненні правого кінця стержня.

Рішення і аналіз. Вводячи невідоме зусилля х, усуваємо температурне розширення, тому що за змістом завдання і, -не залежить від розміру стержня. При стрижень працює на стиск. При цьому σ досягає великих значень.

Динамічні навантаження. Динамічні навантаження виникають в елементах конструкцій при їх русі з прискоренням. Розрахунок внутрішніх силових факторів і напруг проводиться з урахуванням сил інерції і механічних властивостей матеріалів при високих швидкостях завантаження. Загальний метод розрахунку заснований на принципі Даламбера, використовуючи який, елемент конструкції призводять до стану миттєвого рівноваги шляхом додатка до нього сил інерції. Далі описаним вище методом визначають деформації і напруги. Розглянемо облік динамічних навантажень на прикладі коливання обертання кільця або ударного напруги.

Схема одномасової коливальні системи. Найпростіша динамічна система включає масу, закріплену на пружині. При розгляді пружних коливань системи розрізняють власні та вимушені коливання. Власними (вільними) називають коливання які здійснює система при відсутності зовнішніх впливів. Якщо в початковий момент відхилити масу на величину а й надати систему самої себе, то виникнуть власні коливання і зміщення центру маси в момент часу t буде, де а - амплітуда коливань - максимальне відхилення центру маси від положення рівноваги; р- кругова частота коливання; .

параметри системи. Кругова частота, де λ-піддатливість пружини, мм / Н (осаду пружини під дією сили в 1Н); m - маса вантажу. Проміжок часу між двома однаковими положеннями системи називають періодом коливань. Величину, зворотну періоду коливань, називають частотою коливань (число коливань в 1с):. Кругова частота, що представляє число коливань за 2π секунд:. Оскільки в системі завжди є сили тертя, то власні коливання завжди затухають. Вимушеними називають коливання відбуваються під дією зовнішньої періодичної сили, що обурює. Якщо до системи прикладена зовнішня сила, то в системі виникають вимушені коливання з частотою ω. Відхилення маси буде, - осаду пружини при статистичному дії амплітуди вимушених коливань.

Поняття резонансу. Розрахункові модулі системи. При збігу частоти ω збудливою сили з частотою власних коливань настає резонанс, і амплітуда коливань прямує до нескінченності. Насправді завдяки тертю амплітуда залишається кінцевою, але досягає найбільшої величини. Резонанс є великою небезпекою для міцності конструкцій і його слід уникати. Резонанси найбільш часто усувають за рахунок зміни власної частоти коливань, рідше - за рахунок зміни частоти збуджуючої сили. Основне завдання розрахунку конструкції на коливання (вібрацію) полягає у визначенні власних і резонансних частот коливань. Складність теоретичного аналізу коливань залежить від числа незалежних координат, що визначають однозначно положення точок в системі. Математичний опис такої системи може бути виконано за допомогою диференціальних рівнянь в приватних похідних. У спрощених розрахунках легкі частини вважають невагомими, але деформуються, важкі частини абсолютно твердими тілами - матеріальними точками. Рух такої системи описується звичайним диференціальним рівнянням.

Ударне навантаження систем. При ударі (раптовому навантаженні з дуже високою швидкістю), визначення сил інерції утруднено, тому для наближеного визначення динамічних напружень і деформацій використовують закон збереження енергії і припускають, що вдаряє тіло не відскакує від конструкції після зіткнення, а переміщається разом з нею (непружних удар) . Розглянемо задачу про удар вантажу масою m, що рухається зі швидкістю υ 0 по стрижні з осьової піддатливість, де Е-модуль пружності матеріалу, А - площа поперечного перерізу стержня.

Коефіцієнт динамічності. Кінетична енергія мрія після торкання зі стрижнем буде накопичуватися в ньому у вигляді потенційної енергії розтягнутого на величину стержня і зміни потенційної енергії вантажу на цьому ж переміщенні. Енергетичний баланс. Звідки, - подовження стрижня при статичному навантаженні силою ваги вантажу; коефіцієнт динамічності.

Динамічні напруження. Коефіцієнт динамічності показує, у скільки разів зростає переміщення пружного елемента за рахунок удару в порівнянні зі статистичними переміщенням. Істотно: напруги в тілі зростають пропорційно. Динамічні напруги, таким чином, залежать від кінетичної енергії.

Відцентрові навантаження. Застосовуючи принцип Даламбера, визначимо напруги в рівномірно обертовому кільці. Така модель використовується в розрахунках ременів передач і інших деталей. Кільце, що обертається деформується відцентровими силами інерції, рівномірно розподіленими по колу (рис. А). Сила інерції, діюча на елемент кільця довжиною 1 мм, де - маса елемента кільця, де ρ - щільність матеріалу; А- площа перетину; ω - кутова швидкість кільця; r - середній радіус кільця.

Напруження в обертовому кільці. Радіальне площинами виріжемо з кільця нескінченно малий елемент (ріс.b). Сила інерції, діюча на елемент довжиною: (q-маса матеріалу). Ця сила врівноважується нормальними силами N 0 в перерізі від окружних напруг, що розтягують σ 0:. Проектуючи сили N 0 на лінію дії сили складемо рівняння рівноваги елемента:, де ρ - щільність; - окружна швидкість кільця.

Робочі гіпотези спрямують

ВИЗНАЧЕННЯ ЗУСИЛЬ У ступінчастою БРУСАХ З кілька силових ДІЛЯНКАМИ.

ВІДПОВІДЬ: Розтяганням або стисненням бруса називають такий його вид деформації, при якому всі зовнішні сили спрямовані по поздовжній осі, а в поперечних перетинах виникає єдиний внутрішній силовий фактор - поздовжня сила N. Її величину визначають, використовуючи метод перетинів: , Тобто поздовжня сила в перерізі бруса чисельно дорівнює алгебраїчній сумі всіх зовнішніх сил, розташованих по одну сторону від перетину. Домовилися вважати N\u003e 0, якщо вона спрямована в бік від перетину, тобто розтягує і N<0, если сжимает. Для полного суждения о прочности бруса необходимо построить график изменения продольной силы по длине бруса – эпюру продольной силы (Эп.N).

Напруги і деформації при осьовому розтягу-стиску

В процесі деформування в поперечних перетинах бруса при осьовому розтягу-стиску виникають тільки нормальні напруги σ, причому вони розподіляються рівномірно по поперечному перерізі.

При розтягуванні-стисненні брус відчуває тільки лінійні деформації.

- абсолютна поздовжня деформація вантажу (подовження)

Відносна поздовжня деформація

- абсолютна поперечна деформація (звуження)

Відносна поперечна деформація

Зв'язок між і: - коефіцієнт Пуассона.

Лінійна закономірність, що зв'язує напруги і деформації - закон Гука при осьовому розтягу-стиску.

Визначення геом. характеристик.

Розглянемо визначення геом. характеристик, для найбільш часто зустрічаються поперечних перерізів валів.

1.Сплошной вал

2.Полий вал

3.Тонкостенное трубчастий перетин

До тонкостінних отн-ся трубу з співвідношенням

Визначення переміщень при вигині. Умова жорсткості. Диференціальне рівняння зігнутої осі балки.

Варіанти розрахунку простих статично невизначених балок

Існує кілька способів розрахунку простих балок:

1.Сравнение лінійних переміщень.

ΔВ \u003d ΔВq + ΔBRB \u003d 0 (1) доп. рівняння деформацій

Складові в (1) можуть бути знайдені ісп-я готові таблиці або універсальні рівняння. Стосовно до рас-му предмету:

ΔBq \u003d -qe 4 / 8EIx; ΔBRB \u003d RBe 3 / 3EIx;

ΔB \u003d -qe 4 / 8EIx + RBe 3 / 3EIx \u003d 0 \u003d\u003e RB \u003d 3qe / 8

2. Порівняння кутових переміщень.

Можна відкинути зв'язок, що перешкоджає повороту опорного перетину А і записати

ΔA \u003d ΔAq + ΔAMA \u003d 0 (2)

Також ур-е деформації доданок означає кути повороту.

3.Составление замкнутої системи ур-я.

3 ур-я статики + унівес. ур-е

43. Метод сил для розрахунку складних СНС.

Метод при якому за невідоме приймаються зосереджені моменти наз-ся методом сил. Він явл-ся найбільш поширеним і ис-ся для будь-яких пружних систем (балки, рами, естакади ітд.).

наприклад:

До трьох ур-ям статики для вирішення даної СНС додасться 3 рівняння, що виражають рав-во 0 переміщень за напрямками всіх відкинутих зв'язків тобто опорний переріз і не переміщаються їм в горизонтальному або у вертикальному переміщеннях і не перевертаються.

X1 Δ1 \u003d 0

X2 Δ2 \u003d 0 (1)

X3 Δ3 \u003d 0

Кожне рівняння системи (1) можна записати в розгорнутому вигляді:

Δ1 \u003d Δ11 + Δ12 + Δ13 + Δ1f \u003d 0 (2)

Перший символ вказує напрямок; 2-й воз-е.

Δ1f-переміщення опорного перетину А в напрямку дії X, викликане зовнішнім навантаженням

(2) можна виразити через поодинокі переміщення і шукане невідоме (це перші три доданків)

Δ11 \u003d δ11-x1 і тоді система прийме закінчений. вид.

δ11 x1 + δ12 x2 + δ13 x3 + Δ1f \u003d 0

δ21 x1 + δ22 x2 + δ23 x3 + Δ2f \u003d 0 (3) -система Кумс.

δ31 x1 + δ32 x2 + δ33 x3 + Δ3f \u003d 0

Канонічні ур-я методу сил-КУМС.

Число ур-й дорівнює ступеню статичної невизначеності.

Робочі гіпотези спрямують

ВІДПОВІДЬ: На відміну від термеха, що базується на моделі абс. твердого тіла, в спрямують прийнята своя розрахункова модель-модель ідеалізованого тіла, що деформується. А для спрощення розрахунків приймаються наступні допущення або гіпотези: 1) Матеріал тіла має суцільне будова. 2) матеріал однорідний, тобто у всіх точках властивості однакові. 3) матеріал изотропен, тобто в усіх напрямках властивості однакові. 4) до додатка зовнішніх сил початкові напруги в матеріалі відсутні. 5) при вирішенні реальних завдань доцільно використовувати принцип суперпозиції, або принцип незалежності дії сил, тобто вплив на конструкцію групи сил дорівнює сумі впливів від кожної сили окремо і не залежить від послідовності застосування цих сил.

ВНУТРІШНІ СИЛОВІ ФАКТОРИ І МЕТОД їх визначення.

ВІДПОВІДЬ: Під дією зовнішніх сил на брус виникають внутрішні сили або внутрішні силові фактори, для визначення яких в спрямують прийнятий єдиний розрахунковий метод - метод перетинів. 1) розрізаємо подумки брус в досліджуваному перерізі на 2 частини I і II. 2) відкидаємо одну з частин. 3) Замінюємо дію відкидаємо частини II на частину I внутрішніми силовими факторами (в загальному випадку їх 6). Q x Q y - поперечні сили, N z - поздовжня сила, M x M y - згинальні моменти, M z - момент, що крутить. 4) врівноважується решту бруса і за допомогою рівнянь рівноваги термеха знаходимо шукані силові фактори.

ПОНЯТТЯ Про напруги, деформації та переміщення.

ВІДПОВІДЬ: Мірою інтенсивності дії внутрішніх сил в околиці точки розглянутого поперечного перерізу є напруги, що визначаються відношенням сили до одиниці площі [Па]. Якщо в поп. перетині виділити елемент D А, до якого буде прикладена сила DР, то DР / D А \u003d р m - середнє повне напруга в даній точці поперечного перерізу. - повне справжнє напругу. Вектор розкладають на і. - нормальна напруга - викликає руйнування шляхом відриву. - дотичне напруження - викликає руйнування шляхом зсуву. Переміщення і деформації - поняття, що характеризують зміна розмірів і форми досліджуваного тіла. При цьому переміщення є наслідком деформації.